2023考研數(shù)學(xué)一試題及答案解析

1、fpgPAGE fpg2001年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題一、填空題(此題共5小題,每題3分,總分值15分.把答案填在題中橫線上.)(1)設(shè)(為任意常數(shù)為某二階常系數(shù)線性齊次微分方程通解,那么該方程為_.(2)設(shè),那么div(gradr)=_.(3)交換二次積分積分次序:_.(4)設(shè)矩陣滿足,其中為單位矩陣,那么=_.(5)設(shè)隨機變量方差是,那么根據(jù)切比雪夫不等式有估計_.二、選擇題(此題共5小題,每題3分,總分值15分.)(1)設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo),圖形如右圖所示,那么圖形為(2)設(shè)在點附近有定義,且,那么(A).(B)曲面在處法向量為3,1,1.(C)曲線在處切向量為1,0,3.

2、(D)曲線在處切向量為3,0,1.(3)設(shè),那么在=0處可導(dǎo)充要條件為(A)存在.(B)存在.(C)存在.(D)存在.(4)設(shè)那么與(A)合同且相似.(B)合同但不相似.(C)不合同但相似.(D)不合同且不相似.(5)將一枚硬幣重復(fù)擲n次,以X和Y分別表示正面向上和反面向上次數(shù),那么X和Y相關(guān)系數(shù)等于(A)-1.(B)0.(C).(D)1.三、(此題總分值6分)求.四、(此題總分值6分)設(shè)函數(shù)在點處可微,且,.求.五、(此題總分值8分)設(shè)=將展開成冪級數(shù),并求級數(shù)和.六、(此題總分值7分)計算,其中是平面與柱面交線,從軸正向看去,為逆時針方向.七、(此題總分值7分)設(shè)在內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且,試

3、證:(1)對于內(nèi)任一,存在惟一,使=+成立;(2).八、(此題總分值8分)設(shè)有一高度為(為時間)雪堆在融化過程,其側(cè)面滿足方程(設(shè)長度單位為厘米,時間單位為小時),體積減少速率與側(cè)面積成正比(比例系數(shù)為0.9),問高度為130(厘米)雪堆全部融化需多少小時?九、(此題總分值6分)設(shè)為線性方程組一個根底解系,其中為實常數(shù).試問滿足什么條件時,也為一個根底解系.十、(此題總分值8分)3階矩陣與三維向量,使得向量組線性無關(guān),且滿足.(1)記=,求3階矩陣,使;(2)計算行列式.十一、(此題總分值7分)設(shè)某班車起點站上客人數(shù)服從參數(shù)為()泊松分布,每位乘客在中途下車概率為(),且中途下車與否相互獨立.

4、以表示在中途下車人數(shù),求:(1)在發(fā)車時有個乘客條件下,中途有人下車概率;(2)二維隨機變量概率分布.十二、(此題總分值7分)設(shè)總體服從正態(tài)分布(),從該總體中抽取簡單隨機樣本,(),其樣本均值為,求統(tǒng)計量數(shù)學(xué)期望.2001年考研數(shù)學(xué)一試題答案與解析一、填空題(1)【分析】由通解形式可知特征方程兩個根是,從而得知特征方程為.由此,所求微分方程為.(2)【分析】先求gradr.gradr=.再求divgradr=.于是divgradr|=.(3)【分析】這個二次積分不是二重積分累次積分,因為時.由此看出二次積分是二重積分一個累次積分,它與原式只差一個符號.先把此累次積分表為.由累次積分內(nèi)外層積分

5、限可確定積分區(qū)域:.見圖.現(xiàn)可交換積分次序原式=.(4)【分析】矩陣元素沒有給出,因此用伴隨矩陣、用初等行變換求逆路均堵塞.應(yīng)當考慮用定義法.因為,故,即.按定義知.(5)【分析】根據(jù)切比雪夫不等式,于是.二、選擇題(1)【分析】當時,單調(diào)增,(A),(C)不對;當時,:增減增:正負正,(B)不對,(D)對.應(yīng)選(D).(2)【分析】我們逐一分析.關(guān)于(A),涉及可微與可偏導(dǎo)關(guān)系.由在(0,0)存在兩個偏導(dǎo)數(shù)在(0,0)處可微.因此(A)不一定成立.關(guān)于(B)只能假設(shè)在(0,0)存在偏導(dǎo)數(shù),不保證曲面在存在切平面.假設(shè)存在時,法向量n=3,1,-1與3,1,1不共線,因而(B)不成立.關(guān)于(C

6、),該曲線參數(shù)方程為它在點處切向量為.因此,(C)成立.(3)【分析】當時,.關(guān)于(A):,由此可知.假設(shè)在可導(dǎo)(A)成立,反之假設(shè)(A)成立.如滿足(A),但不.關(guān)于(D):假設(shè)在可導(dǎo),.(D)成立.反之(D)成立在連續(xù),在可導(dǎo).如滿足(D),但在處不連續(xù),因而也不.再看(C):(當它們都時).注意,易求得.因而,假設(shè)(C)成立.反之假設(shè)(C)成立(即).因為只要有界,任有(C)成立,如滿足(C),但不.因此,只能選(B).(4)【分析】由,知矩陣特征值是4,0,0,0.又因是實對稱矩陣,必能相似對角化,所以與對角矩陣相似.作為實對稱矩陣,當時,知與有相同特征值,從而二次型與有相同正負慣性指

7、數(shù),因此與合同.所以此題應(yīng)中選(A).注意,實對稱矩陣合同時,它們不一定相似,但相似時一定合同.例如與,它們特征值不同,故與不相似,但它們正慣性指數(shù)均為2,負慣性指數(shù)均為0.所以與合同.(5)【分析】解此題關(guān)鍵是明確和關(guān)系:,即,在此根底上利用性質(zhì):相關(guān)系數(shù)絕對值等于1充要條件是隨機變量與之間存在線性關(guān)系,即(其中是常數(shù)),且當時,;當時,由此便知,應(yīng)選(A).事實上,由此由相關(guān)系數(shù)定義式有.三、【解】原式=.四、【解】先求.求,歸結(jié)為求.由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法,.注意,.因此,.五、【分析與求解】關(guān)鍵是將展成冪級數(shù),然后約去因子,再乘上并化簡即可.直接將展開辦不到,但易展開,即,積分得,.因為右端

8、積分在時均收斂,又在連續(xù),所以展開式在收斂區(qū)間端點成立.現(xiàn)將式兩邊同乘以得 = =,上式右端當時取值為1,于是.上式中令.六、【解】用斯托克斯公式來計算.記為平面上所為圍局部.由定向,按右手法那么取上側(cè),單位法向量.于是由斯托克斯公式得 = =.于是.按第一類曲面積分化為二重積分得,其中圍在平面上投影區(qū)域(圖.由關(guān)于軸對稱性及被積函數(shù)奇偶性得.七、【證明】(1)由拉格朗日中值定理,使(與有關(guān));又由連續(xù)而,在不變號,在嚴格單調(diào),唯一.(2)對使用定義.由題(1)中式子先解出,那么有.再改寫成.,解出,令取極限得.八、【解】(1)設(shè)時刻雪堆體積為,側(cè)面積為.時刻雪堆形狀如下列圖先求與.側(cè)面方程是.作極坐標變換:,那么.用先二后一積分順序求三重積分,其中,即.(2)按題意列出微分方程與初始條件.體積減少速度是,它與側(cè)面積成正比(比例系數(shù)0.9),即將與表達式代入得,即.(3)解得.由得,即.令,得.因此,高度為130厘米雪堆全部融化所需時間為100小時.九、【解】由于是線性組合,又是解,所以根據(jù)齊次線性方程組解性質(zhì)知均為解.從是根底解系,知.下面來分析線性無關(guān)條件.設(shè),即.由于線性無關(guān),因此有(*)因為系數(shù)行列式,所以當時,方程組(*)只有零解