電容器與電場的能量

1、電容器與電場的能量第1頁，共56頁，2022年，5月20日，4點38分，星期五例 一無限大各向同性均勻介質(zhì)平板，厚度為 d， 相對介電常數(shù)為 r，內(nèi)部均勻分布體電荷密度為 0 的自由電荷。求：介質(zhì)板內(nèi)、外的 、 、 。解：帶電體有面對稱，故 S以 x = 0 處的面為對稱，過場點作正柱形高斯面 S， 設(shè)底面積為 S0S0= 0= 2DS0垂直于平板。第2頁，共56頁，2022年，5月20日，4點38分，星期五均勻場= 0SS0第3頁，共56頁，2022年，5月20日，4點38分，星期五B在一點電荷產(chǎn)生的靜電場中，一塊電介質(zhì)如圖放置，以點電荷所在處為球心作一球形閉合面，則對此球形閉合面： (A)

2、 高斯定理成立，且可用它求出閉合面上各點的場強。 (B) 高斯定理成立，但不能用它求出閉合面上各點的場強。 (C) 由于電介質(zhì)不對稱分布，高斯定理不成立。 (D) 即使電介質(zhì)對稱分布，高斯定理也不成立。電介質(zhì)q第4頁，共56頁，2022年，5月20日，4點38分，星期五例 帶電金屬球 (R，q)，浸在油中 (er)，求球外的場強及金屬球表面處油面上的束縛電荷 q。解：在介質(zhì)內(nèi)作高斯面 S 由對稱性(q 與 q反號)+RrSq另一種解法見下頁第5頁，共56頁，2022年，5月20日，4點38分，星期五qqRr解：利用 的高斯定理高斯面例 一個帶正電的金屬球，半徑為 R，電量為 q，浸在油中，油的

3、相對介電常數(shù)為 er，求球外的電場分布以及貼近金屬球表面上的束縛電荷 q?？梢?，當帶電體周圍充滿電介質(zhì)時，場強減弱為真空時的 倍。第6頁，共56頁，2022年，5月20日，4點38分，星期五B一導體球外充滿相對介電常數(shù)為 r 的均勻電介質(zhì)，若測得導體表面附近場強為 E，則導體球面上的自由電荷面密度 為 (A) 0 E(B) 0 r E(C) r E (D) (0 r - 0)E C在空氣平行板電容器中，平行地插上一塊各向同性均勻電介質(zhì)板，如圖所示。當電容器充電后，若忽略邊緣效應(yīng)，則電介質(zhì)中的場強 與空氣中的場強 相比較，應(yīng)有(A) EE0，兩者方向相同。(B) EE0，兩者方向相同。(C) E

4、E0，兩者方向相同。(D) EE0，兩者方向相反。 第7頁，共56頁，2022年，5月20日，4點38分，星期五B一平行板電容器始終與一端電壓一定的電源相聯(lián)。當電容器兩極板間為真空時，電場強度為 ，電位移為 ，而當兩極板間充滿相對介電常數(shù)為 er 的各向同性均勻電介質(zhì)時，電場強度為 ，電位移為 ，則(A) 。 (B) 。 (C) 。 (D) 。 第8頁，共56頁，2022年，5月20日，4點38分，星期五例 兩平行放置的金屬板間原為真空，分別帶等量異號電荷 +s0、-s0，板間電壓為 U0，保持板上電荷不變，將板間一半空間充入介質(zhì) (er)，求：板間電壓。解：作高斯面=0=0DSd+s0-s0

5、+s1+s2S+-+第9頁，共56頁，2022年，5月20日，4點38分，星期五+s0+DSd-s0+s1+s2S-第10頁，共56頁，2022年，5月20日，4點38分，星期五例 導體球 (Q) 置于均勻各向同性介質(zhì)中，如圖示求： 場的分布。解：S1) 作高斯面 S由對稱性R0R1R2r R0 導體內(nèi)部E1 = 0P1 = 0R0 r R1，er1 內(nèi)第11頁，共56頁，2022年，5月20日，4點38分，星期五R1 r R2P4 = 0第12頁，共56頁，2022年，5月20日，4點38分，星期五 孤立導體的電容電容只與幾何因素和介質(zhì)有關(guān) 固有的容電本領(lǐng)3.單位:1. 孤立導體的電勢2.

6、定義8.4 電容器、電容(Capacitors and Capacitance)法拉( )微法( )皮法( )1F = 10-6F 1pF = 10-12F 第13頁，共56頁，2022年，5月20日，4點38分，星期五欲得到1F的電容，孤立導體球的半徑R為多少？例求真空中孤立導體球的電容。設(shè)球帶電為Q解：導體球電勢導體球電容介質(zhì)幾何由孤立導體球電容公式知R問題第14頁，共56頁，2022年，5月20日，4點38分，星期五腔內(nèi)導體的表面與殼的內(nèi)表面的形狀及相對位置8.4.2 電容器的電容1. 電容器：2.電容：由靜電屏蔽可知：導體殼內(nèi)部的場只由腔內(nèi)的電量Q和幾何條件及介質(zhì)決定 (相當于孤立)內(nèi)

7、表面-QQ電介質(zhì)由兩塊用電介質(zhì)隔開的金屬極板構(gòu)成。它們彼此靠得很近，使兩板間電場不受外部帶電體的影響。電介質(zhì)既起絕緣作用又起增大電容的作用。第15頁，共56頁，2022年，5月20日，4點38分，星期五典型的電容器平行板d球形柱形3. 電容器電容的計算設(shè)Q電容的計算R1R2R1R2U第16頁，共56頁，2022年，5月20日，4點38分，星期五(1) 平行板電容器(忽略邊緣效應(yīng))+-dSS第17頁，共56頁，2022年，5月20日，4點38分，星期五(2) 圓柱形電容器設(shè)外筒內(nèi)表面和內(nèi)筒外表面分別帶電-Q和+Q，忽略邊緣效應(yīng)。R1R2第18頁，共56頁，2022年，5月20日，4點38分，星期

8、五(3) 球形電容器令OR1孤立導體球的電容OR1R2第19頁，共56頁，2022年，5月20日，4點38分，星期五串聯(lián)：C1C2各電容器所帶電量相等，總電壓為各電容器電壓之和并聯(lián)：C1C2各電容器電壓相等，總電量 Q 為各電容器電量之和UQ-Q-QQ電容器的連接一、電容器的串、并聯(lián)第20頁，共56頁，2022年，5月20日，4點38分，星期五二、電容器的兩個主要指標：電容、耐壓能力 電介質(zhì)的擊穿在強電場作用下，電介質(zhì)分子中的正負電荷變成可以自由移動的電荷，電介質(zhì)變?yōu)閷w。擊穿場強：電介質(zhì)材料所能承受的不被擊穿的最大場強。也叫介電強度。電容器是一種常用的電工和電子學元件。如：在交流電路中電流和

9、電壓的控制； 發(fā)射機中振蕩電流產(chǎn)生； 接收機中的調(diào)諧； 整流電路中的濾波等等。三、電容器的應(yīng)用并聯(lián)時總電容增大，但電容器組的耐壓能力取決于耐壓能力最低的電容；串聯(lián)時總電容減小，但電容器組的耐壓能力提高了。第21頁，共56頁，2022年，5月20日，4點38分，星期五例(習題8-17) 求平行板電容器的電容。解：1. 設(shè) QQs-Q-s2. 求 E兩極板間： D = s133. 求 U4. 求 CABSerldDS右底 = s S右底2第22頁，共56頁，2022年，5月20日，4點38分，星期五討論1. 兩極板間介質(zhì)充滿 l = d2. 介質(zhì)為空氣3. C 可視厚度為 (d - l) 的空氣平

10、行板電容器和厚度為 l 的介質(zhì)平行板電容器的串聯(lián) 第23頁，共56頁，2022年，5月20日，4點38分，星期五若把電介質(zhì)板換成金屬板，在縫內(nèi)在金屬板內(nèi)兩板電勢差電介質(zhì)板換成金屬板后，電容增大了，但為了絕緣，仍需放電介質(zhì)。ldSS第24頁，共56頁，2022年，5月20日，4點38分，星期五討論dSrr1r2 S d1d2極板電介質(zhì)x思考第25頁，共56頁，2022年，5月20日，4點38分，星期五(2) 圓柱形電容器設(shè)外筒內(nèi)表面和內(nèi)筒外表面分別帶電 Q 和 +Q，忽略邊緣效應(yīng)。R1R2第26頁，共56頁，2022年，5月20日，4點38分，星期五例 圓柱形電容器。半徑為 R1、R2，長為 l

11、 的圓筒形導體(l R1、R2)，其間充有半徑為 a、b、長為 l 的同軸圓柱形電介質(zhì)(e)，求：C。e123+Q-Q解：設(shè) Q，R1R2ab123由 的高斯定理：第27頁，共56頁，2022年，5月20日，4點38分，星期五討論(1) 充滿介質(zhì) a = R1，b = R2(2) 空氣(3) C 相當于三個電容的串聯(lián)第28頁，共56頁，2022年，5月20日，4點38分，星期五例 神經(jīng)細胞可以傳遞電信號。如圖所示神經(jīng)細胞由帶樹突的細胞體和軸突組成，它連接著人大腳趾的壓力感覺細胞和脊髓中的神經(jīng)，信號由樹突進入細胞體，再從軸突傳遞出去。這種神經(jīng)細胞的軸突像一個由薄膜構(gòu)成的細長管子，半徑為 5 mm

12、，長度為 1 m，膜的厚度為 8.0 nm，膜的相對介電常數(shù)為 7。已知軸突膜內(nèi)外側(cè)具有 90 mV 電勢差。求：軸突膜內(nèi)外側(cè)所帶電荷電量是多少？第29頁，共56頁，2022年，5月20日，4點38分，星期五軸突樹突細胞體解：膜的厚度與軸突半徑相比非常小，所以膜的任一小部分都可看成平面，因此可以把軸突等效成平行板電容器。利用柱形電容器及 的高斯定理計算答案相同。第30頁，共56頁，2022年，5月20日，4點38分，星期五電容法在非電量電測法中的應(yīng)用 電容法測液面高度 在被測液體介質(zhì)中放入兩個同軸圓筒形極板。大圓筒內(nèi)半徑為 R，小圓筒外半徑為 r，圓筒的高度為 H，該圓柱形電容器的電容量隨筒內(nèi)

13、液面高度 h 的變化而改變。試寫出電容量 C 與液面高度 h 的關(guān)系式。e0hH2R2rer第31頁，共56頁，2022年，5月20日，4點38分，星期五(3) 球形電容器令OR1孤立導體球的電容OR1R2第32頁，共56頁，2022年，5月20日，4點38分，星期五球形電容器R1abR2(1) 充滿介質(zhì) a = R1，b = R2(2) 充滿空氣= erC0討論第33頁，共56頁，2022年，5月20日，4點38分，星期五解：(1) 由高斯定理例 半徑為 R1 的金屬球電量為 q，外面同心地放置一內(nèi)外半徑分別為 R3 和 R4 的金屬球殼，它本身帶電為 Q。兩者之間有一層內(nèi)外半徑分別為R2

14、和 R3 的電介質(zhì)，相對介電常數(shù)為 er。求： (1) 內(nèi)球電勢； (2) 內(nèi)外球電勢差； (3) 把外球殼接地，求該電容器電容。R1R2R3R4第34頁，共56頁，2022年，5月20日，4點38分，星期五內(nèi)球電勢：R1R2R3R4第35頁，共56頁，2022年，5月20日，4點38分，星期五(2)(3)外球接地，外球內(nèi)表面帶電 -qR1R2R3R4第36頁，共56頁，2022年，5月20日，4點38分，星期五例 計算兩根無限長平行導線間單位長度的電容。導線半徑為 a，兩導線軸間距為 d，且 d a。+l -la d-a xxO解：設(shè)無限長導線各帶線電荷密度為 l 的電荷，取坐標如圖。由疊加

15、原理求出導線間 x 點場強所以單位長度電容第37頁，共56頁，2022年，5月20日，4點38分，星期五例 銅球的一半浸在相對介電常數(shù)為 er 的油中，球上帶電 q，問上下半球各帶電多少？銅球q油er空氣R解：上半球是空氣中孤立導體，其電容 C1 = 2pe0R，下半球是油中孤立導體，其電容 C2 = 2pe0erR，銅球本身是等勢體，有 U1 = U2 = U，因此可看成兩個電容器并聯(lián) C = C1 + C2，所以第38頁，共56頁，2022年，5月20日，4點38分，星期五例 銅球的一半浸在相對介電常數(shù)為 er 的油中，球上帶電 q，問上下半球各帶電多少？(另解)銅球q油er空氣解：在銅球

16、外緊貼球面取同心高斯球面 S，通過 S 的 的通量利用 的高斯定律得由于銅球上下為等勢體，故由對稱性分析知 E1 = E2，即得在表面小柱體上利用高斯定律 D1S=s1S，得 D1= s1所以同理DS第39頁，共56頁，2022年，5月20日，4點38分，星期五K+-ab電源C8.5.1 電容器的能量(Energy Stored in Capacitors)電容器可以儲存能量設(shè)電容器的電壓為 U，帶電量為 Q，具有的能量為 W-dqW 為放電過程中電場力所作的功 A電容器具有的能量8.5 靜電場的能量(Electric field energy)第40頁，共56頁，2022年，5月20日，4點

17、38分，星期五CQ?能量的載體是誰電能是定域在電場中的！8.5.2 靜電場的能量、能量密度以平行板電容器為例：單位體積內(nèi)的電能普遍 電能密度各項同性第41頁，共56頁，2022年，5月20日，4點38分，星期五電場的能量 We例 導體球(R、Q)的電場能。第42頁，共56頁，2022年，5月20日，4點38分，星期五例 真空中的均勻帶電的球體，半徑為 R，電荷的體密度為 r，用電場的能量公式求此體系的靜電能。解：利用高斯定理，可得R第43頁，共56頁，2022年，5月20日，4點38分，星期五核裂變能的估算 已知鈾核帶電量為 92 e，可以近似地認為它均勻分布在一個半徑為 7.410-15m

18、的球體內(nèi)。(1) 試求出鈾核的靜電勢能。(2) 當鈾核對稱裂變后，產(chǎn)生兩個相同的鈀核，各帶電 46 e，總體積和原來一樣。設(shè)這兩個鈀核也可以看成球體，當它們分離很遠時，它們的總靜電勢能又是多少？這一裂變釋放出的靜電能是多少？(裂變時釋放的“核能” 基本上就是靜電能。) (3) 每個鈾核都這樣對稱裂變計算，1 kg 鈾裂變后釋放出的靜電能是多少？解： (1) (2)(3)第44頁，共56頁，2022年，5月20日，4點38分，星期五靜電噴漆用的微滴發(fā)生器 靜電噴漆、墨水噴射打字機等常用微滴發(fā)生器以產(chǎn)生微滴，在電力作用下噴射到待噴物表面上，靜電斥力要使液滴分裂，但液體表面張力則阻礙液滴分裂。當兩種

19、力的作用所引起的能量改變達到平衡時，液滴半徑將有一穩(wěn)定的最小值。 若帶電量為 q、半徑為 R 的帶電球形液滴在靜電斥力的作用下分裂成兩個體積相同、各帶 q/2 的小液滴，則分裂后兩個小液滴的靜電能之和與分裂前的液滴相比將 (填增加、減小、不變)，另一方面，我們知道液滴的表面能與其表面積的大小成正比，所以液滴分裂為二時表面能將 (填增加、減小、不變)。如果將靜電能與表面能的改變量分別用 DWp和 DWs 表示的話，那么當 DWp 與 DWs 的和為 時，液滴將不再分裂，此時液滴的半徑最小。 (答案：減??；增加；零；)第45頁，共56頁，2022年，5月20日，4點38分，星期五解：兩極面間的電場

20、大小為：在電場中取體積元：則在 dV 中的電場能量為：例 一圓柱形電容器，兩個極面的半徑分別為 R1 和R2，兩極面間充滿相對介電常數(shù)為 er 的電介質(zhì)。求此電容器帶有電量 Q 時所儲存的電能。R1R2第46頁，共56頁，2022年，5月20日，4點38分，星期五與前面計算結(jié)果同R1R2第47頁，共56頁，2022年，5月20日，4點38分，星期五例 兩個同心金屬球殼，內(nèi)球殼半徑為 R1，外球殼半徑為 R2，中間充滿相對介電常數(shù)為 er 的均勻介質(zhì)，構(gòu)成一個球形電容器。(1) 求該電容器的電容；(2) 設(shè)內(nèi)外球殼上分別帶有電荷 +Q 和 -Q，求電容器儲存的能量。 解：(1) 已知內(nèi)球殼上帶正

21、電荷 Q，則 兩球殼中間的場強大小為：兩球殼間電勢差 電容 (2) 電場能量：OR1R2第48頁，共56頁，2022年，5月20日，4點38分，星期五例 求空氣中平行板電容器兩板間相互作用力。解：設(shè)極板電荷面密度為 s，極板面積為 S，兩板間距離為 d。把兩板間的距離由 d 緩慢拉大到 d + Dd，外力所做的功為：根據(jù)功能原理，外力所做的功等于電容器儲存電能的增量：第49頁，共56頁，2022年，5月20日，4點38分，星期五外力等于兩極板間的吸引力，所以兩極板間相互作用力為：既不是 ，也不是 。第50頁，共56頁，2022年，5月20日，4點38分，星期五例 (習題p61：8-29) 平行

22、板電容器 S，d，充電至帶電 Q 后與電源斷開，然后用外力緩慢地把兩極板間距離拉開到 2d。求：(1) 電容器能量的改變；(2) 外力所做的功。解：極板拉開過程中電量 Q 不變。(1) 極板間距為 d 時，極板間距為 2d 時，電容器能量增量增加(2) 電容器極板吸力拉開過程中吸力為恒力，外力也為恒力，做正功能量守恒第51頁，共56頁，2022年，5月20日，4點38分，星期五練習題1. 一均勻帶電長直導線，電荷線密度為 l，則通過如圖所示球面的電位移通量為 ，電場強度通量為 。3. A、B 為兩塊無限大均勻帶電平行薄平板，兩板間和兩板的左右兩側(cè)充滿相對介電常數(shù)為 er 的各向同性均勻電介質(zhì)。

23、已知兩板間的場強大小為 E0，兩板外的場強均為 E0/3，方向如圖所示，則 A、B 兩板所帶電荷面密度分別為 sA = ， sB = 。lR2. 如圖所示，在邊長為 a 的正方形平面的中垂線上、距中心 O 點 a/2 處，有一電量為 +q 的點電荷。如取平面的正法線方向 如圖所示，則通過該平面的電場強度通量 FE = ， 電位移通量為 FD = 。qa/2OABE0E0/3E0/3第52頁，共56頁，2022年，5月20日，4點38分，星期五4. 半徑為 R1 和 R2 的兩個同軸金屬圓筒，其間充滿著相對介電常數(shù)為 er 的均勻介質(zhì)，設(shè)兩筒上單位長度的帶電量分別為 +l 和 l。則介質(zhì)中的電位移矢量的