第 五 章 方差分析

1、第 五 章 方差分析第1頁，共72頁，2022年，5月20日，12點49分，星期五第一節(jié) 概論 方差分析（Analysis of Variance,簡記為：ANOVA) 的應用范圍很廣，本章的方差分析主要用于檢驗計量資料中兩個或兩個以上均數間差別顯著性的方法。 以一個實例說明方差分析的基本思想和原理。第2頁，共72頁，2022年，5月20日，12點49分，星期五第二節(jié) 單因素方差分析（one-way ANOVA, completely random design ANOVA) 例5.1 小白鼠給藥前后發(fā)生咳嗽的推遲時間(秒) 復方 復方 可待因 40 50 60 15 -10 30 -5 10

2、5 77 。 例數 15 15 10 均值 31.67 44 60.7 第3頁，共72頁，2022年，5月20日，12點49分，星期五 常見的錯誤是進行三組之間的兩兩t檢驗。這將增加第一類誤差的概率。 如兩組比較作一次t檢驗取=0.05; 三組之間的兩兩t檢驗作三次t檢驗，至少有一次拒絕H0的概率為0.14。 五組之間的兩兩t檢驗作十次t檢驗，至少有一次拒絕H0的概率為0.40。 兩組以上均數的比較不能用兩兩t檢驗，而必須用方差分析。 要比較三種藥物的平均推遲咳嗽時間有否差異？第4頁，共72頁，2022年，5月20日，12點49分，星期五 總體1N(1 ,12） 樣本1（ n1 ， ，S1 ）

3、 總體2N(2 ,22） 樣本2（ n2 ， ，S2 ） 總體3N(3 ,32） 樣本3（ n3 ， ，S3 ） 已知：12=22=32 , , 不相等 問：1=2=3 ? ？ 1，2，3不相等 方差分析法的模型第5頁，共72頁，2022年，5月20日，12點49分，星期五方差分析法的基本思想 組間變異（不同藥物引起，包含誤差）總變異 組內變異（誤差引起）如不同藥物的作用相同，并且無抽樣誤差，則： F=組間變異/組內變異=1 由于抽樣誤差，F不等于1，但和1相差不大，F越大概率越小，如概率P0.05，則可認為不同藥物的作用是不相同的。即樣本均數之間的差異有統計學意義。第6頁，共72頁，2022

4、年，5月20日，12點49分，星期五總變異組內變異組間變異第7頁，共72頁，2022年，5月20日，12點49分，星期五 方差分析法的基本思想為：根據效應的可加性,將總的離均差平方和分解成若干部分,每一部分都與某一種效應相對應,總自由度也被分為相應的各個部分, 各部分的離均差平方和除以相應自由度得出各個均方,然后列出方差分析表算出F值, 作出統計推斷。方差分析法的基本思想第8頁，共72頁，2022年，5月20日，12點49分，星期五方差分析法的基本思想H0：1= 2 = 3H1：至少有一個等式不成立或：H0：三種藥物對小白鼠鎮(zhèn)咳作用相同H1：三種藥物鎮(zhèn)咳作用不完全相同第9頁，共72頁，2022

5、年，5月20日，12點49分，星期五方差分析法的基本思想離均差平方和用SS表示，自由度用DF表示，均方（MEAN SQUARE）用MS表示 MS=SS/DF 即方差。 SS總=SS組間+SS組內 DF總=DF組間+DF組內 F=MS組間/MS組內 = （SS組間/ DF組間）/（ SS組內/ DF組內） 根據F和DF組間，DF組內查方差分析用F界值表，得P值。如P0.05，拒絕H0 。第10頁，共72頁，2022年，5月20日，12點49分，星期五方差分析法的基本思想 以上分解和檢驗可列成方差分析表的形式： 方差分析表 變異來源 平方和 自由度 均方 F值 P值 Source SS DF MS

6、 F P 總變異 組間 誤差 第11頁，共72頁，2022年，5月20日，12點49分，星期五方差分析法的基本思想 如果影響數據變異的因素不止一個，則可作二因素或三因素等的方差分析，總變異可分解成和各因素相對應的各個變異；這樣，分解越細，誤差越小，檢驗的效率就越高。第12頁，共72頁，2022年，5月20日，12點49分，星期五方差分析的基本要求 1.各組樣本來自正態(tài)分布的總體。 2. 各總體的方差相等。 3. 各效應的可加性。 如不符合基本要求時，可進行變量變換，變換成正態(tài)分布后再進行檢驗或用非參數檢驗的方法。第13頁，共72頁，2022年，5月20日，12點49分，星期五變 量 變 換1.

7、服從對數正態(tài)分布的資料可用對數變換 y=log(x)2.服從泊松分布的資料可用平方根變換 y= 3.表達成百分數的資料可用平方根反正弦變換 y=arcsin第14頁，共72頁，2022年，5月20日，12點49分，星期五校正數總平方和組間平方和方差分析基本步驟組內平方和=總平方和組間平方和DF總=N-1DF組間=組數-1DF組內=DF總-DF組間第15頁，共72頁，2022年，5月20日，12點49分，星期五 方差分析表變異來源 SS df MS F P 總變異 31939.9 39藥物間變異 5062.4667 2 2531.2333 3.4845 F0.05故知P3.46,故P0.05,而

8、其余二個Q皆小于q0. 05 ；因此復方與可待因兩藥對小白鼠平均推遲咳嗽時間,在=0.05水平上有顯著差異，其余任兩藥間差異皆不顯著。第21頁，共72頁，2022年，5月20日，12點49分，星期五均數間兩兩比較進行均數間兩兩比較的方法很多： SNK（Student-Newman- Keuls）檢驗， DUNCAN檢驗， Tukey檢驗， LSD(最小顯著差)檢驗， Scheffe檢驗,等。 如只須幾個實驗組和一個對照組比較，實驗組之間不比較： DUNNETT檢驗， DUNCAN新法，等第22頁，共72頁，2022年，5月20日，12點49分，星期五第四節(jié) 方差齊性檢驗H0:各個正態(tài)總體方差相

9、等,即12= 22 = K2H1:至少存在一對i,j,有i2 j 2 本書中介紹一種穩(wěn)健的(Robust)方差齊性檢驗方法-Levene檢驗,它可以用于兩個或兩個以上方差的齊性檢驗。(1) 對于K組的樣本資料, 求得各組的均數后計算觀察值距各自組均數的絕對離差。(2) 以絕對離差作為主要變量,使用前述的方差分析法。當拒絕H0時,認為各組方差不齊;當不拒絕H0時,認為方差齊性。第23頁，共72頁，2022年，5月20日，12點49分，星期五算得三個藥物組: =31.6667， =44， =60.7，得絕對離差如下： 復方 復方 可待因 8.3333 6 0.7 21.6667 24 30.7 .

10、 18.3333 14 再用上表中絕對離差值進行方差分析。第四節(jié) 方差齊性檢驗第24頁，共72頁，2022年，5月20日，12點49分，星期五第四節(jié) 方差齊性檢驗變異來源 SS DF MS F P 總變異 9108.39 39 藥物間 679.56 2 339.78 1.49 0.2382 誤差 8428.83 37 227.80 由于P=0.2382，因此不拒絕H0,而認為三組方差齊性, 因此符合均數間比較的方差分析法的基本要求。第25頁，共72頁，2022年，5月20日，12點49分，星期五第五節(jié) 隨機單位組設計方差分析 （randomized block design ANOVA) 隨機

11、單位組設計又稱隨機區(qū)組設計,隨機配伍組設計,它是兩樣本配對試驗的擴大。 單位組 處理1 處理2 . 處理k 1 X11 X12 X1k 2 X21 X22 X2k 。 b Xb1 Xb2 Xbk 第26頁，共72頁，2022年，5月20日，12點49分，星期五隨機單位組設計方差分析 大白鼠注射不同劑量雌激素后的子宮重量(g) 雌激素劑量(g/100g) 大白鼠種系 0.2 0.4 0.8 A 106 116 145 B 42 68 115 C 70 111 133 D 42 63 87 第27頁，共72頁，2022年，5月20日，12點49分，星期五隨機單位組設計方差分析 欲比較因素的K個水平

12、的各變量均值,同時控制另一個因素的作用。試驗設計時,先將受試對象按其它控制因素性質相同或相近者組成單位組,每個單位組有K個受試對象,分別隨機分配至因素的K個水平上。這時每個水平的受試對象不僅數量相同, 而且性質亦相同或相近,就能縮小誤差,提高實驗效率。這樣的設計可將單位組亦看作一個因素,就成為二個因素的設計第28頁，共72頁，2022年，5月20日，12點49分，星期五隨機單位組設計方差分析 處理間變異 組間 總變異 單位組間變異 組內 誤差 （誤差） 和單因素方差分析相比，誤差減少了，檢驗效率提高了。 第29頁，共72頁，2022年，5月20日，12點49分，星期五隨機單位組設計方差分析 可

13、作二個假設檢驗：(1)H0:因素各水平x的均值相同 H1:因素中至少有二個水平的x均值不相同 F1=MS因素/MS誤差 DF因素=K-1，DF誤差=(bk-1)-(k-1)-(b-1) =bk-k-b+1 (2)H0:各個單位組的x均值相同 H1:至少有二個單位組的x均值不相同 F2=MS單位組/MS誤差 DF單位組=b-1，DF誤差=bk-k-b+1當欲進一步比較因素中任二個的水平x均值是否相同。可用本章第三節(jié)中均數間兩兩比較的檢驗。第30頁，共72頁，2022年，5月20日，12點49分，星期五 大白鼠注射不同劑量雌激素后子宮重量處理組：雌激素劑量，三水平(0.2, 0.4, 0.8)單位

14、組：大白鼠種系，四水平(A, B, C, D)變異來源 SS DF MS F P 總 13075 11劑量間 6074 2 3037 33.54 0.01種系間 6457.67 3 2152.56 23.77 0.05受試者間 2853.67 4 713.41 16.27 0.05 誤差 526.14 12 43.84 F0.05（4，12）=3.26, F0.01（4，12）=5.41第39頁，共72頁，2022年，5月20日，12點49分，星期五處理因素為藥物復方1復方2可待因處理因素為藥物不同濃度控制因素為動物種系單因素方差分析單位組設計方差分析第40頁，共72頁，2022年，5月20日

15、，12點49分，星期五拉丁方設計方差分析防護服A、B、C、D、E受試者甲、乙、丙、丁、戊試驗日期1、2、3、4、5第41頁，共72頁，2022年，5月20日，12點49分，星期五第七節(jié) 析因設計的方差分析 (factorial design ANOVA) 析因設計是一種多因素的交叉分組試驗設計。例如：提取某蛋白質成分的研究中，蛋白質的提取量和溫度，試劑濃度及PH值有關。溫度分高,中,低三個水平；試劑濃度分0.1,0.2,0.3,0.4 四個水平;PH值分6和8二個水平。這三個因素的各水平相結合，共形成342=24種處理組；各種處理組各有數例，這樣的試驗叫析因設計。由于進行了交叉設計，同時每組又

16、有重復，因此可檢驗各因素間的交互作用(interaction)。上述試驗也可稱為342析因試驗設計。重復數可以相等也可以不相等,一般地說,重復數相等時,效率最高。第42頁，共72頁，2022年，5月20日，12點49分，星期五第七節(jié) 析因設計的方差分析最簡單的析因設計是22析因設計。有二個因素，每個因素分二個水平。因素A：分A1和A2二個水平； 因素B：分B1和B2二個水平；分四個處理組：A1B1，A1B2，A2B1和A2B2。每個處理組做若干次試驗。第43頁，共72頁，2022年，5月20日，12點49分，星期五第七節(jié) 析因設計的方差分析例5.4 某研究所對甲、乙兩藥的降膽固醇作用進行研究,

17、將甲藥視作為因素,下有二個水平,水平1為不加甲藥,水平2為加甲藥。乙藥為因素,水平1為不加乙藥,水平2為加乙藥。構成了22=4個水平組合,試驗中將12個高膽固醇病人隨機分為四組，每組3例，進行治療,觀察膽固醇的下降值。本試驗為22析因試驗設計，重復數為3。第44頁，共72頁，2022年，5月20日，12點49分，星期五 22析因設計試驗結果 因素(乙藥) 因素 (甲藥) 水平1(不加) 水平2(加) 水平1 0.416 0.728(不加) 0.650 0.806 0.468 0.598 水平2 1.456 1.664 (加) 1.144 2.028 1.092 2.080 第七節(jié) 析因設計的方

18、差分析第45頁，共72頁，2022年，5月20日，12點49分，星期五交互作用 當二個因素的作用相互獨立時，稱這二個因素無交互影響；當二個因素的作用不獨立，而相互有影響時，稱這二個因素有交互影響。當存在交互影響時表示一個因素各水平間的差異隨著另一個因素的水平改變而不同;當不存在交互影響時,則各個因素獨立, 即一個因素水平改變時不影響另一個因素的各水平之效應。因素A和因素B的交互作用記為AB。 交互作用:幾個因素聯合作用不等于這幾個因素單獨作用的累加（有的情況是相乘），稱這幾個因素間存在交互作用，否則稱為不存在交互作用或稱為這幾個因素相互獨立。第46頁，共72頁，2022年，5月20日，12點4

19、9分，星期五第七節(jié) 析因設計的方差分析 因素1引起的變異（甲藥） 因素2引起的變異（乙藥） 總變異 因素1和因素2的交互作用引起的變異 誤差 可作三個假設檢驗。第47頁，共72頁，2022年，5月20日，12點49分，星期五第七節(jié) 析因設計的方差分析(1)H0:因素的各水平的膽固醇的平均降低值相同; H1:因素的各水平的膽固醇的平均降低值不相同;(2)H0:因素的各水平的膽固醇平均降低值相同; H1:因素的各水平的膽固醇平均降低值不相同;(3)H0:因素的各水平的膽固醇平均下降值的差異,獨立于因素,或者因素的各水平的膽固醇平均下降值的差異獨立于因素; H1:兩者不獨立。 第(3)個假設就是檢驗

20、兩個因素的交互影響。第48頁，共72頁，2022年，5月20日，12點49分，星期五第七節(jié) 析因設計的方差分析 例5.4的方差分析表變異來源 SS DF MS F P 總變異 3.8146 11 因素 2.8014 1 2.8014 96.2680 0.01 因素 0.5976 1 0.5976 20.5361 0.01 0.1813 1 0.1831 6.2921 累加：有協同作用聯合作用累加：有桔抗作用聯合作用=累加：無交互作用 本例有協同作用。第51頁，共72頁，2022年，5月20日，12點49分，星期五第八節(jié) 方差分析的SAS程序 可用于各種方差分析的SAS過程較多，常用的有二個過程

21、：ANOVA過程：只用于單因素方差分析及各種平衡設計資料（即各組例數相等）的方差分析。GLM（general linear model）過程：用于各種試驗設計的方差分析和協方差分析。 GLM過程可完全替代ANOVA過程的作用，并且語句相同。第52頁，共72頁，2022年，5月20日，12點49分，星期五第九節(jié) 平衡不完全單位組設計方差分析 (balanced incomplete block design ANOVA) 在隨機單位組設計中有時處理組的水平數太多,大于單位組中的個體數, 這時就可以有計劃地安排每個單位組中的處理,使全部試驗中每種處理的重復數相同,每兩種處理同時出現在同一單位組中的

22、次數相同,這就是平衡不完全單位組設計的方法。對于一個具體設計,欲用本方法時需查有關的書籍,作出實驗安排。第53頁，共72頁，2022年，5月20日，12點49分，星期五第九節(jié) 平衡不完全單位組設計方差分析 要比較9種飼料的作用,用同一窩的白鼠作為單位組。如用隨機單位組設計，則每一窩都要有9個白鼠。但實際上做不到每一窩9個白鼠，只能做到每一窩4個白鼠。這時可選用平衡不完全單位組設計。本例處理組的水平數為9，每各單位組中實驗單位數為4，可從有關專著中查到設計格式，以達到使全部試驗中每種處理的重復數相同,每兩種處理同時出現在同一單位組中的次數相同。根據設計格式安排試驗，得到結果，再進行統計分析。第5

23、4頁，共72頁，2022年，5月20日，12點49分，星期五單位組(窩) 處理 1 6(2.6) 4(9.7) 3(5.4) 5(6.9) 2 6(5.9) 7(2.6) 9(5.9) 2(6.3) 3 1(7.0) 6(5.6) 9(5.9) 3(3.3) 4 9(2.4) 4(5.0) 7(3.0) 6(2.4) 5 9(5.0) 8(7.4) 5(10.3) 3(9.4) 6 4(10.1) 1(9.7) 6(5.7) 8(7.5) 7 2(3.9) 4(5.1) 5(6.4) 9(6.3) 8 8(5.0) 6(6.1) 7(5.4) 3(3.3) 9 2(2.8) 6(2.6) 5(

24、2.8) 8(3.3) 10 2(5.7) 8(9.3) 3(5.4) 9(6.1) 11 2(5.7) 7(6.6) 1(5.5) 8(5.3) 12 1(3.0) 8(1.4) 9(5.2) 4(2.8) 13 3(7.5) 7(2.2) 5(2.6) 1(5.4) 14 3(3.7) 1(5.2) 4(2.4) 2(2.4) 15 9(3.0) 7(2.6) 1(5.7) 5(2.4) 16 4(5.5) 2(6.0) 7(5.6) 3(3.3) 17 7(2.6) 5(5.9) 4(6.0) 8(5.6) 18 2(7.3) 5(5.4) 6(5.7) 1(5.4)第55頁，共72頁，

25、2022年，5月20日，12點49分，星期五 第十節(jié) 正交試驗設計方差分析(orthogonal experiment design ANOVA) 正交試驗是一種高效,快速的多因素試驗方法, 能同時對多個因素,多個水平進行比較。正交試驗利用一套規(guī)格化的正交表,使每次試驗的因素,水平得到最合理的安排, 所以能以較少的試驗次數提供因素,交互影響等有關信息,作出統計推斷。通過試驗常能找出最佳實驗條件,最好的生產條件,最合適的配料方案等。 第56頁，共72頁，2022年，5月20日，12點49分，星期五第十節(jié) 正交試驗設計方差分析正交試驗設計方差分析的一般步驟為: (1)確定所研究的因素和水平; (2

26、)選擇合適的正交表,安排試驗; (3)通過試驗獲得數據; (4)對試驗結果用方差分析方法作出統 計推斷。第57頁，共72頁，2022年，5月20日，12點49分，星期五第十節(jié) 正交試驗設計方差分析例5.6 過氧乙酸是廣泛應用的一種殺滅病毒性肝炎病毒的主要消毒劑,但其有效成分極不穩(wěn)定,以致影響其消毒效果,現對下列四個因素,每個因素2個水平進行研究,由放置24個小時后過氧乙酸殘存量(mg/3ml),分析哪些為主要影響因素。 A:穩(wěn)定劑, 水平1:加磷酸0.3%; 水平2:不加磷酸; B:水浴溫度,水平1:25-30; 水平2:35-40; C:浸泡口表,水平1:浸泡口表10支;水平2:不浸口表;

27、D:加蓋與否,水平1:加蓋; 水平2:不加蓋。第58頁，共72頁，2022年，5月20日，12點49分，星期五第十節(jié) 正交試驗設計方差分析選用L8(27)正交表：試驗號 1 2 3 4 5 6 7 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 3 1 2 2 1 1 2 2 4 1 2 2 2 2 1 1 5 2 1 2 1 2 1 2 6 2 1 2 2 1 2 1 7 2 2 1 1 2 2 1 8 2 2 1 2 1 1 2第59頁，共72頁，2022年，5月20日，12點49分，星期五第十節(jié) 正交試驗設計方差分析二列間交互影響： 列 1 2 3 4 5 6 7 1 3

28、 2 5 4 7 6 2 1 6 7 4 5 3 7 6 5 4 4 1 2 3 5 3 2 6 1第60頁，共72頁，2022年，5月20日，12點49分，星期五第十節(jié) 正交試驗設計方差分析 選擇適當的正交表后,需先作表頭設計；即哪一列安排哪個因素，哪一列為交互影響？必須剩下至少一列為誤差項。本例可安排如下：列號 1 2 3 4 5 6 7因素 A B AB C AC BC D CD BD AD 如需考慮6個一級交互影響，則L8(27)正交表太小，要選更大的正交表。這里只考慮2個交互影響： AB 和AD。選用L8(27)作如下表頭設計 列號 1 2 3 4 5 6 7 因素 A B AB C

29、 AD D第61頁，共72頁，2022年，5月20日，12點49分，星期五第十節(jié) 正交試驗設計方差分析據L8(27)中的1,2,4,7列所示的因素水平進行試驗得:試驗號 A(1) B(2) C(5) D(7) 殘存量 1 1 1 1 1 7.00 4.11 2 1 1 2 2 6.05 3.50 3 1 2 1 2 1.10 0.80 4 1 2 2 1 1.90 0.96 5 2 1 1 2 2.40 1.65 6 2 1 2 1 4.00 1.50 7 2 2 1 1 0.35 0.30 8 2 2 2 2 0.30 0.90第62頁，共72頁，2022年，5月20日，12點49分，星期五

30、第十一節(jié) 協方差分析(analysis of covariance) 在各種試驗設計中，對主要變量（dependent variable）Y 研究時，常希望其他可能影響Y的變量保持基本一致，以達到均衡可比。例如：比較幾種藥物的降壓作用，各試驗組在原始血壓、性別、年齡等指標應無顯著差異。第63頁，共72頁，2022年，5月20日，12點49分，星期五第十一節(jié) 協方差分析 有時這些變量不能控制，須在統計分析時，通過一定方法來消除這些變量的影響后，再對主要變量y作出統計推斷。 如果所控制的變量是分類變量時，可用多因素的方差分析； 當要控制的變量是連續(xù)型變量時，可用協方差分析。第64頁，共72頁，2022年，5月20日，12點49分，星