宏觀講義和作業(yè)及答案2

1、(a) (b)說增長率下降對產(chǎn)量路徑(總產(chǎn)量，而非每工人平均產(chǎn)量)的影響1 (a)該生產(chǎn)函數(shù)規(guī)模 不變。定義每個人平均產(chǎn)y=YL,每個人平均資本 k=K (a) (b)說增長率下降對產(chǎn)量路徑(總產(chǎn)量，而非每工人平均產(chǎn)量)的影響1 (a)該生產(chǎn)函數(shù)規(guī)模 不變。定義每個人平均產(chǎn)y=YL,每個人平均資本 k=K 密集形式的生產(chǎn)函數(shù)滿足：f(0)=0,f(k)0,f(k)0,實際投資超過持平投資，每個人平new)-(n+)k*new 每個人實際(k* newy* new)k* new,y* newc* 均維持不newk*,y* 共 16 頁，第 1 yk(k0,(b)YY=yy+ ：時刻之前，y*y=

2、0, LL=n,所以，YY=y*y*+ t1 時刻之經(jīng)濟重新達到平衡增長路徑后，k0,(b)YY=yy+ ：時刻之前，y*y=0, LL=n,所以，YY=y*y*+ t1 時刻之經(jīng)濟重新達到平衡增長路徑后，k*new=sf(k* new)-(n+)k* 在每個人實際投資等處持平投兩條線相交于(k* newy* new)k* new,y* newc* ,. 時刻瞬間，勞動的增長率，但資本的增長為t0 t1 到nnew 共 16 頁，第 2 SlopenSlopetn*k*將k*、y* 和c* 表示為模型的參數(shù)s 、n、g 和a k第 2 題：柯布Y=K(AL)1-對(1)兩邊均除以將k*、y*

3、和c* 表示為模型的參數(shù)s 、n、g 和a k第 2 題：柯布Y=K(AL)1-對(1)兩邊均除以 AL，定y=YAL,k=KAL,得到生產(chǎn)函數(shù)的密集形式對于密集形式的生產(chǎn)函數(shù) y=f(k)而言，關(guān)鍵方程為：k=sf(k)-(n+g+)k.將密形式的柯布道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)k=sk-：在平衡增長路徑上，有效勞動的平均實際投資等于義為 k*）維持不變，有效勞動的平均產(chǎn)出（定義為 y*）維持不變。k*=0,所以根據(jù)(2) sk*= (n+g+)k*由此可以求得有效勞動的平均投資k*=s(n+g+)1(1-y*=s( n+g+) (1-勞動的平均消費(定義為 c*)：c*=(1-s)s( n+g+) (

4、1-定義黃金率為每個人有效勞動平均消費c*k=0,有效勞動平均持平投資額的差值得到。即c*=f(k*)-(n+g+k*于是就可以轉(zhuǎn)化為: f(k*)=n+g+(.實際上,共 16 頁，第 3 動平均產(chǎn)出切線的效率祥等.)將(2)代入k*-1=由上式可以求解出黃金率上的有效勞動的平均資本(n+g+) 1(1-k*GR s= (n+g+)k*1-將動平均產(chǎn)出切線的效率祥等.)將(2)代入k*-1=由上式可以求解出黃金率上的有效勞動的平均資本(n+g+) 1(1-k*GR s= (n+g+)k*1-將(8)代入(6) (n+g+) 1(1-) 1-sGR =(n+g+)k*GR 1-=(n+g+)s

5、GR 0 0 ,3(a)情況的判通下式F(cK,cL)=(cK)(-1) +(cAL)(-1) (-1)=c(-1)K(-1) +(AL)(-1) (-共 16 頁，第 4 F(cK,cL)=cK(-1) +(AL)(-1) (-不變的(b)對生產(chǎn)函數(shù)兩邊均除以 YAL=K(-1) +(AL)(-1) (-1)AL=(KAL)(-1)F(cK,cL)=cK(-1) +(AL)(-1) (-不變的(b)對生產(chǎn)函數(shù)兩邊均除以 YAL=K(-1) +(AL)(-1) (-1)AL=(KAL)(-1) +1(-取k=KAL,y=YAL=f(k),則可以得到生產(chǎn)函數(shù)的密f(k)=k(-1) +1(-(c

6、)對(1)式兩邊對 k f(k)= (-1) k(-1) +1 (-1)-1(-1) k(-1)-：f(k)=k(-1) +11(-1) k-1=1+k(1-) 1(-由于 k0,所以存在 f(k)對(2)式兩邊對k ：f(k)=-1)1+k(1-)1(-1)-1 k(1-)-由于k0 存在(d)稻田條件是否成立當(dāng) 1 時，(1-)0，此時 limk0 f(k)= limk0 1+k(1-) 1(-1)= limk f(k)= limk 1+k(1-) 1(-1)=1當(dāng) 0，1(-1)0，此時 limk0 f(k)= limk0 1+k(1-) 1(-1)=1 limk f(k)= limk

7、1+k(1-) 1(-1)=0 limk0 f(k)=limk0 1+k(1-) 1(-1)=，limk f(k)= limk 1+k(1-) 1(-1)=0，1 時。 共 16 頁，第 5 1.4、若一經(jīng)濟 (a) (b) 當(dāng)新工人出現(xiàn)，在有效勞動的平均產(chǎn)量的初始變動(如果有)之后有效勞動的平均產(chǎn)量是否會進一步變化？如果會，是上升每么(c) 一第4(at0 根據(jù)k=KAL1.4、若一經(jīng)濟 (a) (b) 當(dāng)新工人出現(xiàn)，在有效勞動的平均產(chǎn)量的初始變動(如果有)之后有效勞動的平均產(chǎn)量是否會進一步變化？如果會，是上升每么(c) 一第4(at0 根據(jù)k=KAL，t0時刻，總資本K每有效勞動的平均資本

8、水平k 從k*y=YAL，t0 時刻，總產(chǎn)Y 有效勞動的平均產(chǎn)出水平y(tǒng) 從y*下降在t0時刻之后，新的knew(g+)k，k0。這時，經(jīng)的儲蓄投資額足以抵消折舊與 朝著 y*有效勞動的平均產(chǎn)出隨之上升，即從 yne (c)共 16 頁，第 6 y kaK(k*)= 1/3,g= 2%,=果第5對密y kaK(k*)= 1/3,g= 2%,=果第5對密集形式的生產(chǎn)函數(shù) y*=f(k*)兩邊對 n 求偏導(dǎo)數(shù)y*n=f(k*)現(xiàn)在的主要問題是求出k*n ：可以有 k=0，即sf(k*)=(n+g+)k*。將該式兩邊對nsf(k*)k*n=(n+g+)k*n+： k*n= k*sf(k*)-將(2)代

9、入： y*n= f(k*) k*sf(k*)-有效勞動的平均產(chǎn)量y*增長率n (ny) y*n= nf(k*) k*f(k*)sf(k*)-根據(jù) sf(k*)=(n+g+)k*，可知：s=(n+g+)k*f(k*),并令f(k*) (ny) aK(k*)( aK(k*)-此時，將aK(k*)=13, g=2%,=3%，n=(2%+1%)2=1.5%代入(5)共 16 頁，第 7 有效勞動的平均產(chǎn)量y*增長率n的彈性(ny) y*n=-于是，當(dāng)n 從2%降至1%時，每 有效勞動的平均產(chǎn)量y*代入數(shù)據(jù)時，有效勞動的平均產(chǎn)量y*增長率n的彈性(ny) y*n=-于是，當(dāng)n 從2%降至1%時，每 有效

10、勞動的平均產(chǎn)量y*代入數(shù)據(jù)時，n 1.7 、的要素收入。假定對資本和勞動均按其邊際產(chǎn)品，用w表示F( K，AL)L，r表示F( K，AL)K證明：勞動的邊際產(chǎn)品w為A f(k) k f(k)不變的情形下，wL + rK (c) 卡爾多（1961年）率徑上的索洛經(jīng)濟是否表現(xiàn)出這些性質(zhì)？在平衡增長路徑上，w和r(d假定經(jīng)濟開始時，k k* 。隨著k 移向k* ，w 還是等于其在平衡增長路徑上的增長率？對r 來說，結(jié)果又是什么呢？ 第7 題：定義w=F( K，AL)L 則根據(jù)F( K，AL)= ALf( k)，w=F( K，AL)L =ALf( =Af(k)+ALf(k)(KA)(-=A f(k)-

11、k定義 r=F( K，AL)K,則根據(jù) F( K，AL)= ALf( k)，r=F( K，AL)K=ALf( k)K= A L f (k)(1AL) 共 16 頁，第 8 工資w = A f(k) -kf 利潤rYK合并(1)(2)f ：wL+Rk=ALf(k)-kf(k)+Kf(k)=ALf(k)=F(c) wL工資w = A f(k) -kf 利潤rYK合并(1)(2)f ：wL+Rk=ALf(k)-kf(k)+Kf(k)=ALf(k)=F(c) wL+ rY兩邊同時除以Y +=1在平衡增長路徑上，k，f(k)，f(k)均保持不變，所以根據(jù)(1)，所占wA f(k)- kf=AA+f(k)

12、kf(k)f(k)-kf=+ ff(k)k+kf(k)kf(k)-kfAA-kf(k)kf(k)-kf（1分在平衡增長路徑上，k = A= wLY ( wLY =0動。wLY同理，根據(jù)(rKY) (rKY)=rr+KK- r=f =f(k)f=f(k)kfk) （1分在平衡增長路徑上，k= rf(k)kf(k)0rKYrKYr= 共 16 頁，第 9 所占的份額的增長率為0動。 rKY=0結(jié)論：處于平衡增長路徑上的索洛經(jīng)濟，體現(xiàn)出總產(chǎn)量 (d) 在k k*時，由于k0f(k)0,根據(jù)(1)ww=AA+f(k)-kf(k)f(k)-k所占的份額的增長率為0動。 rKY=0結(jié)論：處于平衡增長路徑上

13、的索洛經(jīng)濟，體現(xiàn)出總產(chǎn)量 (d) 在k k*時，由于k0f(k)0,根據(jù)(1)ww=AA+f(k)-kf(k)f(k)-k=g+- kf(k)kf(k)-k即在經(jīng)濟開始時，k k*，w 由于 k0, f(k)0,f(k) cL e gtL(t)cL gtL(t)，并且 1-u0，u0u d1-cKK(t)cLegtcLegtL(t)cK K(t)-cKK(t)cLegtL(t)cLegtcLegtL(t)cKK(t)-cKK(t)cLegtgL(t)+cLegtL(t)cLegtcLegtL(t)cKK(t)-cK K(t)g+ncLegtcKK(t)-cKK(t)g+ncLegtcKsY(t

14、)- K(t)-K(t)(g+n)cLegtcKK(t)sY(t)K(t)-(g+n)cLegt=sK(t)-(g+n)-cKK(t)cLegtu =(1-u)g+n-sY(t)K(t)+共 16 11 cKK(t)cKcLegtL(t)cLegt即：sY(t)K(t) dudtcKK(t)cKcLegtL(t)cLegt即：sY(t)K(t) dudt u gtgt(c) cK cL的增長，則此時的資本需求為cLcK。定義資本利用率為 r，r =cL e gtL(t) cKK(t)。rr = cL e gtL(t)cL e gtL(t)- cK K(t)cK 即：r0 =cLegt L(t)

15、cK K(t)-cLegtL(t)cK K(t)cK K(t)=cLegtgL(t)+cLegtL(t)cK K(t)-cLegtL(t)cK K(t)cK K(t)=cLegtL(t)(g+n) cK K(t)-cK cK K(t)(g+n)cK K(t)-cK sY(t)-K(t)cLegtL(t)cK K(t)(g+n)-sY(t)K(t)cLegtL(t)cK r=rg+ n-sY(t)K(t)cK K(t)cKcLegt L(t)cLegt即：sY(t)K(t ngdr dt 0rt 1.8、假定與1.7入被儲蓄，所有勞動收入被消費。這樣，K(t)F(K，AL)KK-處于該平衡增長路

16、徑上的 k 是大于、小于還是等于 k 共 16 12 8(a)但位有效勞動平均資本（定義 k=KAL，則可以得到下式kk= KK - LL- 根據(jù)題意，有 K(t)8(a)但位有效勞動平均資本（定義 k=KAL，則可以得到下式kk= KK - LL- 根據(jù)題意，有 K(t) = F( K，AL)KK -K(t)，另外勞動的增長率固L=n，技術(shù)的增長率固定g，將上述三個式子代入：kk=F(K，AL)K-n-根據(jù)上題可知，資本的邊際產(chǎn)量為：F( K，AL)K=f(k)，將其代入(2)式， k=(f(k)-n-k=0 k=0（們可以檢驗該點為一穩(wěn)定點。這樣可以定為處于平衡增長點上的有效勞動平均資本額

17、是滿足 f(k)=+ n+ g 的 k，定義滿足該式的解k*y=f(k)f(k)=，limkf(k0，所以k*f(k)0,f(k)0 （ kk= f(k)- n- 以近似的得到 k= (f(k)- n- g)k 的曲線：對于 k*=0，當(dāng) k0 （假設(shè)還未達到下一個潛在均衡點由于 以及稻田條件：limk0 f(k)= 0，所以此時k0，k k*=0對于滿f(k)=+ n+ g k*好相反。由于 f(k)0,f(k)0,稻田條件：limk0 f(k)=，limk f(k)= 0 的存在，所以當(dāng)k0，k 上升；當(dāng)kk*時，k0，k 下降；k=k*時，k=0，k k*(b) + 投資的斜率相等。與(

18、a)，的貢獻（本的邊際產(chǎn)出的乘積過持平投資時，k 上升；當(dāng)高于持平投資水平時，k 下降。最終，k 蓄水平與持平投資相等的地方，即f(k)k=(+ng)kf(k)=n共 16 14 f(k)=+n+1.10、可持續(xù)增長問題。從馬爾薩斯開始，就有人認為：某些生產(chǎn)要素(下來。本題要求你在索洛模型的框架下探討這一觀點。設(shè)生產(chǎn)函數(shù)為：YK(AL)R1-，R 為土地數(shù)量。假定： 0， 0，且+ 1.10、可持續(xù)增長問題。從馬爾薩斯開始，就有人認為：某些生產(chǎn)要素(下來。本題要求你在索洛模型的框架下探討這一觀點。設(shè)生產(chǎn)函數(shù)為：YK(AL)R1-，R 為土地數(shù)量。假定： 0， 0，且+ 0 變動。(a) 斂于這樣一種情形：Y、