離散控制系統(tǒng)初步

1、離散控制系統(tǒng)初步第1頁，共49頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期五6.1離散控制系統(tǒng)概述 現(xiàn)代控制系統(tǒng)實(shí)際上是計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)，這種用計(jì)算機(jī)控制的系統(tǒng)是一類離散系統(tǒng)，它與前面所述的連續(xù)系統(tǒng)的根本區(qū)別在于：連續(xù)系統(tǒng)中的控制信號、反饋以及偏差信號都是連續(xù)的時(shí)間函數(shù)；在計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)中，既包含有連續(xù)時(shí)間信號，也含有離散時(shí)間信號。計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的原理框圖如圖6-1所示。 為了了解計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的特點(diǎn)，可將圖6-1所示的計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)用圖6-2所示的傳遞函數(shù)框圖來表示。返回第2頁，共49頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期五6.2連續(xù)信號的采樣和恢復(fù)信號采樣過程 圖6-3所示為實(shí)際采樣過

2、程示意圖。 采樣過程可以說是一個(gè)幅值調(diào)制過程，載波是周期為T的單位脈沖函數(shù)序列T (t)，調(diào)幅信號是連續(xù)信號e (t)，而采樣開關(guān)輸出信號 e (t) 為 式中，e* (t)稱為理想采樣開關(guān)輸出，即有 e * (t)是經(jīng)過e (t)調(diào)幅的周期為T的脈沖函數(shù)序列，如圖6-4所示。下一頁返回第3頁，共49頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期五6.2連續(xù)信號的采樣和恢復(fù)采樣定理 香農(nóng)采樣定理：設(shè)連續(xù)信號e (t)具有如圖6-5所示的頻譜，e (t)不包含任何大于max（rad/s）的頻率分量。因此，如果采樣頻率大于或等于2，則采樣的離散信號e* (t)能無失真地恢復(fù)原連續(xù)信號e (t)。信號

3、重構(gòu) 根據(jù)采樣定理，在 s 2max的條件下，離散信號頻譜中各分量彼此互不重疊，采用理想的低通濾波器濾去各高頻分量，保留主頻譜，就可以無失真地恢復(fù)為原連續(xù)信號。但上述理想濾波器實(shí)際上在工程中難以實(shí)現(xiàn)，因此，必須尋找在特性上比較接近理想的濾波器，而又可以物理實(shí)現(xiàn)的濾波器。在采樣控制中應(yīng)用的保持器就是這種實(shí)際的濾波器。保持器是一種采用時(shí)域外推原理的裝置。結(jié)構(gòu)最簡單，應(yīng)用最廣泛的是零階保持器。微型計(jì)算機(jī)輸出通道中的D/A轉(zhuǎn)換器就是零階保持器。下一頁上一頁返回第4頁，共49頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期五6.2連續(xù)信號的采樣和恢復(fù) 零階保持器是采用恒值外推規(guī)律的保持器。它的作用就是把采樣

4、時(shí)刻kT采樣值恒定不變地保持（外推）到下一采樣時(shí)刻(k +1)T。也就是說，在時(shí)間t kT ,(k +1)T區(qū)間內(nèi)，它的輸出量一直保持為e (kT)這個(gè)值。圖6-8所示為保持器輸入信號和輸出信號的關(guān)系，可見，零階保持器的輸出信號是階梯形的，它包含著高次諧波，與要恢復(fù)的連續(xù)信號有一些區(qū)別。若將階梯形輸出信號的各中點(diǎn)連接起來，可以得到一條比連續(xù)信號遲后T/2的曲線，這反映了零階保持器的相位滯后特性。下一頁上一頁返回第5頁，共49頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期五6.2連續(xù)信號的采樣和恢復(fù) 零階保持器的單位脈沖響應(yīng)gh (t)如圖6-9所示。顯然， gh (t )=1(t )-1(t -

5、T)，它是正單位階躍函數(shù)和延遲了T時(shí)間發(fā)生的負(fù)單位階躍函數(shù)的疊加。因而零階保持器單位脈沖響應(yīng)的拉氏變換式為 幅頻特性為 相頻特性為 零階保持器的幅頻特性如圖6-10所示上一頁返回第6頁，共49頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期五6.3 z變換6.3.1 z變換的定義 連續(xù)信號f (t)的拉氏變換F (s)是復(fù)變量s的代數(shù)函數(shù)。一個(gè)微分方程通過拉氏變換后可以轉(zhuǎn)化為s的代數(shù)方程，這樣可以大大簡化運(yùn)算。計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)中的采樣信號也可以進(jìn)行拉氏變換。連續(xù)信號f (t)通過采樣周期為T的理想采樣后的采樣信號f *(t)是一組加權(quán)理想脈沖序列，每一個(gè)采樣時(shí)刻的脈沖強(qiáng)度等于該采樣時(shí)刻的連續(xù)函數(shù)值，

6、其表達(dá)式為 （6-16） 因?yàn)?t -kT)的拉氏變換式為下一頁返回第7頁，共49頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期五6.3 z變換所以（6-16）式的拉氏變換式為即在此，引入另一個(gè)復(fù)變量z，令有 （6-20）下一頁上一頁返回第8頁，共49頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期五6.3 z變換 若式（6-20）所示級數(shù)收斂，則稱F (z)為離散時(shí)間函數(shù)f *(t)的z變換，記為Z f *(t )=F (z)。必須指出，在z變換過程中，考慮的是連續(xù)時(shí)間函數(shù)經(jīng)采樣后的離散時(shí)間函數(shù)，它只表征連續(xù)時(shí)間函數(shù)在采樣時(shí)刻上的特性。因此，從這個(gè)意義上說，連續(xù)時(shí)間函數(shù)f (t)與相應(yīng)的離散時(shí)間函

7、數(shù)f *(t)應(yīng)具有相同的z變換，即 上述表達(dá)式寫成多項(xiàng)式之和的形式，其表達(dá)式是一個(gè)z的有理分式，即下一頁上一頁返回第9頁，共49頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期五6.3 z變換若用zn同除分子和分母，可得z-1的有理分式，即 （6-23） 在討論系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性時(shí)，z變換寫成因子形式更為有用，式（6-23）可改寫成下一頁上一頁返回第10頁，共49頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期五6.3 z變換求z變換的方法1.級數(shù)求和法例6-1求指數(shù)函數(shù)f (t)=e -t的z變換。解：f (t)的采樣信號表達(dá)式為對應(yīng)的拉氏變換為對應(yīng)的z變換式為 （6-25）下一頁上一頁返回第11頁，共

8、49頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期五6.3 z變換2.部分分式法 對于任意連續(xù)時(shí)間函數(shù)f (t)，其拉氏變換式F (s)為s的有理函數(shù)，則可以展開為部分分式，即 則 則根據(jù)式（6-25），f (t)的z變換為下一頁上一頁返回第12頁，共49頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期五6.3 z變換3.留數(shù)計(jì)算法 若已知連續(xù)時(shí)間函數(shù)f (t)和對應(yīng)的拉氏變換F (s)及其全部極點(diǎn)si(i=1 2 3n)，則f (t)的z變換還可通過下列留數(shù)計(jì)算方法求得。下一頁上一頁返回第13頁，共49頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期五6.3 z變換6.3.3 z變換的主要性質(zhì)z變換主

9、要性質(zhì)見表6-26.3.4 z反變換由z變換式F (z)求時(shí)域函數(shù)的過程稱為z反變換，用Z-1符號表示，即由z變換式求時(shí)域信號有以下幾種方法。1.長除法（冪級數(shù)展開式）2.部分分式法3.留數(shù)計(jì)算法上一頁返回第14頁，共49頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期五6.4采樣控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型差分方程 如果將連續(xù)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程離散化，則可將各階微分用各階差分近似代替，從而得到用輸出、輸入信號的離散序列及其各階差分來描述的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程。以輸出信號x o (t)為例，用符號表示前向差分運(yùn)算，它的各階前向差分如下： 一階前向差分為 二階前向差分為 類似地，n階前向差分為下一頁返回第15頁，共4

10、9頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期五6.4采樣控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型因此，系統(tǒng)的前向差分方程為 （6-37） 仍以輸出信號x o (t)為例，用符號表示后向差分運(yùn)算，它的各階后向差分如下： 一階后向差分為 二階后向差分為下一頁上一頁返回第16頁，共49頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期五6.4采樣控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型類似地，n階后向差分為因此，系統(tǒng)的后向差分方程為脈沖傳遞函數(shù) 系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)G (z)定義為，離散控制系統(tǒng)在零初始條件下，系統(tǒng)輸出信號序列的z變換Xo(z)和輸入信號序列的z變換Xi(z)之比，對式（6-37）取z變換，則可得下一頁上一頁返回第17頁，共49頁，

11、2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期五6.4采樣控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)也稱為z傳遞函數(shù)。z-(n -m)表示輸出遲后于輸入n -m個(gè)采樣周期。這也說明，當(dāng)前的輸出只與過去的輸入數(shù)據(jù)有關(guān)，這是符合系統(tǒng)的物理意義的。 當(dāng)已知脈沖傳遞函數(shù)的全部零點(diǎn)和極點(diǎn)時(shí)，也可以寫成如下形式 假設(shè)k=0時(shí)，輸入信號為單位脈沖函數(shù)(t)，則定義系統(tǒng)的輸出響應(yīng)序列為單位脈沖響應(yīng)序列g(shù) (k)，即有Xo (z )=Z g (k)，而Xi(z )=Z g (t)=1。因此，z傳遞函數(shù)還可以表示為 由此可見，脈沖傳遞函數(shù)就是單位脈沖響應(yīng)序列g(shù) (k)的z變換。下一頁上一頁返回第18頁，共49頁，2022年

12、，5月20日，11點(diǎn)7分，星期五6.4采樣控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型采樣系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù) 在采樣控制系統(tǒng)中，控制器是離散的，被控對象是連續(xù)的。因此，建立模型時(shí)，必須要將連續(xù)部分離散化，即把連續(xù)部分的傳遞函數(shù)變換成相應(yīng)的脈沖傳遞函數(shù)。求系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)時(shí)，必須注意區(qū)別如圖6-11所示的兩種不同情況。圖6-11（a）所示開環(huán)系統(tǒng)中，兩個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間被理想開關(guān)隔開；而圖6-11（b）所示開環(huán)系統(tǒng)中，兩個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)直接相連。 首先研究圖6-11（a）的系統(tǒng)。顯然 所以，開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為下一頁上一頁返回第19頁，共49頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期五6.4采樣控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 由此可

13、得出如下結(jié)論：被理想開關(guān)隔開的兩個(gè)線性環(huán)節(jié)串聯(lián)時(shí)，其脈沖傳遞函數(shù)等于這兩個(gè)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)的乘積。這個(gè)結(jié)論可以推廣到有理想開關(guān)隔離得n個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)的情況。 現(xiàn)在再來研究圖6-11（b）的情況。兩個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間沒有采樣開關(guān)隔離，開環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為 式中，G 1G2 (z)表示G 1 (s ) G2 (s)乘積的z變換。由此可以得出結(jié)論：當(dāng)開環(huán)系統(tǒng)兩個(gè)線性環(huán)節(jié)串聯(lián)而環(huán)節(jié)之間無采樣開關(guān)隔開時(shí)，開環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)等于兩個(gè)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)乘積的z變換。顯然，這個(gè)結(jié)論也可以推廣到具有n個(gè)環(huán)節(jié)直接串聯(lián)時(shí)的情況。下一頁上一頁返回第20頁，共49頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期五6.4采樣控制

14、系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型采樣系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù) 比較常見的閉環(huán)采樣控制系統(tǒng)的方框圖如圖6-12所示。圖中虛線所示的理想開關(guān)是為了分析方便而虛設(shè)的。所有理想開關(guān)都同步工作，且具有相同的采樣周期T，系統(tǒng)的輸入量xi(t)和輸出量xo(t)都是時(shí)間的連續(xù)函數(shù)。 由圖6-12可知 故有下一頁上一頁返回第21頁，共49頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期五6.4采樣控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型根據(jù)上式，求采樣信號的拉氏變換，有可得采樣信號的偏差傳遞函數(shù)為取z變換后的偏差z傳遞函數(shù)為 (6-45)下一頁上一頁返回第22頁，共49頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期五6.4采樣控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型注意到輸出信

15、號采樣后的拉氏變換為則有取z變換后的閉環(huán)z傳遞函數(shù)為 (6-46) 式（6-45）和式（6-46）是研究閉環(huán)采樣系統(tǒng)時(shí)經(jīng)常用到的兩個(gè)脈沖傳遞函數(shù)。圖6-12所示系統(tǒng)的特征方程為上一頁返回第23頁，共49頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期五6.5采樣控制系統(tǒng)的性能分析采樣控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 線性連續(xù)控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是，系統(tǒng)特征方程的所有根都位于s平面虛軸的左半部，即系統(tǒng)特征方程的所有根都具有負(fù)實(shí)部。對線性采樣系統(tǒng)進(jìn)行了z變換之后，要用z平面分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。1.s平面和z平面的對應(yīng)關(guān)系 s平面的虛軸在z平面上的映射曲線是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的單位圓，如圖6-13所示。下一頁返回

16、第24頁，共49頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期五6.5采樣控制系統(tǒng)的性能分析2.線性采樣系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件 線性采樣系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是，閉環(huán)特征方程的所有根（即閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點(diǎn)）均位于z平面上以原點(diǎn)為圓心的單位圓內(nèi)，也就是要求這些根的模均小于1。 與分析連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性一樣，用直接求解特征方程式根的方法判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性往往比較困難，下面介紹一種比較實(shí)用的方法。3.勞斯穩(wěn)定判據(jù) 因?yàn)閯谒古袚?jù)能判斷系統(tǒng)特征方程式的根是否在復(fù)平面虛軸的左半部，而不能直接判斷特征方程的根是否在z平面的單位圓內(nèi)，因此，為了使勞斯判據(jù)仍然適用于離散系統(tǒng)穩(wěn)定性的判斷，必須采用一種雙線性變換方法（又

17、稱w變換），使z平面上的單位圓內(nèi)映射為w平面虛軸的左半部。下一頁上一頁返回第25頁，共49頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期五6.5采樣控制系統(tǒng)的性能分析 根據(jù)復(fù)變函數(shù)的雙線性變換方法，設(shè)z=w+1/w-1, z和w均為復(fù)變量，z =x +jy，w =u+j則有 則有 可見，z平面上的單位圓x 2 +y 2 =1，對應(yīng)于w平面中虛軸u=0；z平面上的單位圓內(nèi)x 2 +y 2 1，對應(yīng)于w平面中虛軸的左半部，即u1，對應(yīng)于w平面中虛軸的右半部，即u0。z平面和w平面的映射關(guān)系如圖6-14所示。下一頁上一頁返回第26頁，共49頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期五6.5采樣控制系

18、統(tǒng)的性能分析采樣控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析 由線性連續(xù)系統(tǒng)理論可知，閉環(huán)極點(diǎn)及零點(diǎn)在s平面的分布對反饋系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)起著決定性的作用。與此相類似，閉環(huán)采樣控制系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)與閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)極點(diǎn)、零點(diǎn)在z平面上的分布也密切相關(guān)。設(shè)閉環(huán)采樣系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為 設(shè)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點(diǎn)為pi (i=1 2 n)為了簡化問題，假設(shè)沒有多重極點(diǎn)。當(dāng)輸入信號Xi(s)為單位階躍函數(shù)時(shí)，系統(tǒng)輸出信號的z變換為下一頁上一頁返回第27頁，共49頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期五6.5采樣控制系統(tǒng)的性能分析式（6-43）的z反變換為 上式第一項(xiàng)為系統(tǒng)輸出采樣信號的穩(wěn)態(tài)分量；第二項(xiàng)為輸出采樣信號的瞬態(tài)響

19、應(yīng)分量，是由系統(tǒng)的固有特性所決定的，其取決于系統(tǒng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)極點(diǎn)、零點(diǎn)在z平面上的分布位置。z平面上不同位置的閉環(huán)極點(diǎn)對應(yīng)的瞬態(tài)響應(yīng)分量如圖6-16所示。由圖可見，閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點(diǎn)在z平面上的位置決定了相應(yīng)瞬態(tài)分量的性質(zhì)和特點(diǎn)，也就決定了輸出瞬態(tài)響應(yīng)的性質(zhì)和特征。下一頁上一頁返回第28頁，共49頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期五6.5采樣控制系統(tǒng)的性能分析（1）只要閉環(huán)極點(diǎn)在z平面的單位圓內(nèi)，離散控制系統(tǒng)總是穩(wěn)定的，其瞬態(tài)響應(yīng)是衰減的，極點(diǎn)距離z平面坐標(biāo)原點(diǎn)越近，則衰減速度越快。（2）為了使采樣控制系統(tǒng)具有較好的動(dòng)態(tài)性能，希望它的主導(dǎo)極點(diǎn)分布在z平面單位圓的右半圓內(nèi)，而且

20、離原點(diǎn)不要太遠(yuǎn)，與實(shí)軸的夾角要適中。（3）至于系統(tǒng)的零點(diǎn)，雖然不影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性，但影響系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，因?yàn)槠溆绊憚?dòng)態(tài)響應(yīng)的系數(shù)Ci，零點(diǎn)對系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能影響的分析比較困難，在此不再贅述。（4）在采樣系統(tǒng)中，動(dòng)態(tài)性能的分析，在采樣瞬時(shí)有效，有些系統(tǒng)盡管在采樣時(shí)刻的性能很好，但采樣時(shí)刻之間的紋波可能仍然較大，特別是在采樣周期較大時(shí)。若需進(jìn)一步研究采樣時(shí)刻之間系統(tǒng)的性能，則需采用廣義z變換的知識。下一頁上一頁返回第29頁，共49頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期五6.5采樣控制系統(tǒng)的性能分析采樣控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析 穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的重要指標(biāo)。在單位反饋采樣控制系統(tǒng)中，系統(tǒng)在輸入信

21、號作用下誤差的z變換為 若閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，利用終值定理，不難求出在輸入信號作用下采樣系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 由此可見，離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與連續(xù)控制系統(tǒng)的類似，與系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)G (z)的結(jié)構(gòu)參數(shù)及輸入信號Xi(t)的性質(zhì)有關(guān)。下一頁上一頁返回第30頁，共49頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期五6.5采樣控制系統(tǒng)的性能分析 由于z平面上z=1的極點(diǎn)與s平面上s0的極點(diǎn)相對應(yīng)，因此離散控制系統(tǒng)可以按其開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)G (z)中含有0，l，2，個(gè)z=1的極點(diǎn)，而分為0型、型、型系統(tǒng)。 表6-4列出了典型輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。 由此可見，在采樣控制系統(tǒng)中，當(dāng)?shù)湫洼斎胄盘柡拖到y(tǒng)類型不同時(shí)所得的關(guān)

22、于穩(wěn)態(tài)誤差的結(jié)論和連續(xù)控制系統(tǒng)中的結(jié)論是相似的。 必須指出，在采樣控制系統(tǒng)中，有差系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差還與采樣周期的大小有關(guān)，縮短采樣周期將會減小穩(wěn)態(tài)誤差。上述結(jié)果只是采樣時(shí)刻的穩(wěn)態(tài)誤差，在采樣時(shí)刻之間還將附加由高頻頻譜信號產(chǎn)生的紋波所引起的誤差。有時(shí)，這部分誤差會較大，在分析和設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí)應(yīng)當(dāng)注意。上一頁返回第31頁，共49頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期五表6-2拉氏變換和z變換特性返回下一頁第32頁，共49頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期五表6-2拉氏變換和z變換特性返回上一頁第33頁，共49頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期五表6-4典型輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差返回第34頁，共49頁，2022年，5