信號(hào)與系統(tǒng)5.復(fù)頻域分析

1、Yun Liu, Information College, Zhongkai University of Agriculture and Engineering 微分方程的變換解 系統(tǒng)函數(shù)H(s) 系統(tǒng)的s域框圖 用拉氏變換法分析電路5.4 復(fù)頻域分析一、微分方程的變換解 描述n階系統(tǒng)的微分方程為 系統(tǒng)的初始狀態(tài)為y(0-) ,y(1)(0-),，y(n-1) (0-)。思路：利用微分定理對(duì)微分方程兩邊取拉氏變換。若f (t)在t = 0時(shí)接入系統(tǒng)，則 f (j)(t) s j F(s)s域的代數(shù)方程時(shí)域的微分方程例1 描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為 y(t) + 5y(t) + 6y(t) =

2、 2f (t)+ 6 f (t)已知初始狀態(tài)y(0-) = 1，y(0-)= -1，激勵(lì)f (t) = 5cost(t)，求系統(tǒng)的全響應(yīng)y(t)和yzi(t) 、yzs(t)。解： 方程取拉氏變換整理得：Yzi(s)Yzs(s)y(t)= 2e2t (t) e3t (t) - 4e2t (t) + yzi(t)yzs (t)暫態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量二、系統(tǒng)函數(shù)H(s)即yzs(t)= h(t)*f (t)= L h(t)Yzs(s)= L h(t)F(s)系統(tǒng)函數(shù)H(s) 例2 已知當(dāng)輸入f (t)= e-t(t)時(shí)，某LTI因果系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) yzs(t) = (3e-t -4e-2t + e-3

3、t)(t)求該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和描述該系統(tǒng)的微分方程。 解：h(t)= (4e-2t -2e-3t) (t)微分方程為 y(t)+5y(t)+6y(t) = 2f (t)+ 8f (t) s2Yzs(s) + 5sYzs(s) + 6Yzs(s) = 2sF(s)+ 8F(s) 三、系統(tǒng)的s域框圖時(shí)域框圖基本單元f(t)af(t)y(t) = a f (t)s域框圖基本單元(零狀態(tài))s1F(s)Y(s) = s1F(s)aF(s)Y(s) = a F(s)f1(t)f2(t)y(t) = f1(t)+ f2(t)+F1(s)Y(s) = F1(s)+F2(s)F2(s)+例3 已知時(shí)域框圖，列出

4、微分方程s2X(s)sX(s)X(s)解 畫(huà)出s域框圖,s-1s-1F(s)Y(s)設(shè)最右邊積分器輸出為X(s)s2X(s) = F(s) 3sX(s) 2X(s) s域的代數(shù)方程Y(s) = 4X(s) + s2X(s) 微分方程為 y(t) + 3y(t) + 2y(t) = f (t)+ 4f (t) 四、電路的s域模型1、電阻元件的s域模型U(s)= R I(s)u(t)= R i(t)電阻元件的s域模型2、電感元件的s域模型U(s)= sLIL(s) LiL(0-) 3、電容元件的s域模型I(s)=sCUC(s) CuC(0-) 4、s域KCL、KVL方程例如圖所示電路，已知uS(t) = (t) V，iS(t) =(t)，起始狀態(tài)uC(0-) =1V，iL(0-) = 2A，求電壓u(t)。 解 畫(huà)出電路的s域模型Us(s)=1/s， Is(s)=1u(t) = et(t) 3tet(t) V 小結(jié)：用拉氏變換法求電路響應(yīng)的步驟由0-等效電路，確定初始狀態(tài)量uc(0-)、iL(0-) ；畫(huà)s域等效電路；列s域方程（代數(shù)方程）；解s域方程，求出響應(yīng)