新教材人教A版必修第一冊-3.3冪函數(shù)-學案

1、PAGE 8 -33冪函數(shù)內(nèi)容標準學科素養(yǎng)1.通過實例，了解冪函數(shù)的概念數(shù)學抽象直觀想象數(shù)學運算2.結(jié)合函數(shù)yx、yx2、yx3、yxeq f(1,2)、yeq f(1,x)的圖象，了解它們的變化情況及性質(zhì)3.會利用冪函數(shù)解決一些問題.授課提示：對應學生用書第44頁教材提煉知識點一冪函數(shù)的定義eq avs4al(預習教材，思考問題)函數(shù)f(x)x、f(x)x2、f(x)eq f(1,x)，以前叫什么函數(shù)，它們有什么共同特征？ 知識梳理(1)一般地，函數(shù)yx叫做冪函數(shù)(power function)，其中x是自變量，是常數(shù)(2)冪函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征指數(shù)為常數(shù)；底數(shù)是自變量，自變量的系數(shù)為1；冪

2、x的系數(shù)為1；只有1項知識點二冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)eq avs4al(預習教材，思考問題)函數(shù)yx，yx2、yeq f(1,x)的圖象在第一象限都過什么點？單調(diào)性如何？ 知識梳理常見冪函數(shù)(1)yx、yx2、yx3、yxeq f(1,2)、yx1的圖象(2)性質(zhì)冪函數(shù)性質(zhì)yxyx2yx3yxeq f(1,2)yx1定義域RRR0，)x|xR且x0值域R0，)R0，)x|yR且y0單調(diào)性在R上為增函數(shù)x0，)時，單調(diào)遞增x(，0)時，單調(diào)遞減在R上為增函數(shù)在0，)上為增函數(shù)x(0，)時，單調(diào)遞減x(，0)時，單調(diào)遞減定點(0,0)，(1,1)(0,0)，(1,1)(0,0)，(1,1)(0,0)，

3、(1,1)(1,1)奇偶性奇偶奇非奇非偶奇自主檢測1下列函數(shù)為冪函數(shù)的是()Ay2x3By2x21Cyeq f(1,x) Dyeq f(3,x2)答案：C2已知冪函數(shù)yf(x)的圖象過(4,2)點，則feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)()A.eq r(2) B.eq f(1,2)C.eq f(1,4) D.eq f(r(2),2)答案：D3冪函數(shù)yx(R)恒過定點_答案：(1,1)4已知冪函數(shù)f(x)滿足f(2)eq f(1,2)，則f(x)_.答案：eq f(1,x)授課提示：對應學生用書第45頁探究一冪函數(shù)的概念例1函數(shù)f(x)(m2m1)xm2m3是冪函數(shù)，且當x(

4、0，)時，f(x)是增函數(shù)，求f(x)的解析式解析由m2m11得，m2m20，解得m2或m1.當m2時，m2m33，f(x)x3符合要求，當m1，m2m330，f(x)x3在(0，)為減函數(shù)，不符合要求綜上，f(x)x3.判斷冪函數(shù)的依據(jù)形如yx的函數(shù)叫冪函數(shù)，它具有三個特點：(1)系數(shù)為1.(2)指數(shù)為常數(shù)(也可以為0)(3)后面不加任何項若函數(shù)f(x)(2m3)xm23是冪函數(shù)，則m的值為()A1B0C1 D2解析：冪函數(shù)是形如f(x)x的函數(shù)，所以2m31，m1.答案：A探究二冪函數(shù)的圖象例2冪函數(shù)yx2，yx1，yxeq f(1,3)，yxeq f(1,2)在第一象限內(nèi)的圖象依次是圖中

5、的曲線()AC2，C1，C3，C4BC4，C1，C3，C2CC3，C2，C1，C4DC1，C4，C2，C3解析由于在第一象限內(nèi)直線x1的右側(cè)時，冪函數(shù)yx的圖象從上到下相應的指數(shù)由大變小，故冪函數(shù)yx2在第一象限內(nèi)的圖象為C1，同理，yx1在第一象限的圖象為C4，yxeq f(1,3)在第一象限內(nèi)的圖象為C2，yxeq f(1,2)在第一象限內(nèi)的圖象為C3，故選D.答案D冪函數(shù)在第一象限內(nèi)指數(shù)變化規(guī)律：在第一象限內(nèi)直線x1的右側(cè)，圖象從上到下，相應的指數(shù)由大變??；在直線x1的左側(cè)，圖象從下到上，相應的指數(shù)由大變小.已知冪函數(shù)yxn，yxm，yxp的圖象如圖，則()AmnpBmpnCnpmDpn

6、m答案：C探究三冪函數(shù)的性質(zhì)例3(1)求下列函數(shù)的定義域，并指出其奇偶性和單調(diào)性yxeq f(2,5)；yxeq f(3,4)；yx2；yxeq f(3,4).解析函數(shù)yxeq f(2,5)，即yeq r(5,x2)，其定義域為R；是偶函數(shù)；它在0，)上為增函數(shù)，在(，0上為減函數(shù)函數(shù)yxeq f(3,4)，即yeq r(4,x3)，其定義域為0，)；既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)；它在0，)上為增函數(shù)函數(shù)yx2，即yeq f(1,x2)，其定義域為(，0)(0，)；是偶函數(shù)；它在(0，)上為減函數(shù)，在(，0)上為增函數(shù)函數(shù)yxeq f(3,4)，即yeq f(1,r(4,x3)，其定義域為(0，

7、)；既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)；它在(0，)上為減函數(shù)要類比常見冪函數(shù)的性質(zhì)，利用其共性對于單調(diào)性、奇偶性按一般函數(shù)的判斷方法(2)比較冪值大小：3eq f(5,2)和3.1eq f(5,2)；8eq f(7,8)和eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,9)eq f(7,8)；eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)eq f(2,3)和eq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)eq f(2,3)；4.1eq f(2,5)，3.8eq f(2,3)和(1.9)eq f(3,5).解析函數(shù)yxeq f(5,2)在(0，)上為減函數(shù)，又33.1eq f(5,2).

8、8eq f(7,8)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,8)eq f(7,8)，函數(shù)yxeq f(7,8)在(0，)上為增函數(shù)，又eq f(1,8)eq f(1,9)，則eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,8)eq f(7,8)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,9)eq f(7,8)，從而8eq f(7,8)eq f(,6)，eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)eq f(2,3)1eq f(2,5)1,03.8eq f(2,3)1eq f(2,3)1，(1.9)eq f(3,5)0，(1.9)eq f(3,5)3.8eq f(2,3

9、)(4.1)eq f(2,5).冪值大小比較常用的方法要比較的兩個冪值，若指數(shù)相同，底數(shù)不同時，考慮應用冪函數(shù)的單調(diào)性；考慮借助中間量“1”“0”“1”進行比較(3)已知冪函數(shù)yx3m9(mN*)的圖象關(guān)于y軸對稱，且在(0，)上函數(shù)值隨x的增大而減小，求滿足(a1)eq f(m,3)(32a)eq f(m,3)的a的取值范圍解析函數(shù)在(0，)上單調(diào)遞減，3m90，解得m3.又mN*，m1,2.又函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，3m9為偶數(shù)，故m1.由題意得(a1)eq f(1,3)(32a)eq f(1,3).yxeq f(1,3)在(，0)，(0，)上均單調(diào)遞減，a132a0或0a132a或a103

10、2a，解得eq f(2,3)aeq f(3,2)或a1.利用冪函數(shù)解不等式的步驟利用冪函數(shù)解不等式，實質(zhì)是已知兩個函數(shù)值的大小，判斷自變量的大小，常與冪函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等綜合命題求解步驟如下：(1)確定可以利用的冪函數(shù)；(2)借助相應的冪函數(shù)的單調(diào)性，將不等式的大小關(guān)系，轉(zhuǎn)化為自變量的大小關(guān)系；(3)解不等式求參數(shù)范圍，注意分類討論思想的應用授課提示：對應學生用書第46頁“冪異形同”的冪函數(shù)家族冪函數(shù)圖象性質(zhì)的拓展對于冪函數(shù)yx(R)時，可視為yxeq f(q,p)型(p，q互異)根據(jù)最簡分數(shù)eq f(q,p)的值，來類比常見冪函數(shù)的圖象(1)當0時，圖象都通過點(0,0)，(1,1)；在

11、第一象限內(nèi)，函數(shù)值隨x的增大而增大；在第一象限內(nèi)，1時，圖象是向下凸的；01時，圖象是向上凸的；在第一象限內(nèi)，過點(1,1)后，圖象向右上方無限伸展(2)當0時，圖象都通過點(1,1)；在第一象限內(nèi)，函數(shù)值隨x的增大而減小，圖象是向下凸的；在第一象限內(nèi)，圖象向上與y軸無限接近，向右與x軸無限接近；在第一象限內(nèi)，過點(1,1)后，|越大，圖象下降的速度越快(3)冪函數(shù)的奇偶性yx，當eq f(p,q)(p，qZ)是最簡分數(shù)時，當p，q均為奇數(shù)時，yx是奇函數(shù)；當p為偶數(shù)，q為奇數(shù)時，yx是偶函數(shù)；當q為偶數(shù)時，yx為非奇非偶函數(shù)典例1.yxeq f(4,3)的圖象是()解析eq f(4,3)0，f(x)xeq f(4,3)在(0，)是減函數(shù)，而f(x)xeq f(4,3)eq f(1,xf(4,3)eq f(1,r(3,x4)，定義域為(，0)(0，)f(x)eq f(1,r(3,x4)eq f(1,r(3,x4)f(x)，f(x)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱答案A2如圖，函數(shù)yxeq f(2,3)的圖象是()解析yxeq f(2,3)eq r(3,x2)0，故只有D中的圖象適合答案D3如果一個函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)對任意x，y都滿足feq blc(rc)(avs4alco1(f(xy,2)e