空間點線面的位置關系及公理

1、第八章立體幾何與空間向量8.3空間圖形的基本關系與公理基礎知識自主學習知識梳理四個公理公理：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線上所有的點都在這個平面內(即直線在平面內.公理：經(jīng)過丕在同一釜直級上的三點，有且只有一個平面(即可以確定一個平面.公理：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們直且區(qū)直一釜通過這個點的公共直線.公理：平行于同一條直線的兩條直線壬伍直線與直線的位置關系(1)位置關系的分類I異面直線：不同在任何一個平面內，沒有公共點(2)異面直線所成的角定義：過空間任意一點P分別引兩條異面直線a,b的平行線l,l(a/1,b/1,這兩條相交直線所成的銳角(或直角叫作異面直線a

2、,b所成的角(或夾角.范圍：(，一.直線與平面的位置關系有直線在平面內、直線與平面相交、直線與平面平行三種情況.平面與平面的位置關系有包、相交兩種情況.等角定理空間中，如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補.【知識拓展】.唯一性定理(1)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行.(2)過直線外一點有且只有一個平面與已知直線垂直(3)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行(4)過平面外一點有且只有一條直線與已知平面垂直2異面直線的判定定理經(jīng)過平面內一點的直線與平面內不經(jīng)過該點的直線互為異面直線判斷下列結論是否正確請在括號中打“J”或“X”如果兩個不重合的平面a,夕有一條公共直

3、線a，就說平面a,夕相交，并記作aA夕=a.兩個平面a,夕有一個公共點A，就說a,夕相交于過A點的任意一條直線.兩個平面ABC與DBC相交于線段BC.(4)經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面()(5)沒有公共點的兩條直線是異面直線()下列命題正確的個數(shù)為()梯形可以確定一個平面；若兩條直線和第三條直線所成的角相等，則這兩條直線平行;兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面；如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合.浙江已知互相垂直的平面a,夕交于直線l.若直線m,n滿足m/a,n夕，貝Um/1.m/n.n_Ll.m_Ln.合肥質檢已知1,m,n為不同的直線，a,尸,?為不同的平面，則下列判斷正

4、確的是.若ma,na，貝Umn若m_La,n尸,a_L,，貝Um_Ln.若aCl尸=1,ma,m,，貝Um1.若aCB=m,aCy=n，1-Lm,1_Ln，貝U1_La4.教材改編如圖所示，已知在長方體ABCDEFGH中，AB=,AD=,AE=，則BC和EG所成角的大小是,角的大小是,AE和BG所成角的大小是.如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面a上，且ABCD，則直線EF與正方體的六個面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為題型一平面基本性質的應用已知直線a，b分別在兩個不同的平面a，,內，則“直線a和直線b相交”是“平面a和平面夕相交”的.充分不必要條件.必要不充分條件.充要條件.既不充分也不

5、必要條件已知空間四邊形ABCD如圖所示，E、F分別是AB、AD的中點，G、H分別是BC、CD上的點，且CG=一BC,CH=-DC求證：E、F、G、H四點共面；三直線FH、EG、AC共點.跟蹤訓練1如圖，平面/5瓦，平面四邊形斤與四邊形/5S都是直角梯形，/BAD=/E4B=,BCAD且BC=AD,BEAF且BE=一AF,G、H分別為FA、FD的中點.證明：四邊形BCHG是平行四邊形；C、D、F、E四點是否共面？為什么？題型二判斷空間兩直線的位置關系例2（）（2廣東）若直線/和/2是異面直線，/在平面a內，12在平面夕內，l是平面a與平面夕的交線，則下列命題正確的是（）.1與1，12都不相交.1

6、與1，12都相交.1至多與1,12中的一條相交.1至少與1,12中的一條相交（2）如圖，在正方體ABCD-ABCD中，M,N分別是BC,CD的中點，則下列判斷錯誤的是（）.MN與CC垂直.MN與AC垂直.MN與BD平行.MN與AB平行（）在圖中，G、N、M、H分別是正三棱柱（兩底面為正三角形的直棱柱）的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH、MN是異面直線的圖形有.（填上所有正確答案的序號）（）已知a,b,c為三條不重合的直線，有下列結論：若a_L6,ac,則6c；若a_L6,TOC o 1-5 h za.Lc,則6_Lc；若。6,bc,則a_Lc其中正確的個數(shù)為（）.2.（2）（2南昌一模）已知

7、a、b、c是相異直線，a、夕、?是相異平面，則下列命題中正確的是（）.a與b異面，b與c異面na與c異面.a與b相交，b與c相交na與c相交.a/夕,夕yna/y.a/a,b/夕,a與夕相交na與b相交題型三求兩條異面直線所成的角例（2重慶模擬）如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，則異面直線跟蹤訓練3AP與BD跟蹤訓練3已知正四面體/5S中，是的中點，則異面直線。片與5。所成角的余弦值為（）思想與方法系列.構造模型判斷空間線面位置關系典例已知m,n是兩條不同的直線，,夕為兩個不同的平面，有下列四個命題：若m_La,n_Lq,m_Ln，貝lja_L,；若m/a,n/

8、6,m_Ln，貝lja/6；若m_La,n夕,m_Ln，貝lja,；若m_La,n夕,a夕，貝ljm_Ln其中所有正確的命題是課時作業(yè).設a,b是兩條不同的直線，a,夕是兩個不同的平面，aa,b夕，則a夕”是ab的.充分不必要條件.必要不充分條件.充要條件.既不充分也不必要條件.在三棱柱ABCABC中，E、F分別為棱AA、CC的中點，則在空間中與直線AB、EF、BC都相交的直線.不存在.有且只有兩條.有且只有三條.有無數(shù)條.對于任意的直線l與平面a,在平面a內必有直線m，使m與l.平行.相交.垂直.互為異面直線.在四面體ABCD的棱AB,BC,CD,DA上分別取E,F,G,H四點，如果EF與H

9、G交于點M,則U.M一定在直線AC上.M一定在直線BD上.M可能在AC上，也可能在BD上.M既不在AC上，也不在BD上.四棱錐PABCD的所有側棱長都為小,底面ABCD是邊長為的正方形，則CD與PA所成角的余弦值為.下列命題中，正確的是.若a,b是兩條直線，a,夕是兩個平面，且aa,b夕，則a,b是異面直線.若a,b是兩條直線，且ab，則直線a平行于經(jīng)過直線b的所有平面.若直線a與平面a不平行，則此直線與平面內的所有直線都不平行.若直線a平面a，點P金a，則平面a內經(jīng)過點P且與直線a平行的直線有且只有一條TOC o 1-5 h z.南昌高三期末如圖，在直三棱柱ABCABC中，底面為直角三角形.

10、NACB=,AC=,BC=CC=5r,P是BC上一動點，則CP+PA的最小值為如圖是正四面體各面均為正三角形的平面展開圖，G、H、M、N分別為DE、BE、EF、EC的中點，在這個正四面體中，GH與EF平行；BD與MN為異面直線；GH與MN成角；DE與MN垂直.以上四個命題中，正確命題的序號是.浙江如圖，三棱錐ABCD中，AB=AC=BD=CD=,AD=BC=,點M,N分別是AD,BC的中點，則異面直線AN,CM所成的角的余弦值是*鄭州質檢如圖，矩形中,/5=AD,E為邊AB的中點，將沿直線。翻折成/DE若M為線段的中點，則在翻折過程中，下面四個命題中不正確的是BM是定值；點M在某個球面上運動；存在某個位置，使DEAC；存在某個位置，使MB