牛頓柯特斯公式

1、牛頓柯特斯公式第1頁，共15頁，2022年，5月20日，15點10分，星期四第2頁，共15頁，2022年，5月20日，15點10分，星期四二、 Newton-Cotes公式的代數(shù)精度 所以I = S，表明辛卜生公式對于次數(shù)不超過三次的多項式準確成立，用同樣的方法可以驗證對于f (x)=x4，辛卜生公式不成立，因此辛卜生公式的代數(shù)精度可以達到三次。第3頁，共15頁，2022年，5月20日，15點10分，星期四 上式中被積函數(shù)是奇函數(shù)，積分區(qū)間關(guān)于原點對稱，故積分值為0， 即：所以2n階N-C公式至少具有2n+1次代數(shù)精度。 第4頁，共15頁，2022年，5月20日，15點10分，星期四三、幾種低

2、階Newton-Cotes求積公式的余項 證明： 這里被積函數(shù)中的因子(xa)(xb)在區(qū)間a, b 上不變號（非正），故由積分中值定理，在a, b 內(nèi)至少存在一點，使： 第5頁，共15頁，2022年，5月20日，15點10分，星期四證明：在a, b區(qū)間上構(gòu)造三次多項式H(x)，讓H(x) 滿足插值條 件（帶導數(shù)插值）： 而辛卜生公式至少具有三次代數(shù)精度，因此對上述三次多項式H(x) 應準確成立，即有：其插值余項為：第6頁，共15頁，2022年，5月20日，15點10分，星期四因此，辛卜生公式的誤差就是對上述誤差公式的積分：第7頁，共15頁，2022年，5月20日，15點10分，星期四 四 復

3、化求積公式 在實驗計算中常用的就是以上三種低階的N-C公式，但若積分區(qū)間比較大，直接使用這些求積公式，則精度難以保證；若增加節(jié)點，就要使用高階的N-C公式，然而前面已指出，當n 8時，由于N-C公式的收斂性和穩(wěn)定性得不到保證，因此不能采用高階的公式，事實上，增加節(jié)點，從插值的角度出發(fā)，必然會提高插值多項式的次數(shù)，Runge現(xiàn)象表明，一般不采用高次插值，亦即不用高階N-C公式，為提高精度，當增加求積節(jié)點時，考慮對被積函數(shù)用分段低次多項式近似，由此導出復化求積公式。第8頁，共15頁，2022年，5月20日，15點10分，星期四1、復化梯形公式第9頁，共15頁，2022年，5月20日，15點10分，

4、星期四2、復化辛普森公式步長h越小，截斷誤差越小。與復化梯形公式的分析相類似，可以證明，當n 時，用復化Simpson公式所求得的近似值收斂于積分值，而且算法具有數(shù)值穩(wěn)定性。 第10頁，共15頁，2022年，5月20日，15點10分，星期四 xi 0 1/8 1/4 3/8 1/2 5/8 3/4 7/8 1 f (xi) 1 0.9973978 0.8414709第11頁，共15頁，2022年，5月20日，15點10分，星期四第12頁，共15頁，2022年，5月20日，15點10分，星期四若用復化求積公式計算積分:的近似值，要求計算結(jié)果有四位有效數(shù)字，n應取多大？ 例2解 因為當0 x1時有

5、0.3e-1e-x1于是： 要求計算結(jié)果有四位有效數(shù)字，即要求誤差不超過10-4 / 2。又因為: 因此若用復化梯形公式求積分，n應等于41才能達到精度。由復化梯形公式誤差估計式：第13頁，共15頁，2022年，5月20日，15點10分，星期四若用復化Simpson公式即得n 1.6。故應取n = 2。 a, b分成n 等分，分點為：在每個小區(qū)間：上，共三個點：所以這里在0, 1上實際上共有5個分點。注意這里是將區(qū)間第14頁，共15頁，2022年，5月20日，15點10分，星期四 例2的計算結(jié)果表明，為達到相同的精度，用復化Simpson公式所需的計算量比復化梯形公式少，這也說明了復化Simpson公式的精度較高，實際計算時多采用復化Simpson公式。 復化求積方法又稱為定步長方法，要應用復化求積公式，必須根據(jù)預先給定的精度估計出合適的步長或n，進而確定對積分區(qū)間的等分數(shù)，如同例2一樣。然而當被積函數(shù)稍復雜一些，要由誤差估計式給出合適的步長，就要估計被積函