（本科）投資學(xué)NO5教學(xué)課件

1、YCF正版可修改PPT（本科）投資學(xué)NO5教學(xué)課件第五章 投資組合The investment portfolio 第一節(jié) 投資組合的收益和風(fēng)險3第二節(jié) 最優(yōu)投資組合第三節(jié) 馬科維茨模型 21 第五章 投資組合學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)1.掌握兩種證券組合的預(yù)期收益率和風(fēng)險的計算；2.理解協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的含義；3.識別實現(xiàn)分散化所需證券之間的關(guān)系；4.比較有效投資組合和無效投資組合，并確定投資者應(yīng)選擇何種投資組合； 第五章 投資組合學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)5.了解把無風(fēng)險資產(chǎn)加入風(fēng)險資產(chǎn)組合的含義；6.描述和解釋風(fēng)險資產(chǎn)的最小方差、有效邊界與最小方差的投資組合；7.解釋并說明資本配置線；8.給定投資者的效用函數(shù)和

2、資本配置線，討論最優(yōu)組合的選擇。 第五章 投資組合晴雨天的多元化 有一家海灘裝備公司,主要出租海灘裝備。當(dāng)一年中有很多晴天時，這家公司的年收益率是20%；而當(dāng)一年中只有很少晴天（多雨）時，該公司的收益率降為零。一年中出現(xiàn)多晴天和多雨天的概率各為50%。因此，該公司有50%的可能性收益率是20%，有50%的可能性收益率是零，平均收益率為10%。故該公司獲得10%的收益率是有風(fēng)險的。引 導(dǎo) 案 例 某投資者非常想投資這家海灘裝備公司，但是他卻不喜歡風(fēng)險。聽說了多元化的概念后，他準(zhǔn)備在此基礎(chǔ)上再做一筆投資以降低風(fēng)險。下面有兩個投資方案可供選擇： （1） 海灘上有一家小吃店，出售健康食品。該投資者估計

3、在很多晴天的一年中小吃店的收益率是20%，在多雨的一年中收益率是零。 （2） 海灘上有一家電影院，它在多雨的一年中收益率是20%，在有很多晴天的一年中收益率是零。電影院的收益率和海灘裝備公司一樣是有風(fēng)險的。引 導(dǎo) 案 例問題多元化在投資界是一個重要且有力的概念。因為投資者都是厭惡風(fēng)險的，他們希望在不降低收益的情況下降低風(fēng)險，所以投資者可能因為降低了遭受災(zāi)難性損失的概率而接受一個較低的收益率。探討該投資者應(yīng)該選擇哪一種投資方案實現(xiàn)風(fēng)險分散化。 第五章 投資組合假設(shè)有兩種證券S1、S2，其收益率分別為R1、R2，投資者將資金分為W1、W2的比例構(gòu)建投資組合，則該投資組合的收益率RP可以表示為:一、

4、 兩種證券組合的收益和風(fēng)險 第一節(jié) 投資組合的收益和風(fēng)險公式（5-1）中,W1+W2=1，且W1、W2可以是正數(shù)，也可以是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)表示賣空證券，然后將賣空所得資金加上自有資金購買另外一只證券。 第一節(jié) 投資組合的收益和風(fēng)險根據(jù)概率論的相關(guān)知識，兩種證券組合的預(yù)期收益率可以表示為: 第一節(jié) 投資組合的收益和風(fēng)險（一） 兩種證券組合的預(yù)期收益率公式（5-2）表示兩種證券組合的預(yù)期收益率是兩種證券預(yù)期收益率的加權(quán)平均，權(quán)數(shù)是投資在各種證券上的資金比例。如果沒有賣空，證券組合的預(yù)期收益率總是依據(jù)兩種證券的資金比例在兩種證券預(yù)期收益率之間變動，具體大小取決于購買兩種證券的相對數(shù)量。一旦大量賣空預(yù)期收益

5、率較低的證券，則組合預(yù)期收益率將大幅度上升。 第一節(jié) 投資組合的收益和風(fēng)險【例5-1】 某投資者投資預(yù)期收益率分別為29%和11%的兩只證券S1和S2。請問：（1） 如果將自有資金10萬元等比例投資于兩只股票，則投資者的預(yù)期收益率是多少？（2） 如果先賣空預(yù)期收益率較低的S2共16萬元，然后將全部資金26萬元都購買S1，則投資者的預(yù)期收益率又是多少？ 第一節(jié) 投資組合的收益和風(fēng)險（1） 根據(jù)公式（5-2）可得，該投資者的預(yù)期收益率為E(RP)=50%29%+50%11%=20%（2） 這時，投資者在S1和S2上的資金比例W1、W2分別是W1=26/10100%=260%W2=-16/10100

6、%=-160% 第一節(jié) 投資組合的收益和風(fēng)險 第一節(jié) 投資組合的收益和風(fēng)險根據(jù)公式（5-2）可得，該投資者的預(yù)期收益率為:E(RP)=260%29%+(-160%)11%=57.8%分散投資可以降低組合風(fēng)險。與衡量單個資產(chǎn)風(fēng)險的方法不太一樣，衡量資產(chǎn)組合的風(fēng)險除用方差外，還要考慮相關(guān)性，即兩種資產(chǎn)的收益率一起變化的程度。根據(jù)概率論的相關(guān)知識，使用協(xié)方差計算兩種證券組合的風(fēng)險可以表示為: 第一節(jié) 投資組合的收益和風(fēng)險（二） 兩種證券組合的風(fēng)險 第一節(jié) 投資組合的收益和風(fēng)險公式（5-3）和公式（5-4）中的Cov(R1，R2)被稱為證券收益率R1、R2變動的協(xié)方差，經(jīng)常也表示為12。證券之間的關(guān)系

7、對收益的影響用協(xié)方差衡量，協(xié)方差度量兩個隨機(jī)變量之間的相關(guān)性。協(xié)方差的基本公式為公式（5-5）中R1-E(R1)、R2-E(R2)代表兩只證券S1和S2的收益率對各自預(yù)期收益率的偏離，包括正、負(fù)偏離兩種情況。 第一節(jié) 投資組合的收益和風(fēng)險正偏離是指實際收益率高于預(yù)期收益率，負(fù)偏離是指實際收益率低于預(yù)期收益率。因此，協(xié)方差表示證券S1和S2的收益率同時偏離各自預(yù)期收益率的平均值。協(xié)方差變化有如下規(guī)律： 第一節(jié) 投資組合的收益和風(fēng)險（1） 協(xié)方差為正數(shù)，說明R1-E(R1)0和R2-E(R2)0經(jīng)常同時出現(xiàn)，或R1-E(R1)0和R2-E(R2)0和R2-E(R2)0經(jīng)常同時出現(xiàn)，或R1-E(R1

8、)0經(jīng)常同時出現(xiàn)，反向變化的次數(shù)越多，逆向程度越高。也就是說，證券S1收益率增加時，證券S2的收益率經(jīng)常降低；證券S1收益率降低時，證券S2的收益率經(jīng)常增加。因此，協(xié)方差為負(fù)數(shù)說明兩只證券收益率變動呈負(fù)相關(guān)。 第一節(jié) 投資組合的收益和風(fēng)險（3） 協(xié)方差為零，說明證券S1和S2收益率的變化不相關(guān)。也就是說，證券S1收益率的變動和S2收益率的變動沒有明顯關(guān)系。 第一節(jié) 投資組合的收益和風(fēng)險組合標(biāo)準(zhǔn)差公式中的協(xié)方差雖然很重要，但是它的取值兩側(cè)都是無界的，因此難以解釋。所以人們通常用相關(guān)系數(shù)（12）來代替。相關(guān)系數(shù)是協(xié)方差經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化之后衡量兩只證券收益率變動相關(guān)性及程度的指標(biāo)。它是有界的，并且提供和協(xié)方

9、差相似的信息，其計算公式為: 第一節(jié) 投資組合的收益和風(fēng)險相關(guān)性是對兩種投資以相似的方式變動的一致性和趨勢性的度量。相關(guān)系數(shù)12可以為正，也可以為負(fù)，取值范圍是-1,1。下面討論三個特殊的相關(guān)系數(shù)的值：（1） 當(dāng)12=1時，兩種資產(chǎn)的收益率完全正相關(guān)，資產(chǎn)1和資產(chǎn)2同時朝相同的方向變動。 第一節(jié) 投資組合的收益和風(fēng)險（2） 當(dāng)12=-1時，兩種資產(chǎn)的收益率完全負(fù)相關(guān)，資產(chǎn)1和資產(chǎn)2同時朝相反的方向變動。（3） 當(dāng)12=0時，兩種資產(chǎn)的收益率不相關(guān)，資產(chǎn)1的變動方向沒有對資產(chǎn)2的變動做出預(yù)測。 第一節(jié) 投資組合的收益和風(fēng)險0121表明兩種資產(chǎn)的收益率變動存在一定程度的正相關(guān)關(guān)系，越接近1正相關(guān)性

10、越強(qiáng)，即一只證券收益率變動一個數(shù)值，另一只證券收益率經(jīng)常朝相同方向變動且幅度也會越來越接近；-1120表明兩種資產(chǎn)的收益率變動存在一定程度的負(fù)相關(guān)關(guān)系，越接近-1負(fù)相關(guān)性越強(qiáng)，即一只證券收益率變動一個數(shù)值，另一只證券收益率經(jīng)常朝相反方向變動且幅度也會越來越接近。 第一節(jié) 投資組合的收益和風(fēng)險一般來說，如果相關(guān)系數(shù)12的絕對值大于0.8，則認(rèn)為兩種資產(chǎn)的收益率變動存在較強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系；如果相關(guān)系數(shù)12的絕對值小于0.3，則認(rèn)為兩種資產(chǎn)的收益率變動存在較弱的相關(guān)關(guān)系。 第一節(jié) 投資組合的收益和風(fēng)險引入相關(guān)系數(shù)后，兩種證券組合的風(fēng)險又可以寫成如下形式： 第一節(jié) 投資組合的收益和風(fēng)險將公式（5-5）中的

11、證券S2替換為S1，可得到:說明方差是協(xié)方差的一個特例。因此，公式（5-3）變化成組合方差的另一種表達(dá)方式為 第一節(jié) 投資組合的收益和風(fēng)險組合方差就是協(xié)方差的加權(quán)值，權(quán)重為協(xié)方差內(nèi)一對資產(chǎn)在組合中權(quán)重的乘積。表5-1和表5-2為如何用數(shù)據(jù)表計算組合的方差。表5-1為兩只證券收益的協(xié)方差矩陣。根據(jù)表5-2內(nèi)的計算得到式（5-7）。這一過程之所以可行是因為協(xié)方差矩陣是關(guān)于對角線對稱的，即Cov(R1,R2)=Cov(R2,R1)。協(xié)方差矩陣也可應(yīng)用于任意多個資產(chǎn)的組合。 第一節(jié) 投資組合的收益和風(fēng)險 第一節(jié) 投資組合的收益和風(fēng)險 第一節(jié) 投資組合的收益和風(fēng)險公式（5-3）表明，如果協(xié)方差為負(fù)，那么

12、組合的方差會降低。但是，即使協(xié)方差為正，組合標(biāo)準(zhǔn)差仍低于兩個證券標(biāo)準(zhǔn)差的加權(quán)平均，除非兩個證券是完全正相關(guān)的。為了證明這一點，我們注意到協(xié)方差可以由相關(guān)系數(shù)12計算得到 第一節(jié) 投資組合的收益和風(fēng)險因此，公式（5-3）轉(zhuǎn)化為:當(dāng)其他不變時，12越高組合方差就越大。當(dāng)兩只證券完全正相關(guān)時，即當(dāng)12=1時，公式（5-12）可以簡化為 第一節(jié) 投資組合的收益和風(fēng)險因此，組合標(biāo)準(zhǔn)差就是兩個收益完全正相關(guān)的證券標(biāo)準(zhǔn)差的加權(quán)平均。在其他情況下，相關(guān)系數(shù)小于1使得組合標(biāo)準(zhǔn)差小于兩個資產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)差的加權(quán)平均。 第一節(jié) 投資組合的收益和風(fēng)險資產(chǎn)的相關(guān)性越小，有效收益越大。組合的標(biāo)準(zhǔn)差最低是多少呢？ 第一節(jié) 投資組合

13、的收益和風(fēng)險最低的相關(guān)系數(shù)是-1，代表完全負(fù)相關(guān)。在這種情況下，公式（5-12）簡化為:組合標(biāo)準(zhǔn)差為當(dāng)12=-1時，通過解下式可以得到完全對沖的頭寸。設(shè)W11-W22=0，解得W1=21+2，W2=11+2=1-W1。這一權(quán)重使得組合標(biāo)準(zhǔn)差為零。 第一節(jié) 投資組合的收益和風(fēng)險【例5-2】已知股票A和股票B的收益率及概率分布情況如表5-3所示，請問A、B兩只股票收益率變動的協(xié)方差是多少？ 第一節(jié) 投資組合的收益和風(fēng)險 第一節(jié) 投資組合的收益和風(fēng)險股票A和股票B的預(yù)期收益率為E(RA)=0.2(-5%)+0.215%+0.2(-10%)+0.220%+0.230%=10% E(RB)=0.2(-1

14、0%)+0.2(-5%)+0.215%+0.230%+0.220%=10% 第一節(jié) 投資組合的收益和風(fēng)險股票A和股票B的收益率變動的協(xié)方差為: 第一節(jié) 投資組合的收益和風(fēng)險【例5-3】某投資者打算投資小盤股基金S和普通債券基金B(yǎng)，它們的期望收益率和標(biāo)準(zhǔn)差如表5-4所示，兩只基金收益率的相關(guān)系數(shù)為0.1。如果投資者要求組合的收益率為12%，那么每只基金各占的比例應(yīng)是多少？構(gòu)造的投資組合的標(biāo)準(zhǔn)差是多少？ 第一節(jié) 投資組合的收益和風(fēng)險 第一節(jié) 投資組合的收益和風(fēng)險根據(jù)公式（5-1），通過令投資組合的收益率等于12%可以計算出各只基金的權(quán)重。12%=W119%+(1-W1)8%，W1=36.4%,1-

15、W1=63.6%。因此，36.4%的資金應(yīng)投資于小盤股基金S，63.6%的資金應(yīng)投資于普通債券基金B(yǎng)。 第一節(jié) 投資組合的收益和風(fēng)險 第一節(jié) 投資組合的收益和風(fēng)險【例5-4】兩只股票有相同的收益率和風(fēng)險（標(biāo)準(zhǔn)差），收益率是10%，風(fēng)險是20%。某投資者的投資組合中股票1和股票2各占50%，試討論相關(guān)系數(shù)對組合風(fēng)險的影響。 若相關(guān)系數(shù)等于1，計算組合的收益率和風(fēng)險。 若相關(guān)系數(shù)等于零，計算組合的收益率和風(fēng)險。 第一節(jié) 投資組合的收益和風(fēng)險 若相關(guān)系數(shù)等于-1，計算組合的收益率和風(fēng)險。 比較不同相關(guān)系數(shù)的組合的收益率和風(fēng)險。由題干可知R1=R2=10%，1=2=20%，W1=W2=50%。 第一節(jié)

16、 投資組合的收益和風(fēng)險 當(dāng)12=1時，當(dāng)資產(chǎn)的相關(guān)系數(shù)等于1時，組合的風(fēng)險和單個資產(chǎn)的風(fēng)險相同。 第一節(jié) 投資組合的收益和風(fēng)險 第一節(jié) 投資組合的收益和風(fēng)險 當(dāng)12=0時，當(dāng)資產(chǎn)的相關(guān)系數(shù)小于1時，組合的風(fēng)險小于單個資產(chǎn)的風(fēng)險。 第一節(jié) 投資組合的收益和風(fēng)險 當(dāng)12=-1時，當(dāng)資產(chǎn)的相關(guān)系數(shù)足夠低，相關(guān)系數(shù)為-1時，可以通過組合消除風(fēng)險。單個資產(chǎn)仍然保留它們的風(fēng)險特征，但組合是無風(fēng)險的。 第一節(jié) 投資組合的收益和風(fēng)險 三種情況下的組合收益率都是10%，但是第1種情況的收益率波動最大，第3種情況的收益率波動最小。第1種情況風(fēng)險沒有得到分散（組合前后風(fēng)險都是20%），第2種情況在收益不變的情況下實

17、現(xiàn)風(fēng)險的分散（風(fēng)險由20%下降到14%），第3種情況是同收益率無風(fēng)險的組合。 第一節(jié) 投資組合的收益和風(fēng)險 第一節(jié) 投資組合的收益和風(fēng)險設(shè)三只證券S1、S2、S3的收益率分別為R1、R2、R3，將資金分為W1、W2、W3的比例配置在這三種證券上，則投資組合P的收益率RP為二、 多種證券組合的收益和風(fēng)險 第一節(jié) 投資組合的收益和風(fēng)險由概率論相關(guān)知識可以推導(dǎo)出，該組合的預(yù)期收益率和方差分別為整理上式時,要注意ij=ji 第一節(jié) 投資組合的收益和風(fēng)險當(dāng)證券數(shù)量為4只時，其構(gòu)造的投資組合的預(yù)期收益率和方差分別為 第一節(jié) 投資組合的收益和風(fēng)險一般來說，n只證券S1，S2,，Sn構(gòu)成的投資組合P的收益率R

18、P為 第一節(jié) 投資組合的收益和風(fēng)險該投資組合的預(yù)期收益率和方差分別為 第一節(jié) 投資組合的收益和風(fēng)險公式（5-20）中， 被稱為雙重求和，代表i和j所有可能的配對，是nn=n2個數(shù)相加。 第一節(jié) 投資組合的收益和風(fēng)險【例5-5】資產(chǎn)組合P由三只證券構(gòu)成，三只證券的投資金額占總投資額的比例分別為W1=0.2，W2=0.5，W3=0.3，對應(yīng)的期望收益率為E(R1)=12%，E(R2)=8%，E(R3)=16%，請計算整個資產(chǎn)組合P的期望收益率和標(biāo)準(zhǔn)差。三只證券收益的協(xié)方差矩陣組合權(quán)重如表5-5所示（為了簡便，將矩陣中數(shù)字的單位萬分之一省略）。 第一節(jié) 投資組合的收益和風(fēng)險 第一節(jié) 投資組合的收益和

19、風(fēng)險計算組合的期望收益率： 第一節(jié) 投資組合的收益和風(fēng)險根據(jù)矩陣可知三只證券的方差為21=35，22=67，23=50，三只證券每兩兩之間的協(xié)方差分別是：12=43，13=28,23=59。計算組合的方差： 第一節(jié) 投資組合的收益和風(fēng)險 第一節(jié) 投資組合的收益和風(fēng)險如果投資者以資產(chǎn)組合方式進(jìn)行投資，盡管仍需承擔(dān)該組合的風(fēng)險，但是這種投資方式對于系統(tǒng)風(fēng)險和非系統(tǒng)風(fēng)險具有不同的分散效果。假設(shè)有n只證券，將資金等比例（比例是1/n）投資于所有證券構(gòu)成一個投資組合，則通過公式（5-20）可以推導(dǎo)出該投資組合的方差為三、 資產(chǎn)組合與風(fēng)險分散 第一節(jié) 投資組合的收益和風(fēng)險 第一節(jié) 投資組合的收益和風(fēng)險隨著

20、組合中包含的證券數(shù)n的增加，1n趨向于零。由于公式（5-24）中的第一項趨向于零，第二項趨向于ij，所以整個組合的非系統(tǒng)風(fēng)險隨證券數(shù)量的增加而減少，即非系統(tǒng)風(fēng)險被分散。但是，組合的系統(tǒng)風(fēng)險在證券數(shù)量增加時并不能被完全消除，而是逐漸收斂于某一個有限數(shù)。 第一節(jié) 投資組合的收益和風(fēng)險降低并基本消除非系統(tǒng)風(fēng)險的分散化投資組合需要多少只證券？答案可能是“令人意想不到的少”。根據(jù)研究發(fā)現(xiàn)，由1015只證券組成的投資組合便可以顯著降低非系統(tǒng)風(fēng)險。圖5-1說明了風(fēng)險降低的情況，縱軸表示風(fēng)險大小，橫軸表示證券數(shù)量。由于系統(tǒng)風(fēng)險獨立于投資組合中的證券數(shù)量，因此這種風(fēng)險可以用直線AB表示。直線AB平行于橫軸，不管

21、投資者擁有的證券數(shù)量為多少，不可分散風(fēng)險都保持相等。 第一節(jié) 投資組合的收益和風(fēng)險 第一節(jié) 投資組合的收益和風(fēng)險投資組合的系統(tǒng)風(fēng)險、非系統(tǒng)風(fēng)險與證券數(shù)量的關(guān)系投資組合風(fēng)險（系統(tǒng)風(fēng)險與非系統(tǒng)風(fēng)險之和）由曲線CD表示。AB線與CD線之差就是投資組合中與具體證券相關(guān)的非系統(tǒng)風(fēng)險。非系統(tǒng)風(fēng)險的大小取決于持有證券的數(shù)量。當(dāng)持有證券的數(shù)量增加時，非系統(tǒng)風(fēng)險將降低。由圖5-1可知，證券數(shù)越多，CD線越趨近于AB線。對于由10只或更多證券組成的投資組合，涉及的風(fēng)險基本上只有系統(tǒng)風(fēng)險了。 第一節(jié) 投資組合的收益和風(fēng)險根據(jù)圖5-1，可以得到以下三點：（1） 與單個資產(chǎn)相關(guān)的一些風(fēng)險可以通過投資組合來消除。把投資分

22、散到不同資產(chǎn)的過程稱為分散投資，分散投資可以消除一部分風(fēng)險。通過分散投資可以消除的風(fēng)險稱為可分散風(fēng)險。（2） 一小部分的風(fēng)險無法消除，這部分風(fēng)險被稱為不可分散風(fēng)險。（3） 兩者綜合考慮，分散投資可以降低風(fēng)險，但只能達(dá)到一定的程度。 第一節(jié) 投資組合的收益和風(fēng)險【例5-6】假設(shè)投資組合包括很多股票，分布均為E(R)=15%，=60%，相關(guān)系數(shù)為0.5。請問： 25只股票等權(quán)重構(gòu)成的組合的收益分布是什么？ 要構(gòu)造標(biāo)準(zhǔn)差不超過43%的組合，至少需要多少只股票？ 當(dāng)n=25時，等權(quán)重的投資組合的方差為 第一節(jié) 投資組合的收益和風(fēng)險 第二節(jié) 最優(yōu)投資組合（一） 兩種證券組合的可行集 兩種證券組合的可行集

23、通常是什么形狀呢？下面先討論組合的風(fēng)險和收益率如何隨不同的權(quán)重和不同的相關(guān)系數(shù)進(jìn)行變化。一、 可行集 第二節(jié) 最優(yōu)投資組合【例5-7】某投資者用兩項資產(chǎn)構(gòu)造投資組合。資產(chǎn)1的年收益率為7%，風(fēng)險為12%；資產(chǎn)2的年收益率為15%，風(fēng)險為25%。請問：當(dāng)資產(chǎn)1的投資比例為零、10%、20%、30%、40%、50%、60%、70%、80%、90%、100%，相關(guān)系數(shù)為1,0.5,0.2,-1時，所構(gòu)造的投資組合的預(yù)期收益率和標(biāo)準(zhǔn)差是多少？在預(yù)期收益率和標(biāo)準(zhǔn)差的坐標(biāo)系上描繪出上述的投資組合，并用一條光滑的曲線將其連接起來，這條曲線的形狀是什么？ 第二節(jié) 最優(yōu)投資組合 第二節(jié) 最優(yōu)投資組合同樣，可以計

24、算投資比例改變時，在不同相關(guān)系數(shù)下的投資組合的預(yù)期收益率和標(biāo)準(zhǔn)差。組合風(fēng)險和收益的關(guān)系如表5-6所示，圖形的形式如圖5-2所示。 第二節(jié) 最優(yōu)投資組合 第二節(jié) 最優(yōu)投資組合通過圖5-2中=0.2的虛線表明的投資組合可行集可以看出，之所以稱其為投資組合可行集，是因為它代表了兩個資產(chǎn)構(gòu)造的所有期望收益率和標(biāo)準(zhǔn)差的組合。其他的曲線表示了不同相關(guān)系數(shù)下的情況。=1的直線說明完全正相關(guān)的資產(chǎn)分散化沒有意義，組合的標(biāo)準(zhǔn)差僅是兩個標(biāo)準(zhǔn)差的加權(quán)平均。當(dāng)=-1時，完全負(fù)相關(guān)的投資組合的可行集是線性的，它提供了完全對沖的機(jī)會來構(gòu)造零方差的組合。 第二節(jié) 最優(yōu)投資組合 第二節(jié) 最優(yōu)投資組合根據(jù)圖5-2，可以總結(jié)兩只

25、證券組合可行集的形狀：（1） 兩只證券構(gòu)成組合的可行集是一條通過A點和B點的曲線。（2） 隨著相關(guān)系數(shù)的不斷變小，這條曲線的彎曲程度越來越大；當(dāng)相關(guān)系數(shù)達(dá)到最小值-1時，這條曲線彎曲程度達(dá)到極限，表現(xiàn)為一條折線。（3） 當(dāng)相關(guān)系數(shù)逐漸變大時，這條曲線的彎曲程度越來越小，當(dāng)相關(guān)系數(shù)等于1時，曲線沒有任何彎曲，已經(jīng)變成直線。 第二節(jié) 最優(yōu)投資組合可以從數(shù)學(xué)的角度推導(dǎo)出最小方差組合： 第二節(jié) 最優(yōu)投資組合【例5-8】現(xiàn)有兩只風(fēng)險證券，一只是債券S1，一只是股票S2，它們的預(yù)期收益率和風(fēng)險狀況如表5-7所示。請計算兩只證券所構(gòu)造的最小方差組合的預(yù)期收益和風(fēng)險。 第二節(jié) 最優(yōu)投資組合 第二節(jié) 最優(yōu)投資組

26、合因此，最小方差組合的預(yù)期收益率和風(fēng)險為 第二節(jié) 最優(yōu)投資組合三種及三種以上證券組合的可行集呈現(xiàn)傘形，具體形狀依賴于所包含的特定證券，它可能更左或更右、更高或更低、更胖或更瘦，可行集看起來如圖5-3所示。（二） 多種證券組合的可行集 第二節(jié) 最優(yōu)投資組合（1） 若至少有三種資產(chǎn)（非完全相關(guān)且均值不同），則可行集是一個二維的實心區(qū)域。圖5-3說明了為什么可行區(qū)域是實心的原因。假設(shè)存在三種基礎(chǔ)資產(chǎn)：A、B和C。由于任意兩種資產(chǎn)構(gòu)成資產(chǎn)組合后會在兩資產(chǎn)之間產(chǎn)生一條曲線，將A、B和C兩兩組合后，便可以得到如圖5-3中所示的三條曲線。若資產(chǎn)D是資產(chǎn)B和C的一個組合，則D可以與A進(jìn)行組合得到一條連接A與D

27、的曲線，當(dāng)D在B和C之間移動時，連接A和D的曲線軌跡就是一個實心區(qū)域。 第二節(jié) 最優(yōu)投資組合（2） 可行區(qū)域凸向左邊。在可行區(qū)域內(nèi)，任取區(qū)域內(nèi)的兩點，連接兩點的直線不會穿過可行區(qū)域的左邊界。這是因為任意兩項資產(chǎn)組合的軌跡總是在兩項資產(chǎn)連線的左邊或在這兩項資產(chǎn)的連線上。圖5-4給出了一個典型的可行區(qū)域。 第二節(jié) 最優(yōu)投資組合 第二節(jié) 最優(yōu)投資組合有效集是可行集的一個子集。投資者按照以下原則選擇最優(yōu)組合：（1） 對于同一預(yù)期收益率，選擇風(fēng)險水平最小的。（2） 對于同一風(fēng)險水平，選擇預(yù)期收益率最大的。滿足這兩個條件的組合集被稱為有效集或有效前沿。二、 有效集 第二節(jié) 最優(yōu)投資組合按照有效集原則的第一

28、條，選取一定收益率水平，如E(R1)，通過該點畫出平行于橫坐標(biāo)的虛線，該虛線穿過可行集，風(fēng)險最小的投資組合是可行集邊界上的E點（圖5-5）。同樣，可以得到其他收益率對應(yīng)的最小風(fēng)險投資組合，這些投資組合位于可行集的邊界上。（一） 風(fēng)險證券組合的有效集 第二節(jié) 最優(yōu)投資組合按照有效集原則的第二條，選取一定風(fēng)險大小，如1，通過該點畫出平行于縱坐標(biāo)的虛線，該虛線穿過可行集，收益最大的投資組合是可行集邊界上的F點（圖5-5）。同樣，可以得到其他風(fēng)險水平下對應(yīng)的最大收益率投資組合，這些投資組合位于可行集的邊界的上半部分。 第二節(jié) 最優(yōu)投資組合 第二節(jié) 最優(yōu)投資組合運用同樣的方法可以得到兩種風(fēng)險證券組合的有

29、效集(圖5-2)：（1） 當(dāng)兩種證券收益率相關(guān)系數(shù)在-1,1之間，兩種證券組合的有效集是其可行集的從最小標(biāo)準(zhǔn)差組合沿著曲線的上半部分。（2） 當(dāng)兩種證券收益率變動完全正相關(guān)時，有效集就是全部可行集直線。（3） 當(dāng)兩種證券收益率變動完全負(fù)相關(guān)時，有效集就是可行集折線的上面一條直線。 第二節(jié) 最優(yōu)投資組合分析無風(fēng)險證券和一種風(fēng)險證券構(gòu)成的投資組合。假設(shè)無風(fēng)險證券SF的收益率是常數(shù)Rf，風(fēng)險證券SA的預(yù)期收益率是E(RA)，投資風(fēng)險是A。以這兩種證券構(gòu)造一個投資組合，其中無風(fēng)險證券的權(quán)重為W，風(fēng)險證券的權(quán)重是1-W，則投資組合的預(yù)期收益率和方差分別為（二） 無風(fēng)險證券和風(fēng)險證券構(gòu)成投資組合的有效集

30、第二節(jié) 最優(yōu)投資組合 第二節(jié) 最優(yōu)投資組合公式（5-29）表明，無風(fēng)險證券和風(fēng)險證券所構(gòu)建的組合的風(fēng)險大小取決于風(fēng)險證券的風(fēng)險大小，以及投資在風(fēng)險證券上的資金比例。將公式（5-29）中的W代入公式（5-27），整理可得 第二節(jié) 最優(yōu)投資組合公式（5-30）表明：（1） 無風(fēng)險證券和風(fēng)險證券所構(gòu)建的組合的可行集同時也是有效集，如圖5-6所示。 第二節(jié) 最優(yōu)投資組合圖5-6無風(fēng)險證券和風(fēng)險證券組合的有效集在圖5-6中，整個組合關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)差的期望收益率是經(jīng)過起點F、穿過A的一條直線，截距是Rf，斜率是 。這條直線被稱為資本配置線，表示對投資者而言的所有可能的風(fēng)險收益組合。資本配置線的斜率記為S，等于每

31、增加一單位標(biāo)準(zhǔn)差整個投資組合增加的期望收益。因此，斜率也被稱為報酬-波動性比率或夏普比率。 第二節(jié) 最優(yōu)投資組合（2） 投資組合RP的預(yù)期收益率包含兩部分，一部分是無風(fēng)險資產(chǎn)收益率，另一部分是投資組合總期望獲得的風(fēng)險溢價，其與組合風(fēng)險P的大小成正比。這從理論證明了高收益與高風(fēng)險相匹配。資本配置線上處于投資組合A右邊的點是什么呢？如果投資者能夠以無風(fēng)險利率借入資金，就可以構(gòu)造出A點右邊的點。 第二節(jié) 最優(yōu)投資組合【例5-9】某投資者的投資預(yù)算為300 000元，并以7%的無風(fēng)險利率額外借入了120 000元，他將所有可用資金投入風(fēng)險資產(chǎn)中。假設(shè)E(RP)=15%，P=22%。請計算杠桿風(fēng)險投資組

32、合的收益、風(fēng)險和報酬-波動性比率。由題意可知投入風(fēng)險資產(chǎn)的比例=(300 000+120 000)/300 000=1.4無風(fēng)險資產(chǎn)的比例=1-1.4=-0.4 第二節(jié) 最優(yōu)投資組合根據(jù)公式（5-27），可得E(RP)=WRf+(1-W)E(RA)=-0.47%+1.415%=18.2%根據(jù)公式（5-29），可得 第二節(jié) 最優(yōu)投資組合借款人的違約風(fēng)險導(dǎo)致貸款者要求更高的貸款利率，因此，非政府投資者的借款成本超過Rf=7%。假設(shè)借入利率為Rbf=9%，在這種條件下的報酬-波動性比率（也就是資本配置線的斜率）將是資本配置線在A點被扭曲，借貸利率不相等時的可行集如圖5-7所示。A點的左邊，投資者以7

33、%借出資金；A點的右邊投資者以9%借入資金。 第二節(jié) 最優(yōu)投資組合 第二節(jié) 最優(yōu)投資組合在有效邊界的所有投資組合中都可以和無風(fēng)險資產(chǎn)進(jìn)行組合。圖5-8中展示了兩種組合，一種是無風(fēng)險資產(chǎn)和有效組合A的組合，另一種是無風(fēng)險資產(chǎn)和有效組合P的組合。比較資本配置線A和資本配置線P，發(fā)現(xiàn)在CAL(P)上總存在與CAL(A)上的點風(fēng)險相同但收益更高的一點。（三） 一種無風(fēng)險證券和多種風(fēng)險證券構(gòu)成投資組合的有效集 第二節(jié) 最優(yōu)投資組合換句話說，CAL(P)上的組合優(yōu)于CAL(A)上的組合。因此，投資者會選擇CAL(P)而不是CAL(A)。人們總是希望再向上移動以實現(xiàn)更優(yōu)的投資組合，但是這些投資組合都位于有效

34、邊界的上方，因此是不可能達(dá)到的。 第二節(jié) 最優(yōu)投資組合CAL(P)不但優(yōu)于CAL(A)，而且優(yōu)于風(fēng)險資產(chǎn)的馬科維茨有效邊界 第二節(jié) 最優(yōu)投資組合CAL(P)是最優(yōu)資本配置線，而組合P是最優(yōu)風(fēng)險投資組合。因此，通過加入無風(fēng)險證券，可以將風(fēng)險資產(chǎn)組合的選擇范圍縮小到一個最優(yōu)風(fēng)險投資組合P，它是直線CAL(P)和風(fēng)險資產(chǎn)有效邊界的切點。 第二節(jié) 最優(yōu)投資組合（一） 風(fēng)險厭惡和效用價值假設(shè)無風(fēng)險利率是5%，投資者面臨以下不同的投資組合，如表5-8所示。表5-8中用風(fēng)險溢價、風(fēng)險水平來說明低等風(fēng)險證券組合、中等風(fēng)險證券組合和高等風(fēng)險證券組合的風(fēng)險收益特征。三、 最優(yōu)投資組合 第二節(jié) 最優(yōu)投資組合 第二節(jié)

35、 最優(yōu)投資組合假設(shè)投資者會根據(jù)收益-風(fēng)險情況為每個資產(chǎn)組合給出一個效用分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)越高說明這個資產(chǎn)組合越有吸引力。金融學(xué)中應(yīng)用最多的一個效用函數(shù)是 第二節(jié) 最優(yōu)投資組合式中，U為效用值；A為投資者的風(fēng)險厭惡系數(shù)；系數(shù)12只是一個約定俗成的數(shù)值。公式（5-31）表明，效用隨期望收益的增加和風(fēng)險的減少而增加。投資者對風(fēng)險厭惡程度越高（A越大），對風(fēng)險要求的補(bǔ)償就越高。投資者會在投資組合中選擇效用值最高的組合。 第二節(jié) 最優(yōu)投資組合【例5-10】有三名風(fēng)險厭惡程度不同的投資者，他們的風(fēng)險厭惡系數(shù)分別是A1=2，A2=3.5，A3=5。三人對表5-8中三種資產(chǎn)組合進(jìn)行了評價，無風(fēng)險利率是5%。求他們對資

36、產(chǎn)組合的效用值，并指出每名投資者的最優(yōu)選擇是什么。（1） 因為無風(fēng)險利率是5%，用公式（5-31）可得到U=0.05。 第二節(jié) 最優(yōu)投資組合（2） 在A1=2，E(R)=7%，=5%時，低等風(fēng)險組合的效用值為（3） 在A1=2，E(R)=9%，=10%時，中等風(fēng)險組合的效用值為 第二節(jié) 最優(yōu)投資組合（4） 在A1=2，E(R)=13%，=20%時，高等風(fēng)險組合的效用值為由于高等風(fēng)險組合對于A1投資者的效用值最大，因此是A1投資者的最優(yōu)選擇。 第二節(jié) 最優(yōu)投資組合（5） A2和A3投資者的效用值計算方法與A1相同，此處省略。三種投資組合對不同風(fēng)險厭惡水平投資者的效用值計算結(jié)果見表5-9。 第二節(jié)

37、 最優(yōu)投資組合 第二節(jié) 最優(yōu)投資組合只有當(dāng)一個投資組合的確定等價收益率超過無風(fēng)險收益率時才值得投資。與風(fēng)險厭惡者相對的是風(fēng)險中性的投資者，其A=0，只根據(jù)風(fēng)險資產(chǎn)的期望收益率來判斷收益預(yù)期。風(fēng)險的高低對風(fēng)險中性投資者無關(guān)緊要，他們對風(fēng)險要求的補(bǔ)償為零，他們的確定等價收益率就是資產(chǎn)的期望收益率。風(fēng)險偏好者，其A0，這類投資者將風(fēng)險的樂趣考慮在內(nèi)后上調(diào)了效用水平。 第二節(jié) 最優(yōu)投資組合通過對投資者效用相同的投資組合風(fēng)險收益特點描點可以得到投資者風(fēng)險與收益的權(quán)衡。橫軸是期望收益，縱軸是標(biāo)準(zhǔn)差。圖5-9所示為資產(chǎn)組合P的情況。資產(chǎn)組合P，期望收益率是E(RP)，標(biāo)準(zhǔn)差是P。它與第三象限相比期望收益率更

38、高，標(biāo)準(zhǔn)差更小，所以更受風(fēng)險厭惡者的青睞；相反，第一象限的所有組合都比P受歡迎，因為它們的期望收益率大于等于P，標(biāo)準(zhǔn)差小于等于P。 第二節(jié) 最優(yōu)投資組合這就是均值-方差準(zhǔn)則。如果E(RA)E(RB)，AB，則表示投資組合A優(yōu)于投資組合B。在圖5-9中最受歡迎的方向是西北方向，即左上方，因為這個方向在提高期望收益的同時降低了方差。所有P點西北方向的任何組合都優(yōu)于組合P。 第二節(jié) 最優(yōu)投資組合那么第二象限和第四象限的投資組合又如何呢？與組合P相比，這些組合的受青睞程度完全取決于投資者的風(fēng)險厭惡程度。假設(shè)投資者確認(rèn)了所有和P一樣好的投資組合，從P點開始，效用隨標(biāo)準(zhǔn)差的增加而減少，這必須以期望收益率的

39、提高作為補(bǔ)償。高風(fēng)險高期望收益的資產(chǎn)和低風(fēng)險低期望收益的組合對投資者的吸引力相同。 第二節(jié) 最優(yōu)投資組合在均值-標(biāo)準(zhǔn)差圖中，用一條曲線將這些效用相同的所有資產(chǎn)組合連在一起就構(gòu)成了無差異曲線，如圖5-10所示。因此,對投資者而言，圖5-10中的Q點和P具有相同的吸引力。 第二節(jié) 最優(yōu)投資組合 第二節(jié) 最優(yōu)投資組合 第二節(jié) 最優(yōu)投資組合風(fēng)險厭惡程度不同，投資者的效用無差異曲線形態(tài)不同：風(fēng)險厭惡程度越高者，其效用無差異曲線越陡峭；風(fēng)險厭惡程度越低者，其效用無差異曲線越平緩。 第二節(jié) 最優(yōu)投資組合資本配置線包含投資者可獲得的最優(yōu)投資組合。這些投資組合都是無風(fēng)險資產(chǎn)和最優(yōu)風(fēng)險資產(chǎn)組合的線性組合。在這些可

40、獲得的投資組合中，投資者的最優(yōu)投資組合依賴于投資者的風(fēng)險偏好。（二） 投資者最優(yōu)投資組合 第二節(jié) 最優(yōu)投資組合下面將討論個人投資者的風(fēng)險偏好，借助無差異曲線選擇最優(yōu)投資組合，如圖5-11所示。圖5-11顯示無差異曲線與資本配置線相切。投資者最優(yōu)投資組合的位置依賴于投資者的風(fēng)險偏好，強(qiáng)烈風(fēng)險厭惡的投資者可能大比例甚至100%投資于無風(fēng)險資產(chǎn)，投資者的最優(yōu)投資組合會在靠近縱軸的地方；而低風(fēng)險厭惡的投資者可能會大比例投資于最優(yōu)風(fēng)險資產(chǎn)，投資者的最優(yōu)投資組合就會接近于P點。 第二節(jié) 最優(yōu)投資組合 第二節(jié) 最優(yōu)投資組合【例5-11】有兩種風(fēng)險資產(chǎn)A和B。資產(chǎn)A的期望收益率和標(biāo)準(zhǔn)差分別是20%和50%，資

41、產(chǎn)B的期望收益率和標(biāo)準(zhǔn)差分別是15%和33%。這兩種資產(chǎn)的相關(guān)系數(shù)為零。（1） 若投資者將資金的10%投資于資產(chǎn)A，90%投資于資產(chǎn)B，計算投資組合的期望收益率和投資組合的風(fēng)險。 第二節(jié) 最優(yōu)投資組合（2） 假設(shè)資產(chǎn)A的權(quán)重是WA，資產(chǎn)B的權(quán)重是1-WA，計算投資組合的收益率和風(fēng)險。（3） 無風(fēng)險資產(chǎn)的收益率為3%，根據(jù)（2）中投資組合的收益率和風(fēng)險，寫出資本配置線方程，連接無風(fēng)險資產(chǎn)和投資組合的風(fēng)險資產(chǎn)。（4） 當(dāng)資產(chǎn)A的權(quán)重為38.24%時，資本配置線的斜率最大。其資本配置線的方程是什么？ 第二節(jié) 最優(yōu)投資組合（5） 在資本配置線上，20%的收益率對應(yīng)的投資組合的標(biāo)準(zhǔn)差是多少？這個投資組合與資產(chǎn)A相比如何？（6） 當(dāng)投資組合的收益率分別是3%、9%、15%和20%時，組合的風(fēng)險各為多少？（7） 當(dāng)投資組合的收益率為3%、9%、15%和20%，投資者的風(fēng)險厭惡系數(shù)為2.5時，獲得的效用各是多少？該選擇哪個組合？ 第二節(jié) 最優(yōu)投資組合 第二節(jié) 最優(yōu)投資組合這條資本配置線是斜率最大的，因為它與風(fēng)險資產(chǎn)組成的投資組合相切。 第二節(jié) 最優(yōu)投資組合 第二節(jié) 最優(yōu)投資組合 第二節(jié) 最優(yōu)投資組合 第三節(jié) 馬科維茨模型馬科維茨的