新人教高中數(shù)學必修二圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積課件

1、8.3.2圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積1.圓柱、圓錐、圓臺的表面積公式【思考】圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積公式之間有什么關(guān)系？提示：圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積公式之間的關(guān)系：S圓柱側(cè)=2rl S圓臺側(cè)=(r+r)l S圓錐側(cè)=rl.2.圓柱、圓錐、圓臺的體積公式柱體的體積公式V=Sh(S為底面面積，h為高)；錐體的體積公式V= Sh(S為底面面積，h為高)；臺體的體積公式V= (S+ +S)h.【思考】圓柱、圓錐、圓臺的體積公式之間有什么關(guān)系？提示：柱體、錐體、臺體的體積公式之間的關(guān)系：V=Sh V= (S+ +S)h V= Sh.3.球的表面積和體積公式設(shè)球的半徑為R，則球的表面積S=4R2

2、，即球的表面積等于它的大圓面積的4倍.球的體積V= R3.【思考】如何理解、把握球的表面積、體積公式？提示：把握住球的表面積公式S球=4R2，球的體積公式V球= R3是計算球的表面積和體積的關(guān)鍵，半徑與球心是確定球的條件.把握住公式，球的體積與表面積計算的相關(guān)題目也就迎刃而解了.【素養(yǎng)小測】1.思維辨析(對的打“”，錯的打“”)(1)球的體積之比等于半徑比的平方.()(2)長方體既有外接球又有內(nèi)切球.()(3)球面展開一定是平面的圓面.()(4)圓臺的高就是相應(yīng)母線的長.()【解析】(1).球的體積之比等于半徑比的立方.(2).長方體只有外接球，沒有內(nèi)切球.(3).球的表面不能展開成平面圖形.

3、(4).圓臺的高是指兩個底面之間的距離.2.兩個球的半徑之比為13，那么兩個球的表面積之比為()A.19B.127C.13D.11【解析】選A.由表面積公式知，兩球的表面積之比為 =19.3.已知一個圓柱的側(cè)面展開圖是一個正方形，這個圓柱的表面積與側(cè)面積的比是()【解析】選A.設(shè)圓柱底面半徑、母線長分別為r，l，由題意知l=2r，S側(cè)=l2=42r2.S表=S側(cè)+2r2=42r2+2r2=2r2(2+1)， 4.圓錐的母線長為5，底面半徑為3，則其體積為()A.15B.30C.12D.36【解析】選C.設(shè)圓錐的高為h，如圖，則h= 所以其體積V= Sh= 324=12.類型一圓柱、圓錐、圓臺、

4、球的表面積【典例】1.已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為()A.12 B.12C.8 D.102.若球的過球心的截面圓的周長是C，則這個球的表面積是()A. B. C. D.2C23.已知某圓錐的底面半徑為8，高為6，則該圓錐的表面積為_.【思維引】1.根據(jù)條件畫出圖形，根據(jù)圓柱的側(cè)面展開圖求出圓柱的底面半徑.2.根據(jù)已知大圓周長求出大圓半徑即球的半徑，再求球的表面積.3.根據(jù)圓錐的底面半徑和高求出圓錐的母線長.【解析】1.選B.因為過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，所以圓柱的高為2

5、，底面圓的直徑為2 ，所以該圓柱的表面積為2( )2+2 2 =12.2.選C.由題意知大圓的半徑即球的半徑，設(shè)為R，由2R=C，得R= ，所以S球面=4R2= .3.由題意，得該圓錐的母線長l= =10，所以該圓錐的側(cè)面積為810=80，底面積為82=64，所以該圓錐的表面積為80+64=144.答案：144【內(nèi)化悟】怎樣求圓柱、圓錐、圓臺的表面積？提示：求圓柱、圓錐、圓臺的表面積，關(guān)鍵是求出底面圓的半徑，圓柱、圓錐、圓臺的高及母線長.【類題通】1.圓柱、圓錐、圓臺的表面積的求解步驟：解決圓柱、圓錐、圓臺的表面積問題，要利用好旋轉(zhuǎn)體的軸截面及側(cè)面展開圖，借助平面幾何知識，求得所需幾何要素，代

6、入公式求解即可，基本步驟如下：(1)得到空間幾何體的平面展開圖.(2)依次求出各個平面圖形的面積.(3)將各平面圖形的面積相加.2.球的表面積的求法要求球的表面積，關(guān)鍵是知道半徑R或者通過條件能求出半徑R，然后代入球的表面積公式求解.【習練破】1.過球一條半徑的中點，作一垂直于這個半徑的截面，截面面積為48 cm2，則球的表面積為_cm2.【解析】易知截面為一圓面，如圖所示，圓O是球的過已知半徑的大圓，AB是截面圓的直徑，作OC垂直AB于點C，連接OA.由截面面積為48 cm2，可得AC=4 cm.設(shè)OA=R cm，則OC= R cm，所以R2- =(4 )2，解得R=8.故球的表面積S=4R

7、2=256(cm2).答案：2562.如圖所示，已知直角梯形ABCD，BCAD，ABC=90，AB=5 cm，BC=16 cm，AD=4 cm.求以BC所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的表面積.【解析】以BC所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體是圓柱和圓錐的組合體，如圖所示：其中圓錐的高為16-4=12(cm)，圓柱的母線長為AD=4 cm，故該幾何體的表面積為254+52+513=130(cm2).類型二圓柱、圓錐、圓臺、球的體積【典例】1.圓錐的軸截面是等腰直角三角形，側(cè)面積是16 ，則圓錐的體積是 ()A. B. C.64D.128 2.棱臺的上、下底面面積分別是2，4，高為3，則該棱臺的體積是

8、()A.18+6 B.6+2 C.24D.183.用與球心距離為1的平面去截球，所得的截面面積為，則球的體積為世紀金榜導學號()【思維引】1.先由側(cè)面積求出圓錐的底面半徑和高，再求體積.2.直接利用公式求體積即可.3.根據(jù)與球心距離為1的平面去截球，所得的截面面積為，先求出小圓的半徑，再求球的半徑，進而求出球的體積.【解析】1.選A.設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長為l，因為圓錐的軸截面是等腰直角三角形，所以2r= 即l= r，由題意得，側(cè)面積S側(cè)=rl= r2=16 ，所以r=4.所以l=4 ，高h= =4.所以圓錐的體積V= Sh= 424= .2.選B.V= (S+ +S)h= (2+ +4

9、)3=6+2 .3.選D.設(shè)截面圓的半徑為r，則r2=，故r=1，由勾股定理求得球的半徑為 ，所以球的體積為 【內(nèi)化悟】如何利用圓柱、圓錐、圓臺的體積公式巧解題？提示：利用圓柱、圓錐、圓臺的體積公式解題時，首先要記準、記清公式，根據(jù)題目給出的已知條件求出底面半徑和幾何體的高，再利用公式求解即可.【類題通】求幾何體體積的常用方法(1)公式法：直接代入公式求解.(2)等積法：例如四面體的任何一個面都可以作為底面，只需選用底面積和高都易求的形式即可.(3)補體法：將幾何體補成易求解的幾何體，如棱錐補成棱柱，棱臺補成棱錐等.(4)分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積.【習練破】1.若一個圓

10、錐的軸截面(過圓錐頂點和底面直徑的截面)是面積為 的等邊三角形，則該圓錐的體積為()【解析】選B.設(shè)圓錐底面圓的半徑為r，則圓錐的高為 r.由題意，得 (2r)2= ，得r=1，所以該圓錐的體積V= 12 = .2.已知RtABC中，C=90，分別以AC，BC，AB所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得三個幾何體的體積分別為V1，V2，V.求證： 【證明】如圖，設(shè)AC=b，BC=a，作CHAB于H，則AB= .由射影定理，得AH= BH= ，CH2=AHBH= 三個幾何體分別是兩個圓錐和組合體(有公共底面的圓錐組合體)，依題意，得V1= S1h1= a2b，V2= S2h2= b2a，V= CH2AB所以

11、類型三與球有關(guān)的切、接問題【典例】1.將棱長為2的正方體木塊削成一個體積最大的球，則該球的體積為()2.長方體的長、寬、高分別為3，2，1，其頂點都在球O的球面上，則球O的表面積為_.世紀金榜導學號【思維引】1.把正方體削成一個體積最大的球，該球是正方體的內(nèi)切球，球的直徑就是正方體的棱長.2.球是長方體的外接球，球的直徑是長方體的體對角線.【解析】1.選A.球的直徑是正方體的棱長，所以2R=2，R=1.所以V= R3= .2.球的直徑是長方體的體對角線，所以2R= S=4R2=14.答案：14【類題通】球的切接問題處理策略及常用結(jié)論(1)在處理與球有關(guān)的相接、相切問題時，一般要通過作一適當?shù)慕?/p>

12、面，將立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題解決，而這類截面往往指的是圓錐的軸截面、球的大圓等.(2)幾個常用結(jié)論球內(nèi)切于正方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑；球與圓柱的底面和側(cè)面均相切，則球的直徑等于圓柱的高，也等于圓柱底面圓的直徑；球與棱錐相切，則可利用V棱錐= S底h= S表R，求球的半徑R.【習練破】1.棱長為2的正方體的各個頂點均在同一球面上，求此球的體積.【解析】正方體的外接球直徑等于正方體的體對角線長，即2R= ，所以R= ，所以V球= ( )3=4 .2.棱長為a的正四面體的各個頂點都在半徑為R的球面上，求其外接球的表面積.【解析】把正四面體