離心率的五種求法

1、離心率的五種求法離心率是圓錐曲線中的一個重要的幾何性質(zhì)，在高考中頻繁出現(xiàn)橢圓的離心率0 e 1，拋物線的離心率e = 1.一、直接求出a,c,求解e已知標(biāo)準(zhǔn)方程或a,c易求時，可利用離心率公式e = c來求解。a例1.過雙曲線C： X2四=1（b 0）的左頂點A作斜率為1的直線l，若l與雙曲線M的 b2兩條漸近線分別相交于點B、C，且| AB| = |BC|，則雙曲線M的離心率是（）A. v10 B. 0, b 0）的一條漸近線方程為 -4 X，則雙曲線的 a 2 b 23離心率為（）A. 5 B. 4 C. 5 D.。3342分析：本題已知b = 4，不能直接求出a、C，可用整體代入套用公式

2、。 a 3山、，斗，一、，一 、，4，解：因為雙曲線的一條漸近線方程為2 = 3x，所以b=4，則3a 3e - = 1 + （3）2 - 3，從而選 A。X 22 21.設(shè)雙曲線一-： = 1 （a0,b0）的漸近線與拋物線y - X2 +1相切，則該雙曲線的離 a 2 b 2心率等于（C ）B.2解由題雙曲線三-苔=i（a。，b）的一條漸近線方程為,=bx，代入拋物線方程整理得ax2 -bx + a = 0，因漸近線與拋物線相切，所以b2 -物2 = 0，即b b 2 =4 . . e a 2x 2 y 22.過雙曲線方-F1（a b 0）的右頂點A作斜率為T的直線該直線與雙曲線的兩條漸近

3、線的交點分別為B, C .若ab =1BC，則雙曲線的離心率是（）2【解析】對于A （【解析】對于A （a,0 ）,則直線方程為x + y-a = 0，直線與兩漸近線的交點為B，C，I a + I a + ba + b JC (與 a - baba b，:.e =1 + = 1 + :.e =1 + = b 0）的左焦點F作x軸的垂線交橢圓于點P , F2為右焦點，11D.一31C. 一2b 23b 2 - 小 c，故選B【解析】因為P（一G + ），再由ZF1 PF = 60有斗=2a,即竺=|從而可得，故選B三、構(gòu)造a、C的齊次式，解出e根據(jù)題設(shè)條件，借助a、b、c之間的關(guān)系，構(gòu)造a、c的

4、關(guān)系（特別是齊二次式），進(jìn)而 得到關(guān)于e的一元方程，從而解得離心率e。例3已知橢圓蘭+辛=1（ a b0）的左焦點為F，右頂點為A，點B在橢圓上，且 a 2 b 2BF x軸，直線AB交y軸于點P .若AP = 2PB，則橢圓的離心率是（）B顯 B顯 D.21C.31D.2【解析】對于橢圓，因為 AP = 2PB，則 OA 2OF,二 a = 2c, . e =【解析】對于橢圓，X 2y 21.設(shè)F和F為雙曲線 = 1（ a 0, b 0）的兩個焦點，若F，F(xiàn) , P （0,2 b）是正三12a 2 b 212角形的三個頂點，則雙曲線的離心率為（）A.B. 2D. 3【解析】兀 -由tan 6

5、 2bC A.B. 2D. 3【解析】兀 -由tan 6 2bC = 3有3c2 4b2 4(c2 a2)，則 e = - 2，故選 B.2b 32雙曲線虛軸的一個端點為M，兩個焦點為F、F , ZFMF = 1200，則雙曲線的 1212離心率為（）A 0,b 0）， a 2 b2則一個焦點為F（c,0）, B（0,b）一條漸近線斜率為：b一條漸近線斜率為：b，直線FB的斜率為:a. b (- b) = -1，b2 = ac ac/ cc 2 一 a 2 一 ac = 0，解得 e = a5.設(shè)橢圓的兩個焦點分別為F1、F2，過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P，若F1PF2 為等腰直角三角形

6、，則橢圓的離心率是（D ）1A. *B. .-1C. 2 一克 D. 0, b 0）的左、右焦點分別是F，%，過作傾斜角為30的直線交雙曲線右支于M點，若忤垂直于x軸，則雙曲線的離心率為（B ）A.柜 B.寸3C.技 D.技3X 2 V 2設(shè)F，F(xiàn)分別是雙曲線- 的左、右焦點，若雙曲線上存在點A，/FAF = 9012a 2 b 21 2且|AF| = 3|AF|，則雙曲線的離心率為（B ） 0,b 0 ）的兩個焦點，A和B是 L以0為圓心，以O(shè)F為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點，且速AB是等邊三 角形，則雙曲線的離心率為（6.解析：連接AF1，匕AF2F1=30 , |AF1|=c , |

7、AF2|f 3c，二 2a = (“3- 1)c , TOC o 1-5 h z 雙曲線的離心率為1 +，選D。設(shè)F1、F2分別是橢圓三+ bl = 1 （ a b 0 ）的左、右焦點，P是其右準(zhǔn)線上縱 坐標(biāo)為口c（ c為半焦距）的點，且k： |=|F2p，則橢圓的離心率是（）A q-1 B 1 C 非-1 D 皂2222設(shè)雙曲線2 - bl = 1 （ 0 a b ）的半焦距為c，直線L過（a,0），G,b）兩點.已 知原點到直線的距離為笠c，則雙曲線的離心率為（）4A. 2B. v3C.氣D.樊33解：由已知，直線L的方程為bx + ay - ab = 0，由點到直線的距離公式，得ab3=

8、c，a 2 + b 24又c2 = a2 + b2，二 4ab = 0c2，兩邊平方，得 16a2 （2 - a2 ）= 3c4，整理得3e 4 - 16e 2 +16 = 0，缶 zLz c 4c2 a2 + b2 1 b2得 e 2 = 4 或 e 2 = 3，又 0 a 2，二 e 2 = 4，二e = 2，故選A11.知F、F是雙曲線三-22 = 1（ a 0,b 0 ）的兩焦點，以線段FF為邊作正三角12a 2b 21 2形MFi F2，若邊MFi的中點在雙曲線上，則雙曲線的離心率是（）A. 4 + 2、的B. v 3 -1 C.十1D.再 +1=芋，即 P( -1,-解：如圖，設(shè)=

9、芋，即 P( -1,-ZOF P = 600, PF = c,.七=把P點坐標(biāo)代人雙曲線方程，有竺-3C2 = 1 ， 4a 24b 2化簡得e4 - 8e2 + 4 = 0解得e = 1+招或。= （舍），故選D四第二定義法由圓錐曲線的統(tǒng)一定義（或稱第二定義）知離心率e是動點到焦點的距離與相應(yīng) 準(zhǔn)線的距離比，特別適用于條件含有焦半徑的圓錐曲線問題。例4：設(shè)橢圓 -三=1 （ a 0, b 0 ）的右焦點為F1，右準(zhǔn)線為 于x軸的弦的長等于點F1到的距離，則橢圓的離心率 于x軸的弦,解：如圖所示，AB是過于x軸的弦,1v AD 1 L于D ,. AD |為F1到準(zhǔn)線的距離，根據(jù)橢圓的第二定義,

10、AF| 2 AB 11-=AD AD 21.在給定橢圓中，過焦點且垂直于長軸的弦長為5，焦點到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1,則該 橢圓的離心率為三）-v2A 氣2 B 2|AF | |AF | x/2 2 0, b 0 )的右焦點為F，若過點F且傾斜角為600 的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是() A 1,2B G,2)C2,+8)D G,+3)兩條準(zhǔn)線與尤軸的交點分別為2 .橢圓蘭+ b2 = 1 ( a b 0 )的焦點為匕、兩條準(zhǔn)線與尤軸的交點分別為22M、N，若MN 2|FF2I 0,b 0)的右焦點為F，若過點F且傾斜角為60o的直線與雙a 2 b 2曲線的右支有且只有一個交點，則該直線的斜率的絕對值小于等于漸近線的斜率侖,a a，離心率 e2= OL = Ob N4 ,. e2,選 C橢圓三+ y = 1(a b 0)的焦點為F1 , F2，兩條準(zhǔn)線與x軸的交點分別為 TOC o 1-5 h z M, N，若IMN1= 2竺,I FF 1= 2c , MN 2IFF I，則四 U，選 D2 已知F、F是橢圓的兩個焦點，滿足MF - MF = 0的點m總在橢圓