簡明電路分析基礎(chǔ)第八章

1、簡明電路分析基礎(chǔ)第八章第1頁，共55頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)6分，星期二1.二階電路： 變量用二階微分方程描述的電路； 從結(jié)構(gòu)上看，含有兩個(gè)獨(dú)立初始狀態(tài)動(dòng)態(tài)元件的電路。2.二階電路的分析方法： 根據(jù)兩類約束，列寫二階電路微分方程； 求特征方程的根，即固有頻率； 根據(jù)根的性質(zhì)確定解答形式（公式）。 初始狀態(tài)求解與一階電路方法相同。引 言第2頁，共55頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)6分，星期二8-1 LC電路中的正弦振蕩一、已知uC(0) = 1V，iL(0) = 0，L = 1H，C = 1F，求uC，iL。CLiLuC+_得到二階微分方程：解答形式：儲(chǔ)能：解：圖8-1 LC振蕩回路第

2、3頁，共55頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)6分，星期二二、LC 振蕩電路波形t1t1t2t2t3t3t4t4t5t5t6t6t7t7t8t8t9t9t10t10t11t11t12t12TTuC(t)iL(t)U0U0ooImImttt1t1t2t2t3t3t4t4t5t5t6t6t7t7t8t8t9t9t10t10t11t11t12t12 圖8-2 LC 振蕩電路波形第4頁，共55頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)6分，星期二三、 LC 振蕩電路的物理過程1、0,1/4T : C放電，L充電，電場能向磁場能轉(zhuǎn)化；2、1/4T,1/2T：L放電，C反向充電，磁場能向電能轉(zhuǎn)化；3、1/2T,3/4

3、T：C放電，L反向充電，電場能向磁場能轉(zhuǎn)化；4、3/4T,T ：L放電，C充電，磁場能向電場能轉(zhuǎn)化。第5頁，共55頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)6分，星期二 純LC電路，儲(chǔ)能在電場和磁場之間往返轉(zhuǎn)移，產(chǎn)生振蕩的電壓和電流。振蕩是等幅的，等副振蕩是按正弦方式隨時(shí)間變化的。四、結(jié)論想一想：若回路中含有電阻，還是等幅振蕩嗎？第6頁，共55頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)6分，星期二82 RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)一、RLC串聯(lián)電路的微分方程 圖8-3 RLC串聯(lián)二階電路 為了得到圖8-3所示RLC串聯(lián)電路的微分方程，先列出KVL方程第7頁，共55頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)6分，星期二 根據(jù)前

4、述方程得到以下微分方程 這是一個(gè)常系數(shù)非齊次線性二階微分方程。 其特征方程為 其特征根為 零輸入響應(yīng)方程為 第8頁，共55頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)6分，星期二 電路微分方程的特征根，稱為電路的固有頻率。當(dāng)R，L，C的量值不同時(shí)，特征根可能出現(xiàn)以下三種情況 1. 時(shí)， 為不相等的實(shí)根。過阻尼情況。 2. 時(shí)， 為兩個(gè)相等的實(shí)根。臨界阻尼情況。 3. 時(shí)， 為共軛復(fù)數(shù)根。欠阻尼情況。第9頁，共55頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)6分，星期二二、過阻尼情況 當(dāng) 時(shí)，電路的固有頻率s1，s2為兩個(gè)不相同的實(shí)數(shù)，齊次微分方程的解答具有下面的形式 式中的兩個(gè)常數(shù)K1，K2由初始條件iL(0)和uc

5、(0) 確定。 對式(95)求導(dǎo)，再令t=0得到 第10頁，共55頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)6分，星期二 求解以上兩個(gè)方程，可以得到 由此得到電容電壓的零輸入響應(yīng)，再利用KCL方程和電容的VCR可以得到電感電流的零輸入響應(yīng)。 第11頁，共55頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)6分，星期二例8-1 電路如圖8-4所示，已知R=3,L=0.5H, C=0.25F, uC(0)=2V, iL(0)=1A，求電容電壓和電感電流的零輸 入響應(yīng)。解：將R，L，C的量值代入特征根表達(dá)式，計(jì)算出固有頻率圖84 RLC串聯(lián)二階電路第12頁，共55頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)6分，星期二 將固有頻率s1=

6、-2和s2=-4代入式（85）得到 利用電容電壓的初始值uC(0)=2V和電感電流的初始值iL(0)=1A得到以下兩個(gè)方程： K1=6K2=-4 最后得到電容電壓的零輸入響應(yīng)為 第13頁，共55頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)6分，星期二 利用KCL和電容的VCR方程得到電感電流的零輸入響應(yīng) 從圖示電容電壓和電感電流的波形曲線，可以看出電路各元件的能量交換過程。第14頁，共55頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)6分，星期二二、臨界情況 當(dāng) 時(shí)，電路的固有頻率s1, s2為兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)s1=s2=s 。齊次微分方程的解答具有下面的形式 式中的兩個(gè)常數(shù)K1，K2由初始條件iL(0)和uC(0) 確

7、定。令式(8-5)中的t=0得到 第15頁，共55頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)6分，星期二 聯(lián)立求解以上兩個(gè)方程，可以得到 將 K1, K2的計(jì)算結(jié)果，代入式（88）得到電容電壓的零輸入響應(yīng)，再利用KCL方程和電容的VCR可以得到電感電流的零輸入響應(yīng)。 對式(85)求導(dǎo)，再令得到 第16頁，共55頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)6分，星期二例8-2 電路如圖8-5所示。已知已知R=1 ，L=0.25 H， C=1 F，uC(0)=-1V，iL(0)=0，求電容電壓和電感電 流的零輸入響應(yīng)。解：將R，L，C的量值代入式(8-4)計(jì)算出固有頻率的數(shù)值圖85 RLC串聯(lián)二階電路第17頁，共55頁

8、，2022年，5月20日，6點(diǎn)6分，星期二 利用電容電壓的初始值uC(0)=-1V和電感電流的初始值iL(0)=0得到以下兩個(gè)方程 將兩個(gè)相等的固有頻率s1=s2=-2 代入式（88）得到 第18頁，共55頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)6分，星期二 得到電感電流的零輸入響應(yīng) 求解以上兩個(gè)方程得到常數(shù)K1=-1和K2=-2，得到電容電壓的零輸入響應(yīng) 第19頁，共55頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)6分，星期二 根據(jù)以上兩個(gè)表達(dá)式用計(jì)算機(jī)程序DNAP畫出的波形曲線，如圖86所示。 (a) 電容電壓的波形 (b) 電感電流的波形圖86 臨界阻尼情況 第20頁，共55頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)

9、6分，星期二三、欠阻尼情況 當(dāng) 時(shí)，電路的固有頻率s1，s2為為兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)根，它們可以表示為 其中 第21頁，共55頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)6分，星期二 齊次微分方程的解答具有下面的形式 式中 由初始條件iL(0)和uC(0)確定常數(shù)K1，K2后，得到電容電壓的零輸入響應(yīng)，再利用KCL和VCR方程得到電感電流的零輸入響應(yīng)。 第22頁，共55頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)6分，星期二例8-3 電路如圖8-7所示。已知R=6, L=1H, C=0.04F, uC(0)=3V，iL(0)=0.28A，求電容電壓和電感電流的 零輸入響應(yīng)。解：將R，L，C的量值代入式(8-4)計(jì)算出固有頻率

10、的數(shù)值圖87 RLC串聯(lián)二階電路第23頁，共55頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)6分，星期二 利用電容電壓的初始值uC(0)=3V和電感電流的初始值iL(0)=0.28A得到以下兩個(gè)方程 求解以上兩個(gè)方程得到常數(shù)K1=3和K2=4，得到電容電壓和電感電流的零輸入響應(yīng): 將兩個(gè)不相等的固有頻率 s1=-3+j4 和 s2=-3-j4 代入式（811）得到 第24頁，共55頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)6分，星期二 用計(jì)算機(jī)程序畫出的波形曲線，如圖88所示 (a) 衰減系數(shù)為3的電容電壓的波形 (b) 衰減系數(shù)為3的電感電流的波形(c) 衰減系數(shù)為0.5的電容電壓的波形 (d) 衰減系數(shù)為0.5

11、的電感電流的波形 圖88 欠阻尼情況第25頁，共55頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)6分，星期二 欠阻尼情況的特點(diǎn)是能量在電容與電感之間交換，形成衰減振蕩。電阻越小，單位時(shí)間消耗能量越少，曲線衰減越慢。 當(dāng)例83中電阻由R=6減小到R=1，衰減系數(shù)由3變?yōu)?.5時(shí)，可以看出曲線衰減明顯變慢。 假如電阻等于零，使衰減系數(shù)為零時(shí)，電容電壓和電感電流將形成無衰減的等幅振蕩。 第26頁，共55頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)6分，星期二例8-4 電路如圖8-9所示。已知R=0, L=1H, C=0.04F, uC(0)=3V, iL(0)=0.28A，求電容電壓和電感電流的零 輸入響應(yīng)。解：將R，L，

12、C的量值代入式（84）計(jì)算出固有頻率的 數(shù)值 圖89 RLC串聯(lián)二階電路第27頁，共55頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)6分，星期二 將兩個(gè)不相等的固有頻率s1=j5和s2=-j5代入式（8-11）得到 利用電容電壓的初始值uC(0)=3V和電感電流的初始值iL(0)=0.28A 得到以下兩個(gè)方程 求解以上兩個(gè)方程得到常數(shù)K1=3和K2=1.4，得到電容電壓和電感電流的零輸入響應(yīng): 第28頁，共55頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)6分，星期二 用計(jì)算機(jī)程序畫出的電容電壓和電感電流的波形曲線，如圖810所示。 圖810 無阻尼情況 第29頁，共55頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)6分，星期二 從

13、電容電壓和電感電流的表達(dá)式和波形曲線可見，由于電路中沒有損耗，能量在電容和電感之間交換，總能量不會(huì)減少，形成等振幅振蕩。電容電壓和電感電流的相位差為90，當(dāng)電容電壓為零，電場儲(chǔ)能為零時(shí)，電感電流達(dá)到最大值，全部能量儲(chǔ)存于磁場中；而當(dāng)電感電流為零，磁場儲(chǔ)能為零時(shí)，電容電壓達(dá)到最大值，全部能量儲(chǔ)存于電場中。 從以上分析計(jì)算的結(jié)果可以看出，RLC二階電路的零輸入響應(yīng)的形式與其固有頻率密切相關(guān)，我們將響應(yīng)的幾種情況畫在圖811上。第30頁，共55頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)6分，星期二圖8-11第31頁，共55頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)6分，星期二 由圖811可見： 1. 在過阻尼情況，s1

14、和s2是不相等的負(fù)實(shí)數(shù)，固有頻率出現(xiàn)在s平面上負(fù)實(shí)軸上，響應(yīng)按指數(shù)規(guī)律衰減。 2.在臨界阻尼情況，s1=s2是相等的負(fù)實(shí)數(shù)，固有頻率出現(xiàn)在s平面上負(fù)實(shí)軸上，響應(yīng)按指數(shù)規(guī)律衰減。 3.在欠阻尼情況，s1和s2是共軛復(fù)數(shù)，固有頻率出現(xiàn)在s平面上的左半平面上，響應(yīng)是振幅隨時(shí)間衰減的正弦振蕩，其振幅隨時(shí)間按指數(shù)規(guī)律衰減，衰減系數(shù) 越大，衰減越快。衰減振蕩的角頻率d 越大，振蕩周期越小，振蕩越快。第32頁，共55頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)6分，星期二 圖中按Ke-t畫出的虛線稱為包絡(luò)線，它限定了振幅的變化范圍。 4.在無阻尼情況，s1和s2是共軛虛數(shù)，固有頻率出現(xiàn)在s平面上的虛軸上，衰減系數(shù)為零，

15、振幅不再衰減，形成角頻率為0的等幅振蕩。 顯然，當(dāng)固有頻率的實(shí)部為正時(shí)，響應(yīng)的振幅將隨時(shí)間增加，電路是不穩(wěn)定的。由此可知，當(dāng)一個(gè)電路的全部固有頻率均處于s平面上的左半平面上時(shí)，電路是穩(wěn)定的。 第33頁，共55頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)6分，星期二83 RLC串聯(lián)電路的全響應(yīng) 對于圖示直流激勵(lì)的RLC串聯(lián)電路，當(dāng)uS(t)=US時(shí)，可以得到以下非齊次微分方程 第34頁，共55頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)6分，星期二 電路的全響應(yīng)由對應(yīng)齊次微分方程的通解與微分方程的特解之和組成 微分方程的特解為： 微分方程的通解 與固有頻率有關(guān)，有四種解答第35頁，共55頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)

16、6分，星期二1. 過阻尼2. 臨界阻尼3. 欠阻尼4. 無阻尼K1、K2由初始條件確定四種解答形式的全響應(yīng)：第36頁，共55頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)6分，星期二例8-5 電路如圖所示。已知 R=4，L=1H， C=1/3F， uS(t)=2V，uC(0)=6V，iL(0)=4A。求t0時(shí)，電容電 壓和電感電流的響應(yīng)。解：先計(jì)算固有頻率第37頁，共55頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)6分，星期二 這是兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)根，其通解為 特解為 全響應(yīng)為 利用初始條件得到 第38頁，共55頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)6分，星期二 聯(lián)立求解以上兩個(gè)方程得到 最后得到電容電壓和電感電流的全響應(yīng)

17、第39頁，共55頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)6分，星期二二階電路一般分析步驟：1.列電路方程：根據(jù)兩個(gè)約束，確定未知量。2.由特征方程求特征根;3.根據(jù)根的性質(zhì)確定解答形式：有四種4.由初始條件確定 K1、K2 ：若uC(0)和iL(0)未知，與一階電路求法相同： 畫t = 0- ，0+時(shí)的等效電路，求uC(0+) 和 iL(0+) 5.全響應(yīng)：特解與一階電路求法相同：直流：階躍：第40頁，共55頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)6分，星期二84 RLC并聯(lián)電路的響應(yīng) RLC并聯(lián)電路如上圖所示，為了得到電路的二階微分方程，列出KCL方程 第41頁，共55頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)6分，

18、星期二代入電容，電阻和電感的VCR方程 得到微分方程 這是一個(gè)常系數(shù)非齊次線性二階微分方程。 其特征方程為 由此求解得到特征根 第42頁，共55頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)6分，星期二 當(dāng)電路元件參數(shù)G,L,C的量值不同時(shí)，特征根可能出現(xiàn)以下三種情況： 1. 時(shí)，s1,s2為兩個(gè)不相等的實(shí)根。 2. 時(shí)，s1,s2為兩個(gè)相等的實(shí)根。 3. 時(shí)，s1,s2為共軛復(fù)數(shù)根。 當(dāng)兩個(gè)特征根為不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，稱電路是過阻尼的；當(dāng)兩個(gè)特征根為相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，稱電路是臨界阻尼的；當(dāng)兩個(gè)特征根為共軛復(fù)數(shù)根時(shí)，稱電路是欠阻尼的。第43頁，共55頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)6分，星期二GLC并聯(lián)電路的分

19、析方法完全同RLC串聯(lián)電路。根據(jù)對偶性質(zhì)RLC： uC L C R US RLC二階方程解答GLC： iL C L G IS GLC二階方程解答第44頁，共55頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)6分，星期二例8-7 電路如圖所示，已知G=3S,L=0.25H, C=0.5F, iS(t)=(t)A。求t0時(shí)電感電流和電容電壓的零狀態(tài)響應(yīng)。解：根據(jù)G,L,C 的量值，計(jì)算出固有頻率 第45頁，共55頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)6分，星期二利用電容電壓的初始值uC(0)=0和電感電流的初始iL(0)=0， 得到以下兩個(gè)方程 求得常數(shù)K1=-2,K2=1。最后得到電感電流和電容電壓 這是兩個(gè)不相等

20、的實(shí)根，電感電流的表達(dá)式為 第46頁，共55頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)6分，星期二85 一般二階電路 除了RLC串聯(lián)和并聯(lián)二階電路以外，還有很多由兩個(gè)儲(chǔ)能元件以及一些電阻構(gòu)成的二階電路。本節(jié)討論這些電路的分析方法，關(guān)鍵的問題是如何建立電路的二階微分方程以及確定相應(yīng)的初始條件。第47頁，共55頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)6分，星期二例8-9 如下圖所示電路在開關(guān)轉(zhuǎn)換前已經(jīng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)，已 知uS(t)=6e-3tV，t=0閉合開關(guān)。試求t0時(shí)電容電壓 uC(t)的全響應(yīng)。 解：先求出電容電壓和電感電流的初始值為 由此得到t0的電路如圖(b)所示。第48頁，共55頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)6分，星期二 以電容電壓uC(t)和電感電流iL(t)為變量，列出兩個(gè)網(wǎng)孔的KVL方程 從這兩個(gè)微分方程中消去電感電流iL(t)，可以得到以電容電壓uC(t)為變量的二階微分方程。一種較好的方法是引用微分算子 將以上微分方程變換成代數(shù)方程 第49頁，共55頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)6分，星期二 用克萊姆法則求得 將上式改寫為 最后將微