數(shù)字信號處理吳鎮(zhèn)揚CHP有限沖激響數(shù)字濾波器設計

1、第五章有限沖激響應數(shù)字濾波器設計趙發(fā)勇 zfy_序言5.1 線性相位FIR濾波器的特性5.2 窗口設計法（時間窗口法） 5.3 頻率采樣法5.4 FIR數(shù)字濾波器的最優(yōu)化設計5.5 IIR與FIR數(shù)字濾器的比較引言IIR數(shù)字濾波器和優(yōu)缺點優(yōu)點 可以利用模擬濾波器設計的結果，而模擬濾波器的設計有大量圖表可查，方便簡單。缺點 相位的非線性，將引起頻率的色散，若須線性相位，則要采用全通網(wǎng)絡進行相位校正,使濾波器設計變得復雜，成本也高。 引言輸入輸出的卷積關系為FIR數(shù)字濾波器的差分方程為對應的系統(tǒng)函數(shù)為比較可得：系數(shù)ai即為系統(tǒng)的單位抽樣響應，無極點(或極點在原點)引言優(yōu)點 （1）很容易獲得嚴格的線

2、性相位，避免被處理的信號產(chǎn)生相位失真，這一特點在寬頻帶信號處理、陣列信號處理、數(shù)據(jù)傳輸?shù)认到y(tǒng)中非常重要； （2 ）可得到多帶幅頻特性； （3 ）極點全部在原點（永遠穩(wěn)定），無穩(wěn)定性問題； （4 ）任何一個非因果的有限長序列，總可以通過一 定的延時，轉變?yōu)橐蚬蛄校?所以因果性總是滿足； （5）無反饋運算，運算誤差小。 穩(wěn)定性及可實現(xiàn)和線性相位特性是FIR濾波器突出的優(yōu)點。語音處理，圖象處理以及數(shù)據(jù)傳輸中具有重要的應用。引言缺點 （1）因為無極點，要獲得好的過渡帶特性，需以較高的階數(shù)為代價； （2）無法利用模擬濾波器的設計結果，一般無解析設計公式，要借助計算機輔助設計程序完成。5.1 線性相位F

3、IR濾波器的特點 系統(tǒng)的頻率響應包括幅頻特性和相頻特性。幅頻特性反映了信號通過系統(tǒng)后各頻率成分衰減情況。相頻特性反映了信號的各頻率成分經(jīng)過系統(tǒng)后在時間上發(fā)生的位移情況。 很多場合下，一個理想的離散時間系統(tǒng)（濾波器）除了具有希望的幅頻特性外（如低通、高通、帶通等），最好具有線性相位,即產(chǎn)生什么效果？若：其中k為常數(shù)也稱線性相位5.1 線性相位FIR濾波器的特點分析：現(xiàn)假設系統(tǒng)的幅頻特性為1，考慮信號經(jīng)過線性相位系統(tǒng)后的輸出。設系統(tǒng)的輸入序列為x(n)，則輸出序列為y(n)的頻率特性為由DTFT的性質可知輸出序列此式說明，輸出序列y(n)為輸入序列為x(n)在時間上位移。結論當系統(tǒng)具有線性相位時，

4、信號無失真（指無相位失真、有一定的延遲）。5.1 線性相位FIR濾波器的特點定義系統(tǒng)的群延遲由上面的分析可知，線性相位的群延遲為一常數(shù)?？梢詫⑷貉舆t作為相頻特性是否線性的度量，同時，它也表示了系統(tǒng)輸出的延遲。5.1 線性相位FIR濾波器的特點當FIR系統(tǒng)h(n)滿足該系統(tǒng)具有線性相位。其中+表示偶對稱，-表示奇對稱(如圖示) 。同時由于N可取奇或偶，共有四種情況，下面分析這四種情況下的線性相位特性和幅度特性。第一類FIR系統(tǒng)第二類FIR系統(tǒng)第三類FIR系統(tǒng)第四類FIR系統(tǒng)5.1 線性相位FIR濾波器的特點h(n)=h(N-1-n)為偶對稱h(n)= -h(N-n-1)為奇對稱N為偶N為奇N為偶

5、N為奇5.1 線性相位FIR濾波器的特點1、且N為奇數(shù)5.1 線性相位FIR濾波器的特點令則系統(tǒng)的頻率響應5.1 線性相位FIR濾波器的特點系統(tǒng)的相頻特性為系統(tǒng)的幅度函數(shù)由定義可知，此時的FIR系統(tǒng)具有線性相位。令 ，則令則由于 偶對稱，因此 對這些頻率也呈偶對稱。p2p05.1 線性相位FIR濾波器的特點5.1 線性相位FIR濾波器的特點、h(n)= h(N-1-n),且N為偶數(shù)5.1 線性相位FIR濾波器的特點令則系統(tǒng)的頻率響應5.1 線性相位FIR濾波器的特點系統(tǒng)的相頻特性為系統(tǒng)的幅頻特性為由定義可知，此時的FIR系統(tǒng)具有線性相位。令 ，則或寫為： 由于 奇對稱，所以 對 也為奇對稱，且

6、由于 時， 處必有一零點，因此這種情況不能用于設計 時 的濾波器，如高通、帶阻濾波器。5.1 線性相位FIR濾波器的特點5.1 線性相位FIR濾波器的特點同理可求出N奇、偶時系統(tǒng)的相頻特性分別為 通過以上分析可知，當FIR DF的抽樣響應滿足對稱時，該濾波器具有線性相位，其中，當h(n)為奇對稱時，通過濾波器的所有頻率分量將產(chǎn)生90的相移。下面討論具有線性相位FIR濾波器零點分布及幅頻響應問題5.1 線性相位FIR濾波器的特點一、零點分析利用h(n)的對稱性可知其中+表示偶對稱，-表示奇對稱。由上式容易可以看出H(Z-1)的零點也是H(Z)的零點。5.1 線性相位FIR濾波器的特點、情況一：分

7、析：在這種情況下H（Z-1）的零點也是H（Z）的零點,即Zk為零點 ， Zk-1也是零點,(兩者稱為單位圓鏡像對稱);同時,零點為復數(shù)，應當成對出現(xiàn)，即此時有四個互為倒數(shù)的兩組共軛 對零點，如下圖所示：5.1 線性相位FIR濾波器的特點、情況二：分析：此時零點不在單位圓上，但在實軸上，是實數(shù),共軛就是自己，所以有一對互為倒數(shù)的零點,如下圖所示：5.1 線性相位FIR濾波器的特點、情況三：分析：此時零點在單位圓上，但不在實軸上，因倒數(shù)就是自己的共軛，所以有一對共軛零點，如下圖所示：5.1 線性相位FIR濾波器的特點、情況四：分析：此時零點既在單位圓上，又在實軸上，共軛和倒數(shù)都合為一點，所以以單出

8、現(xiàn)，且只有兩種可能，zk=1或zk=-1。如下圖所示：5.1 線性相位FIR濾波器的特點 通過以上分析可知，一個具有線性相位的FIR DF，其轉移函數(shù)可表示為上述四情況的級聯(lián)，即上述子傳輸函數(shù)分別對應四種情況下的一階、二階和四階子系統(tǒng)。由于其均具有對稱的系數(shù)，它們均為線性相位子系統(tǒng)。為實現(xiàn)H（Z）提供了方便，H（Z）各種情況下的零點位置示意圖如下如所示。5.1 線性相位FIR濾波器的特點5.1 線性相位FIR濾波器的特點二、線性相位FIR DF幅頻響應特點 在一個FIR系統(tǒng)中，滿足圖5.3.1所示的對稱性，稱此進的H（Z）為鏡像對稱多項式（MIP），下面分析這引MIP在z=1或z=-1處幅頻響

9、應的特點。5.1 線性相位FIR濾波器的特點第一類FIR DF (偶對稱,N為奇)的特點： 恒相時延，相位曲線是過原點的直線。 H(1)=H(1),H(-1)=H(-1),即Z=-1和1(或零點和點)都能保證5.3.1式成立, 點相當模擬頻率 s2，或者說模擬頻率的最高頻(高頻端),因此,此類FIR DF可靈活設置低通高通和帶通濾波器.5.1 線性相位FIR濾波器的特點第二類FIR DF (偶對稱,N為偶)的特點： 恒相時延，相位曲線是過原點的直線。 H(1)=H(1), H(-1)=-H(-1),即點一定是幅度函數(shù)的零點,以保證對稱性成立。 點是零點說明高端不通，所以這類FIR系統(tǒng)只能做低通

10、和帶通,不能設計高通和帶阻濾波器.5.1 線性相位FIR濾波器的特點第三類FIR DF (奇對稱,N為奇) 的特點： 恒群時延，有 /2 附加相移，相位曲線是截距為/2 、斜率為 -(N-1)/2 的直線。 對零頻和頻均為奇對稱, 即H(1)=-H(1)， H(-1)=-H(-1)，所以零頻和頻都必須是H()的零點，以保證對稱性。所以這類FIR系統(tǒng)只能做帶通。5.1 線性相位FIR濾波器的特點第四類FIR DF (奇對稱,N為偶)的特點： 恒群時延，有/2 附加相移。相位曲線與第三類相同。 幅度曲線對原點奇對稱，H(1)=-H(1)零頻是的零點。 幅度曲線對H(-1)=H(-1),即點偶對稱。

11、所以這類FIR系統(tǒng)只能做高通和帶通濾波器。5.1 線性相位FIR濾波器的特點小結： 線性相位濾波器是FIR濾波器中最重要的一種，應用最廣。實際使用時應根據(jù)需用選擇其合適類型，并在設計時遵循其約束條件。5.2 窗口設計法 基于模擬的設計是面向極點系統(tǒng)的設計，不適用于FIR系統(tǒng)，目前FIR DFR的設計方法主要建立在對理想濾波器頻率特性作某種近似的基礎上，主要有窗數(shù)法（時域逼近）頻率抽樣法(頻域逼近）最佳一致逼近法（等波紋逼近） 本章將討論這三種方法，并討論一些常用的特殊形式濾波器，如梳狀濾波器等。FIR DF設計的含義是： 根據(jù)給定的設計指標，求解所選運算結構要求的h(n)或H(z)（線性卷積和

12、快速卷積型結構，求FIR DF的h(n)；級聯(lián)和頻率采樣型結構，求FIR DF 的H(z)） 。1. 由理想的頻率響應得到理想的 2.由 得到因果、有限長的單位抽樣響應一、思路與方法： 如果希望得到的濾波器的理想頻率響應為 ，時間窗函數(shù)設計法是從單位沖響應序列著手，使設計的濾波器單位沖激響應h(n)逼近理想的單位脈沖響應序列hd(n)。5.2 窗口設計法我們知道hd(n)可以從理想頻響通過付氏反變換獲得, 即5.2 窗口設計法如理想低通濾波器的單位沖激響應為:特點： 無限長 非因果 偶對稱解決方法： 截短 移位 保留 這種截取可想象為h(n)是通過一個“窗口”所看到的一段hd(n)，因此這種方

13、法稱為窗函數(shù)法。h(n)也可表達為hd(n)和一個“窗函數(shù)”的乘積，即h(n)=w(n) hd(n) 。 最簡單的窗口函數(shù)就是矩形脈沖函數(shù)RN(n），后面我們還可看到,為了改善設計濾波器的特性，窗函數(shù)還可以有其它的形式，相當于在矩形窗內對hd(n)作一定的加權處理。 5.2 窗口設計法即：隱含著使用了窗函數(shù)1）由定義3）卷積插值5.2 窗口設計法設計步驟5.2 窗口設計法5.2 窗口設計法窗函數(shù)對理想特性的影響： 改變了理想頻響的邊沿特性，形成過渡帶，寬為 4/N，等于WR()的主瓣寬度。（決定于窗長） 過渡帶兩旁產(chǎn)生肩峰和余振（帶內、帶外起伏），取決于 WR()的旁瓣，旁瓣多，余振多；旁瓣相

14、對值大，肩峰強 ，與 N無關。（決定于窗口形狀） N增加,過渡帶寬減小,肩峰值不變。 其中x=N/2,所以N的改變不能改變主瓣與旁瓣的比例關系，只能改變WR（）的絕對值大小和起伏的密度，當N增加時，幅值變大，頻率軸變密，而最大肩峰永遠為8.95%，這種現(xiàn)象稱為吉布斯（Gibbs）效應。計算 以一個截止頻率為c的線性相位理想低通濾波器為例,討論FIR的設計問題。1、對于給定的理想低通濾波器5.2 窗口設計法 這是一個以為 中心的偶對稱的無限長非因果序列，如果截取一段n=0-N的hd(n)作為h(n)，則為保證所得到的是線性相位FIR濾波器，延時 應為h(n)長度N的一半,即 其中2、計算3、計算

15、5.2 窗口設計法5.2 窗口設計法 改變窗函數(shù)的形狀，可改善濾波器的特性，窗函數(shù)有許多種，但要滿足以下兩點要求：窗譜主瓣寬度要窄，以獲得較陡的過渡帶；相對于主瓣幅度，旁瓣要盡可能小，使能量盡量集中在主瓣中，這樣就 可以減小肩峰和余振，以提高阻帶衰減和通帶平穩(wěn)性。 但實際上這兩點不能兼得，一般總是通過增加主瓣寬度來換取對旁瓣的抑制。1、理想的線性相位高通DF的頻率特性為15.2 窗口設計法 相對于低通濾波器，高通、帶通帶阻濾波器的設計只需要改變積分的上下限即可，下面介紹：5.2 窗口設計法 理想的線性相位高通DF相當于一個全通減去一個低通濾波器.2、理想的線性相位帶通DF的頻率特性為：5.2

16、窗口設計法3、理想的線性相位帶阻DF：略5.2 窗口設計法 獲得理想特性后，選取一個滿意的窗函數(shù)w(n)，令 h(n)w(n)hd(n) n0,1, ,M 則h(n)即是要設計的濾波器的頻率響應。 按上述方法設計出的濾波器，由于滿足了h(n)土h(M一n)的對稱關系,因此都具有線性相位。 FIR DF設計的窗函數(shù)法不但可以用來設計普通的LP，HP，BP及BS濾波器，也可用以來設計一些特殊的濾波器，例如差分濾波器，希爾伯特濾波器等。優(yōu)點：1.無穩(wěn)定性問題； 2.容易做到線性相位； 3.可以設計各種特殊類型的濾波器； 4.方法簡單。缺點：1.不易控制邊緣頻率； 2.幅頻性能不理想； 3. 較長；

17、二、窗函數(shù)法的特點：改進：1.使用其它類型的窗函數(shù)； 2.改進設計方法。5.2 窗口設計法5.2 窗口設計法 在信號處理中不可避免地要遇到數(shù)據(jù)截短問題，例如，上節(jié)討論的FIR DF濾波器的設計，還有比如在功率譜估計中要遇到對自相關函數(shù)的截短問題。 總之，我們在實際工作中所能處理的離散序列總是有限長。把一個長序列變成有限長的短序列不可避免地要用到窗函數(shù)。因此，窗函數(shù)本身的研究及應用是信號處理中的一個基本問題。5.2 窗口設計法 下面給出了三個領域指標以定量地比較各種窗函數(shù)的性能：3dB帶寬B 它是主瓣歸一化的幅度下降到一3dB時帶寬。當數(shù)據(jù)長度為N時，矩形窗主辨兩個過零點之間的寬度為4N。最大邊

18、瓣峰值A (dB)。邊瓣譜峰漸近衰減速度D (dBoct)。 說明：一個理想的窗函數(shù)，應該具有最小的B和A及最大的D。5.2 窗口設計法 除以上三個指標外，窗函數(shù)還有一些共同的要求： w(n)應是非負的實偶函數(shù)，且w(n)從對稱中心開始，應是非遞增的。 由(7.2.2)式可知，若X(ejw)恒為正，那么，若W(ejw)有正有負。則XN(ejw)將有正有負。因為功率譜總是正的，因此，我們希望W(ejw)也盡可能是正的。 窗函數(shù)的頻譜應滿足5.2 窗口設計法（2）三角窗（Bartlett)5.2 窗口設計法(3)升余弦窗（漢寧Hanning窗）5.2 窗口設計法優(yōu)點由于頻譜是由三個互有頻移的不同幅

19、值的矩形窗函數(shù)相加而成，這樣使旁瓣大大抵消，從而能量相當有效地集中在主瓣內。代價（缺點）主瓣加寬一倍，可達到減少肩峰，余振，提高阻帶衰減。缺點：過濾帶加大5.2 窗口設計法(4)漢明窗（改進的升余弦窗，Hamming）5.2 窗口設計法5.2 窗口設計法(5)布萊克曼窗（二階升余弦，Blackman窗）5.2 窗口設計法5.2 窗口設計法5.2 窗口設計法5.2 窗口設計法5.2 窗口設計法5.2 窗口設計法% for example 7.9.1 and 7.1.1to test fir1.mclear all;N=10; M=128;b1=fir1(N,0.25,boxcar(N+1); %

20、 矩形窗作為沖激響應的窗函數(shù)b2=fir1(N,0.25,hamming(N+1); % 漢明窗作沖激響應的窗函數(shù)h1=freqz(b1,1,M);h2=freqz(b2,1,M);% 求濾波器的頻率響應；t=0:10;subplot(221);stem(t,b2,.);hold on;plot(t,zeros(1,11);grid;f=0:0.5/M:0.5-0.5/M;M1=M/4;for k=1:M1 hd(k)=1; hd(k+M1)=0; hd(k+2*M1)=0; hd(k+3*M1)=0;endsubplot(222);plot(f,abs(h1),b-,f,abs(h2),g-

21、,f,hd,-);grid;5.2 窗口設計法5.3 頻率采樣設計法 窗函數(shù)設計法是從時域出發(fā)的一種設計法。工程上，常給定頻域上的技術指標，所以采用頻域設計更直接。尤其對于Hd(ejw)公式較復雜，或Hd(ejw)不能用封閉公式表示而用一些離散值表示時，頻率抽樣設計法更為方便，有效。7.3 FIR數(shù)字濾波器設計的頻率抽樣法一、思路與方法 使所設計的FIR數(shù)字濾波器的頻率特性在某些離散頻率點上的值準確地等于所需濾波器在這些頻率點處的值，在其它頻率處的特性則有較好的逼近。7.3 FIR數(shù)字濾波器設計的頻率抽樣法7.3 FIR數(shù)字濾波器設計的頻率抽樣由此可以看出，連續(xù)函數(shù)H(ejw)是由以N個離散值

22、從Hd(k) 作為權重和插值函數(shù)S(w,k)線性組合的結果。線性相位條件 為了設計線性相位的FIR濾波器，采樣值 H（k）要滿足一定的約束條件。 具有線性相位的FIR濾波器，其單位脈沖響應h(n)是實序列，且滿足 ，由此得到的幅頻和相頻特性，就是對H(k)的約束。情況一:設計第一類線性相位FIR濾波器，即N為奇數(shù)，h(n)偶對稱，則幅度函數(shù)(用H()表示)應具有偶對稱性：7.3 FIR數(shù)字濾波器設計的頻率抽樣令 則 必須滿足偶對稱性：而 必須取為： 情況二:設計第二種線性相位FIR濾波器，N為偶數(shù)，h(n)偶對稱，由于幅度特性是奇對稱的， 7.3 FIR數(shù)字濾波器設計的頻率抽樣因此，Hk 也必

23、須滿足奇對稱性： 相位關系同上， 其它兩種線性相位FIR數(shù)字濾波器的設計，同樣也要滿足幅度與相位的約束條件。同樣可根據(jù)頻率響應的插值公式來分析。7.3 FIR數(shù)字濾波器設計的頻率抽樣根據(jù)所設計濾波器的通帶和阻帶的要求,根據(jù)N為奇偶,按線性相位要求指定Hd(k).計算 ,求出所設計濾波器的頻率響應。例7.3.1例7.3.2分析：過渡帶的設計7.3 FIR數(shù)字濾波器設計的頻率抽樣綜上所述，頻率抽樣法的設計步驟為7.3 FIR數(shù)字濾波器設計的頻率抽樣二、頻率抽樣法的特點優(yōu)點： 直接從頻域進行設計，物理概念清楚，直觀方便；適合于窄帶濾波器設計，這時頻率響應只有少數(shù)幾個非零值。缺點： 截止頻率難以控制。

24、因頻率取樣點都局限在2/N的整數(shù)倍點上，所以在指定通帶和阻帶截止頻率時，這種方法受到限制，比較死板。充分加大N，可以接近任何給定的頻率，但計算量和復雜性增加。7.4 FIR數(shù)字濾波器設計的切比雪夫逼近法 前面介紹了FIR數(shù)字濾波器的兩種逼近設計方法，即窗口法（時域逼近法）和頻率采樣法（頻域逼近法），用這兩種方法設計出的濾波器的頻率特性都是在不同意義上對給定理想頻率特性Hd(ej)的逼近。 說到逼近，就有一個逼近得好壞的問題，對“好”“壞”的恒量標準不同，也會得出不同的結論。窗口法和頻率采樣法都是先給出逼近方法，所需變量，然后再討論其逼近特性。如果反過來要求在某種準則下設計濾波器各參數(shù)，以獲取最

25、優(yōu)的結果，這就引出了最優(yōu)化設計的概念，最優(yōu)化設計一般需要大量的計算，所以一般需要依靠計算機進行輔助設計。 7.4 FIR數(shù)字濾波器設計的切比雪夫逼近法從數(shù)值逼近的理論來看，對函數(shù)f(x)的逼近一般有三種方法（或可以適用于FIR濾波器最優(yōu)化設計中）：插值法最小平方逼近法（最小均方誤差）最佳一致逼近法(最大誤差最小化準則)插值法：即尋找一個n階多項式p(x)使它在n+1個點處滿足而在非插值點上，p(x)是f(xk)的某種組合。在非插值點上存在一定的誤差。頻率抽樣法可以看作為插值法。最小平方逼近法（最小均方誤差） 若以E(ej)表示逼近誤差，則 那么均方誤差為均方誤差最小準則就是選擇一組時域采樣值，

26、以使均方誤差 ，這一方法注重的是在整個-頻率區(qū)間內總誤差的全局最小，但不能保證局部頻率點的性能，有些頻率點可能會有較大的誤差，7.4 FIR數(shù)字濾波器設計的切比雪夫逼近法對于窗口法FIR濾波器設計，因采用有限項的h(n)逼近理想的hd(n)，所以其逼近誤差為：如果采用矩形窗 則有可以證明，這是一個最小均方誤差264。其優(yōu)點是過渡帶較窄，缺點是局部點誤差大,或者說誤差分布不均勻。7.4 FIR數(shù)字濾波器設計的切比雪夫逼近法切比雪夫逼近法(最大誤差最小化最佳一致逼近等波紋逼近）表示為 切比雪夫理論指出，這樣的多項式是存在的。優(yōu)點：可保證局部頻率點的性能也是最優(yōu)的，誤差分布均勻，相同指標下，可用最少

27、的階數(shù)達到最佳化。 7.4 FIR數(shù)字濾波器設計的切比雪夫逼近法7.4 FIR數(shù)字濾波器設計的切比雪夫逼近法切比雪夫逼近法設計IR數(shù)字濾波器設所希望的理想頻率響應為 我們的任務是，尋找一，使其在通帶和阻帶內最佳一致逼近理想頻響。 根據(jù)交錯點組定理，可以想象，如果只H(ejw)是對Hd(ejw)的最佳一致逼近，那么其在通帶和阻帶內應具有如圖7.4.1的等紋波性質。所以最佳一致逼近有時又稱等紋波逼近。7.4 FIR數(shù)字濾波器設計的切比雪夫逼近法如圖，用等波紋逼近法設計濾波器需要確定五個參數(shù)： N、p、s、1、2按上圖所示的誤差容限設計低通濾波器，就是說要在通帶 0 p 內以最大誤差 1 逼近1，在

28、阻帶s 內 以最大誤差2逼近零。 要同時確定上述五個參數(shù)較困難。常用的兩種逼近方法： 1）給定N、1、2，以p和s、為變量。 缺點：邊界頻率不能精確確定。 2）給定N、P和S，以1和2為變量，通過迭代運算 ，使逼近誤差1和2 最小，并確定h(n)切比雪 夫最佳一致逼近。 特點：能準確地指定通帶和阻帶邊界頻率。7.4 FIR數(shù)字濾波器設計的切比雪夫逼近法7.4 FIR數(shù)字濾波器設計的切比雪夫逼近法式中為了保證設計的濾波器具有線性相位，仍應遵守h(n)的約束，為了討論方便，現(xiàn)假設h(n)為偶對稱，為奇數(shù)，則 定義逼近誤差函數(shù)： 上式中使用加權因數(shù) ，是考慮在設計濾波器時對通帶和阻帶常要求不同的逼近

29、精度，故乘以不同的加權函數(shù)。 由交錯點組定理可知，Hg(ej)在子集F上是對Hd(ejw)唯一最佳一致逼近的充要條件是:誤差函數(shù)在F上至少呈現(xiàn)M十2個“交錯”，使得7.4 FIR數(shù)字濾波器設計的切比雪夫逼近法 如果已知在F上的M+2個交錯頻率,即w1,w2,Wm+1,則有7.4 FIR數(shù)字濾波器設計的切比雪夫逼近法上式可以寫成矩陣形式問題: 一是交錯點組i事先是不知道的，這樣當然無法求解方程式;二是直接求解方程組比較因難。(1)在頻率子集 F 上均勻等間隔地選取 M+2 個極值點頻率 7.4 FIR數(shù)字濾波器設計的切比雪夫逼近法 為此，J.H.McClallan等人利用數(shù)值分析中的Remez算

30、法，靠一次次的迭代來求得一組交錯點組，而且在每一次迭代過程中避免直接求解(7.4.7)式。算法的步驟歸納如下： 由 求 和利用重心形式的拉格朗日插值公式，其中將 代入(7.4.5)式,即可求得誤差函數(shù).如果在 F 上，對所有頻率都有 則為所求， 即為極值點頻率。7.4 FIR數(shù)字濾波器設計的切比雪夫逼近法(2)對上次確定的極值點頻率 中的每一點，在其附近檢查是否在某一頻率處有，如有，則以該頻率點作為新的局部極值點。對 M+2 個極值點頻率依次進行檢查，得到一組新的極值點頻率。重復步驟(1）、(2)，求出 ，完成一次迭代。 (3) 重復上述步驟，直到 的值改變很小，迭代結束，這個 即為所求的 最

31、小值。由最后一組極值點頻率求出 ，反變換得到 , 完成設計。 7.4 FIR數(shù)字濾波器設計的切比雪夫逼近法7.4 FIR數(shù)字濾波器設計的切比雪夫逼近法例7.4.2見P286和P316% remez.m, for example 7.9.3 and 7.4.2;% to test remez.m and to design multi-band FIR filter;clear all;% 用切比雪夫最佳一致逼近設計線性相位多帶FIR濾波器；f=0 .14 .18 .22 .26 .34 .38 .42 .46 .54 .58 .62 .66 1;%給定頻率分點A=1 1 0 0 1 1 0 0

32、 1 1 0 0 1 1;%分點上理想的幅頻響應weigh=8 1 8 1 8 1 8;%頻點上加權b=remez(64,f,A,weigh);利用切比雪夫一致逼近法設計多帶FIRh,w=freqz(b,1,256,1);h=abs(h);h=20*log10(h);figure(1);stem(b,.);grid;figure(2);plot(w,h);grid;7.4 FIR數(shù)字濾波器設計的切比雪夫逼近法7.4 FIR數(shù)字濾波器設計的切比雪夫逼近法7.5 幾種簡單形式的濾波器 包括平均濾波器,平滑濾波器,梳狀濾波器。這一類濾波器性能不是很好，但濾波器簡單，有時很實用，有的具有一些特殊的用途

33、。 概念：信噪比(SNR)與噪聲減少比（NRR）信噪比：觀察信號信號噪聲噪聲減少比（Noise Reduction Ration, NRR):越小越好！可以證明：為了減少噪聲，將 通過一個濾波器7.5 幾種簡單形式的濾波器一、平均濾波器 點平均器IIR系統(tǒng)7.5 幾種簡單形式的濾波器7.5 幾種簡單形式的濾波器7.5 幾種簡單形式的濾波器可以求出：可見 N 足夠大，即可就可以獲得足夠小的NRR。但是，N 過大會使濾波器具有過大的延遲： 群延遲=（N1）/2。而且會使其主瓣的單邊的帶寬大大降低，這就有可能在濾波時使有用的信號 s(n) 也受到損失。因此，在平均器中，N 不宜取得過大。7.5 幾種

34、簡單形式的濾波器三、梳狀濾波器作用：去除周期性的噪聲，或是增強周期 性的信號分量。 7.5 幾種簡單形式的濾波器7.5 幾種簡單形式的濾波器7.5 幾種簡單形式的濾波器7.6 建立在極零抵消基礎上的 簡單整系數(shù)的濾波器 對信號作實時濾波處理時，有時對濾波器的性能要求并不很高，但要求計算速度快，濾波器的設計也應簡單易行，因而希望濾波器的系數(shù)為整數(shù)。特別是當用匯編語言編寫程序時，更希望如此。采用極零抵消的方法，可以設計出簡單整系數(shù)的低通、高通、帶通和帶阻濾波器。1. 低通單位圓上均勻分布M個零點設置一極點，抵消掉z=1處零點M點平均器7.6 建立在極零抵消基礎上的 簡單整系數(shù)的濾波器2. 高通單位

35、圓上均勻分布M個零點設置一極點，抵消掉z=1處零點7.6 建立在極零抵消基礎上的 簡單整系數(shù)的濾波器 上述低通和高通濾波器的系數(shù)都是整系數(shù)（系數(shù)1/N可最后單獨處理），如果認為幅頻響應不滿意，可以取濾波器系數(shù)仍為整數(shù)7.6 建立在極零抵消基礎上的 簡單整系數(shù)的濾波器3. 帶通實際應用7.6 建立在極零抵消基礎上的 簡單整系數(shù)的濾波器為保證分母取整數(shù)，要求取整數(shù)因此： 在要求整系數(shù)的情況下，對帶通濾波器，其通帶的中心頻率收到限制。7.6 建立在極零抵消基礎上的 簡單整系數(shù)的濾波器4. 帶阻設計方法幅頻： 全通幅頻帶通幅頻相頻： 配置相頻7.6 建立在極零抵消基礎上的 簡單整系數(shù)的濾波器7.8 濾波器設計小結IIR 濾波器的優(yōu)點： 1. 好的通帶與阻帶衰減;準確的通帶與阻帶邊緣頻率; 2. 濾波時需要的計算量較少缺點: 不具有線性相位，有可能存在穩(wěn)定性問題。FIR 濾波器的優(yōu)點： 1. 可取得線性相位; 2. 無穩(wěn)定性問題;缺點： 濾波時需要的計算量較少FIR窗函數(shù)法頻率抽樣法一致逼近法簡單