電磁場(chǎng)與電磁波公式總結(jié)

1、電磁場(chǎng)與電磁波復(fù)習(xí)第一部分知識(shí)點(diǎn)歸納第一章矢量分析1、三種常用的坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系微分線元：面積元：，體積元：柱坐標(biāo)系長度元:，面積元，體積元：球坐標(biāo)系長度元：，面積元：，體積元：2、三種坐標(biāo)系的坐標(biāo)變量之間的關(guān)系直角坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系的關(guān)系直角坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系的關(guān)系柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系的關(guān)系3、梯度直角坐標(biāo)系中：柱坐標(biāo)系中：球坐標(biāo)系中:4、散度直角坐標(biāo)系中：柱坐標(biāo)系中:球坐標(biāo)系中：5、高斯散度定理：，意義為：任意矢量場(chǎng)的散度在場(chǎng)中任意體積內(nèi)的體積分等于矢量場(chǎng)在限定該體積的 閉合面上的通量。6，旋度直角坐標(biāo)系中：柱坐標(biāo)系中：球坐標(biāo)系中：兩個(gè)重要性質(zhì)：矢量場(chǎng)旋度的散度恒為零，標(biāo)量場(chǎng)梯度的旅度恒為零，7

2、、斯托克斯公式：第二章靜電場(chǎng)和恒定電場(chǎng)1、靜電場(chǎng)是由空間靜止電荷產(chǎn)生的一種發(fā)散場(chǎng)。描述靜電場(chǎng)的基本變量是電場(chǎng)強(qiáng)度、電位移矢量和電位。電場(chǎng)強(qiáng)度與電位的關(guān)系為：。2、電場(chǎng)分布有點(diǎn)電荷分布、體電荷分布、面電荷分布和線電荷分布其電場(chǎng)強(qiáng)度和電位的計(jì)算公式如下：點(diǎn)電荷分布體電荷分布面電荷分布線電荷分布3、介質(zhì)中和真空中靜電場(chǎng)的基本方程分別為在線性、各向同性介質(zhì)中，本構(gòu)方程為：4、電介質(zhì)的極化極化介質(zhì)體積內(nèi)的極化體電荷密度為:。介質(zhì)表面的極化面電荷密度為：5、在均勻介質(zhì)中，電位滿足的微分方程為泊松方程和拉普拉斯方程，即6、介質(zhì)分界面上的邊界條件分界面上的邊界條件（為分界面上的自由電荷面密度），當(dāng)分界面上沒有

3、自由電荷時(shí)，則有：，它給出了的法向分量在介質(zhì)分界面兩側(cè)的關(guān)系：（1）如果介質(zhì)分界面上無自由電荷，則分界面兩側(cè)的法向分量連續(xù)；（II）如果介質(zhì)分界面上分布電荷密度，的法向分量從介質(zhì)1跨過分界面進(jìn)入介質(zhì)2時(shí)將有 一增量，這個(gè)增量等于分界面上的面電荷密度。用電位表示：（2）分界面上的邊界條件（切向分量），電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量在不同的分界面上總是連續(xù)的.由于電場(chǎng)的切向分量在分界面上總連續(xù)，法向分量有限，故在分界面上的電位函數(shù)連續(xù)，即.電力線折射定律:。7、靜電場(chǎng)能量（1）靜電荷系統(tǒng)的總能量體電荷:；面電荷:；線電荷:。（2）導(dǎo)體系統(tǒng)的總能量為:。（3）能量密度靜電能是以電場(chǎng)的形式存在于空間，而不是以電荷

4、或電位的形式存在于空間中的。場(chǎng)中任意 一點(diǎn)的能量密度為：在任何情況下，總靜電能可由來計(jì)算。8、恒定電場(chǎng)存在于導(dǎo)電媒質(zhì)中由外加電源維持。描述恒定電場(chǎng)特性的基本變量為電場(chǎng)強(qiáng)度 和電流密度，且.為媒質(zhì)的電導(dǎo)率。（1）恒定電場(chǎng)的基本方程電流連續(xù)性方程：恒定電流場(chǎng)中的電荷分布和電流分布是恒定的場(chǎng)中任一點(diǎn)和任一閉合面內(nèi)都不能有電荷的 增減，即。因此，電流連續(xù)性方程變?yōu)?，再加上,這變分別是恒定電場(chǎng)基本方程的積分形式 和微分形式.（2）恒定電場(chǎng)的邊界條件應(yīng)用歐姆定律可得:。此外，恒定電場(chǎng)的焦耳損耗功率密度為，儲(chǔ)能密度為.第四章恒定磁場(chǎng)1、 磁場(chǎng)的特性由磁感應(yīng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度來描述真空中磁感應(yīng)強(qiáng)度的計(jì)算公式為：

5、（真空磁導(dǎo)率：）（1）線電流：（2）面電流：（3）體電流:2、恒定磁場(chǎng)的基本方程（1）真空中恒定磁場(chǎng)的基本方程為：A、磁通連續(xù)性方程:，B、真空中安培環(huán)路定理：（2）磁介質(zhì)中恒定磁場(chǎng)的基本方程為：A、磁通連續(xù)性方程仍然滿足:，B、磁介質(zhì)中安培環(huán)路定理：C、磁性媒質(zhì)的本構(gòu)方程:。恒定磁場(chǎng)是一種漩渦場(chǎng)，因此一般不能用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度來描述。3、磁介質(zhì)的磁化磁介質(zhì)在磁場(chǎng)中被磁化，其結(jié)果是磁介質(zhì)內(nèi)部出現(xiàn)凈磁矩或宏觀磁化電流.磁介質(zhì)的磁化程度用磁化強(qiáng)度表示。（1）磁介質(zhì)中的束縛體電流密度為:；（2）磁介質(zhì)表面上的束縛面電流密度為：4、恒定磁場(chǎng)的矢量磁位為：，矢量為矢量磁位。在庫侖規(guī)范條件（）下，場(chǎng)與源

6、的關(guān)系方程為：對(duì)于分布型的矢量磁位計(jì)算公式：（1） 線電流：（2）面電流：（3）體電流：5、恒定磁場(chǎng)的邊界條件（1）分界面上的邊界條件在兩種磁介質(zhì)的分界面上，取一個(gè)跨過分界面兩側(cè)的小扁狀閉合柱面（高為無窮小量）如右圖所示，應(yīng)用磁通連續(xù)性方程可得：于是有：（2）分界面上（切向分量）的邊界條件：，如果分界面上無源表面電流（即），則即磁力線折射定律：用矢量磁位表示的邊界條件為：6、電感的計(jì)算外自感：，（2）互感：（3）內(nèi)自感：單位長度的圓截面導(dǎo)線的內(nèi)自感為：（長度為的一段圓截面導(dǎo)線的內(nèi)自感為）。7、磁場(chǎng)的能量和能量密度（1）磁場(chǎng)的總能量磁介質(zhì)中，載流回路系統(tǒng)的總磁場(chǎng)能量為：（3）磁場(chǎng)能量密度A、任意

7、磁介質(zhì)中：，此時(shí)磁場(chǎng)總能量可以由計(jì)算出；B、在各向同性,線性磁介質(zhì)中:，此時(shí) 磁場(chǎng)總能量可以由第五章時(shí)變電磁場(chǎng)1、法拉第電磁感應(yīng)定律（1）感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為:；（2）法拉第電磁感應(yīng)定律它說明時(shí)變的磁場(chǎng)將激勵(lì)電場(chǎng)，而且這種感應(yīng)電場(chǎng)是一種旋渦場(chǎng)即感應(yīng)電場(chǎng)不再是保 守場(chǎng)，感應(yīng)電場(chǎng)在時(shí)變磁場(chǎng)中的閉合曲線上的線積分等于閉合曲線圍成的面上磁通的負(fù) 變化率。2、麥克斯韋位移電流假說按照麥克斯韋提出的位移電流假說，電位移矢量對(duì)時(shí)間的變化率可視為一種廣義的電流 密度，稱為位移電流密度，即。位移電流一樣可以激勵(lì)磁場(chǎng)，從而可以得出時(shí)變場(chǎng)中 的安培環(huán)再定福：3、麥克斯韋方程組（1） 微分形式（2）積分形式（3）非限定形式的

8、麥克斯韋方程組在線性和各向同性的介質(zhì)中，有媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系：，由此可得非限定形式的麥克斯韋方 程組：（4）麥克斯韋方程組的實(shí)質(zhì)A、第一方程：時(shí)變電磁場(chǎng)中的安培環(huán)路定律。物理意義：磁場(chǎng)是由電流和時(shí)變的電場(chǎng) 激勵(lì)的。B、第二方程：法拉第電磁感應(yīng)定律。物理意義：說明了時(shí)變的磁場(chǎng)激勵(lì)電場(chǎng)的這一事 實(shí).：、第三方程：時(shí)變電場(chǎng)的磁通連續(xù)性方程。物理意義：說明了磁場(chǎng)是一個(gè)旋渦場(chǎng)。D、第四方程：高斯定律。物理意義：時(shí)變電磁場(chǎng)中的發(fā)散電場(chǎng)分量是由電荷激勵(lì)的。思考題:麥克斯韋方程中為什么沒有寫進(jìn)電流連續(xù)性方程？答：因?yàn)樗梢杂晌⒎中问降姆匠探M中、式兩式導(dǎo)出.把式兩邊同時(shí)取散度得由于矢量的旋度的散度恒等于零，故得，再

9、把式代入上式，即得，這便是電流連續(xù)性方程。4、分界面上的邊界條件（1）法向分量的邊界條件A、，若分界面上，則B、的邊界條件（2）切向分量的邊界條件A、的邊界條件B、的邊界條件，若分界面上，貝9（3）理想導(dǎo)體（）表面的邊界條件，式中是導(dǎo)體表面法線方向的單位矢量。上述邊界條件說明:在理想導(dǎo)體與空氣的分界面上，如果導(dǎo)體表 面上分布有電荷,則在導(dǎo)體表面上有電場(chǎng)的法向分量，則由上式中的式?jīng)Q定，導(dǎo)體表面上電場(chǎng)的切向 分量總為零；導(dǎo)體表面上磁場(chǎng)的法向分量總為零，如果導(dǎo)體表面上分布有電流，則在導(dǎo)體表面上有磁場(chǎng) 的切向分量，則由上式中的決定。5、波動(dòng)方程無源區(qū)域內(nèi)，、的波動(dòng)方程分別為:、；此兩式為三維空間中的矢

10、量齊次波動(dòng)方程。由此可以看出:時(shí)變電磁場(chǎng)在無源空間中是以波動(dòng)的方式在 運(yùn)動(dòng)，故稱時(shí)變電磁場(chǎng)為電磁波，且電磁波的傳播速度為.6、坡印廷定理和坡印廷矢量數(shù)學(xué)表達(dá)式：由于為體積內(nèi)的總電場(chǎng)儲(chǔ)能，為體積內(nèi)的總磁場(chǎng)儲(chǔ)能，為體積內(nèi)的總焦耳損耗功率. 于是上式可以改寫成:，式中的為限定體積的閉合面。物理意義:對(duì)空間中任意閉合面限定的體積，矢量流入該體積邊界面的流量等于該體積內(nèi)電磁能量的 增加率和焦耳損耗功率，它給出了電磁波在空間中的能量守恒和能量轉(zhuǎn)換關(guān)系.坡印廷矢量（能流矢量）表示沿能量流動(dòng)方向單位面積上傳過的功率。7、動(dòng)態(tài)矢量磁位和動(dòng)態(tài)標(biāo)量為與電磁場(chǎng)的關(guān)系為：,達(dá)朗貝爾方程（或稱與的非齊次波動(dòng)方程）為，第六

11、章正弦平面電磁波1、正弦電磁場(chǎng)（1） 正弦電場(chǎng)、磁場(chǎng)強(qiáng)度的復(fù)數(shù)表示方法（以電場(chǎng)強(qiáng)度為例）在直角坐標(biāo)系中，正弦電磁場(chǎng)的電場(chǎng)分量可以寫成：運(yùn)用歐拉公式將其表示成復(fù)數(shù)矢量形式：其中，分別稱為各分量振幅的相量，它的模和相位角都是空間坐標(biāo)的函數(shù)，因此其中，稱為電場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量，它含有各分量的振幅和初相兩大要素。電場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量是一個(gè)為簡化 正弦場(chǎng)計(jì)算的表示符號(hào)，一般不能用三維空間中一個(gè)矢量來表示，也不能寫成指數(shù)形式.例題1將下列場(chǎng)矢量的瞬時(shí)值改寫為復(fù)數(shù)；將場(chǎng)得復(fù)矢量寫為瞬時(shí)值（1）（2）解：（1）因?yàn)槭桥己瘮?shù)，則而，故（2）因?yàn)楣剩?）麥克斯韋方程組的復(fù)數(shù)形式，此方程組沒有時(shí)間因子，注意：式中的場(chǎng)量仍代表復(fù)

12、矢量，標(biāo)量仍代表復(fù)數(shù).對(duì)于正弦電磁場(chǎng)的求解，我們可根據(jù)給出的源寫出其復(fù)矢量和復(fù)數(shù)，然后利用麥克斯韋方程組的復(fù)數(shù) 形式求出場(chǎng)得復(fù)矢量，再由電磁場(chǎng)的復(fù)矢量寫出磁場(chǎng)的正弦表達(dá)式。例題2在真空中，巳知正弦電磁波的電場(chǎng)分量為，求波的磁場(chǎng)分量解:先將波的電場(chǎng)分量寫出復(fù)矢量，即，將其代入矢量的麥克斯韋方程組：可得:，將代入上式可得，將上式展開取實(shí)部得：（3）正弦場(chǎng)中的坡印廷定理其中為磁場(chǎng)能量密度的平均值，為電場(chǎng)能量密度的平均值.這里場(chǎng)量分別為正弦電場(chǎng)和磁場(chǎng)的幅值。 正弦電磁場(chǎng)的坡印廷定理說明：流進(jìn)閉合面內(nèi)的有功功率供閉合面包圍的區(qū)域內(nèi)媒質(zhì)的各種功率損 耗；而流進(jìn)（或流出）的無功功率代表著電磁波與該區(qū)域功率交

13、換的尺度。（4）亥姆霍茲方程（正弦電磁場(chǎng)波動(dòng)方程的復(fù)數(shù)形式），式中稱為正弦電磁波的波數(shù).2、理想介質(zhì)中的均勻平面波（1）均勻平面波的波動(dòng)方程及其解平面波是指波陣面為平面的電磁波。均勻平面波是指波的電場(chǎng)和磁場(chǎng)只沿波的傳播方向變化，而在波 陣面內(nèi)和的方向、振幅和相位不變的平面波。一般說來,大多數(shù)源輻射的電磁波為球面波.，通常稱為波的相速度。（2）均勻平面波的傳播特性波在一個(gè)周期中傳播的距離稱為波長，用表示。波長與頻率、相速的關(guān)系為，周期是波在時(shí)間上的重復(fù)量，波長是波在空間上的重復(fù)量。電場(chǎng)與磁場(chǎng)的振幅比為：稱為媒質(zhì)的本征阻抗，在自由空間中，電場(chǎng)能量密度：，磁場(chǎng)能量密度：，且二者滿足關(guān)系：。結(jié)論：沿方

14、向傳播的均勻平面波,若電場(chǎng)在方向，則磁場(chǎng)在方向，電場(chǎng)與磁場(chǎng)總是相互垂直，并垂直于 波的傳播方向，電場(chǎng)、磁場(chǎng)、波的傳播方向三者滿足右手螺旋關(guān)系。3、電磁波的極化電磁波的極化表征在空間給定點(diǎn)上電場(chǎng)強(qiáng)度矢量的取向隨時(shí)間變化的特性。當(dāng)電場(chǎng)的水平分量與垂直 分量相位相同或相差別時(shí)為直線極化；當(dāng)兩分量的振幅相等，但相位差為或時(shí)為圓極化（圓極化波分為 左旋極化波和右旋極化波.如果我們面向電磁波傳去的方向，電場(chǎng)矢量是順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的，這樣極化 的波稱右旋極化波.如果電場(chǎng)矢量是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的，這樣的極化的波稱左旋極化波）；當(dāng)兩分量的振幅 和相位均為任意關(guān)系時(shí)為橢圓極化。4、媒質(zhì)的損耗及分類工程上通常按的大小將媒質(zhì)劃分為