非線性期望理論及金融場(chǎng)不確定性

1、非線性期望理論及金融市場(chǎng)不確定性本文主要研究了非線性期望理論及金融市場(chǎng)中的不確定性問(wèn)題。文章共有四章,前兩章主要是理論性研究,第一章深入研究了非線性期望乘積空間理論,研究 了非線性期望下乘積空間的正則性問(wèn)題以及非線性期望下獨(dú)立增量過(guò)程的乘積 空間問(wèn)題，是對(duì)非線性期望理論的完善和補(bǔ)充。第二章研究了倒向隨機(jī)微分方程最優(yōu)控制問(wèn)題及資產(chǎn)定價(jià)問(wèn)題。后兩章主要是應(yīng)用性研究，深入研究了金融市場(chǎng)中的不確定性及非線性期望在金融市場(chǎng)中的 應(yīng)用。第三章介紹了非線性期望資產(chǎn)定價(jià)理論，并利用非線性期望理論改進(jìn)了目前 國(guó)際上最通用的SPAN呆證金系統(tǒng),改進(jìn)SPAN算原理,得到了均值-方差不確定 性下的SPAN呆證金系統(tǒng)，

2、可以更為快捷、準(zhǔn)確、穩(wěn)健的度量風(fēng)險(xiǎn)。并用 S&P500 指數(shù)期權(quán)數(shù)據(jù)進(jìn)行了實(shí)證檢驗(yàn)。第四章深入探討了金融市場(chǎng)中的不確定性，說(shuō)明了金融數(shù)據(jù)的分布不確定性 和描述參數(shù)不確定性在金融市場(chǎng)中客觀存在。 深入研究了均值不確定性和方差不 確定性在金融市場(chǎng)中的具體表現(xiàn)、估計(jì)方法，并利用均值不確定性構(gòu)建了投資策 略。本章主各章節(jié)主要內(nèi)容如下:（一）非線性期望下的乘積空間本章研究非線性期望下 的乘積空間理論，主要針對(duì)非線性（resp.次線性）期望下乘積空間的正則性及獨(dú) 立增量過(guò)程的乘積空間問(wèn)題進(jìn)行深入探討，完善了非線性期望乘積空間理論并彌 補(bǔ)了之前理論中的不足。本章的結(jié)果主要出自:Gao Q,Hu M,Ji X

3、,Liu G.Product space for two processes with indepen-dent increments under nonlinear expectations.Electronic Communications in Probability 22(2017). 要有以下兩部分內(nèi)容：1.非線性(resp.次線性)期望下乘積空間的正則性：正則性 是概率論中很重要的概念，一般情況下，次線性期望空間并不滿足正則性，而G期 望空間滿足正則性(2),彭實(shí)戈院士在10中給出了乘積空間的定義，但是在定 義中并未提及正則性，因此一個(gè)自然而然的問(wèn)題就是，對(duì)于給定的正則次線性期 望

4、空間，其乘積空間是否依然滿足正則性。本章主為解決這個(gè)問(wèn)題，首先研究?jī)蓚€(gè)正則次線性期望乘積空間的正則性，通過(guò)將經(jīng)典的有限乘積概率空間構(gòu)造推廣到次線性期望情形，可以得知兩個(gè)正則次線性 期望空間的乘積空間仍保持正則性，并進(jìn)一步推廣到有限維的情形，得到如下結(jié) 論：給定有限個(gè)正則次線性期望空間(Q i,Hi,(?)_i),i = 1,2,.n,則其乘積空問(wèn)()也是正則次線性期望空間。再通過(guò)反證法，可將結(jié)論推廣到可列次線性期望 空間。進(jìn)一步研究次線性期望下完備乘積空間是否保持正則性，這種情況下問(wèn)題較 為復(fù)雜，本文在完備可分的距離空間下，證明了概率表示族是弱緊的及隨機(jī)變量 的逼近性質(zhì)，最終得到了次線性期望下

5、的完備乘積空間仍保持正則性，整體思路如下：給定正則次線性期望空間(Qi,Hi,(?)_i),i=1,2,.,n 其乘積空間記為 (),記()為()的完備化空間。則可以證明()也是正則次線性期望空間,)且存在() 上的一族弱緊概率族Pi使得由此可給出有限個(gè)正則次線性期望空間的完備乘積 空間問(wèn)題的證明?；谟邢迋€(gè)情形的結(jié)論和隨機(jī)變量的逼近性質(zhì)，進(jìn)一步可得如下結(jié)論：給定 一列正則次線性期望空間(Q i,Hi,(?)_i),i1,其中(Q i, pi為完備可分距離空間,Hi=Cb.Lip( Qi)。記0 =，則(Q ,L ( Q ),E為正則次線性期望空間，且滿足 Cb(Q)(?)L (Q),其中(Q

6、,L /( Q),1)為(Q ,H,E)的完備化空間。2,非線性(resp.次線性)期望下獨(dú)立增量過(guò)程的乘積空間接下來(lái)研究非線性 (resp.次線性)期望空間中獨(dú)立增量過(guò)程的乘積空間問(wèn)題，即對(duì)于給定的兩個(gè)d- 維獨(dú)立增量過(guò)程，是否存在一個(gè)非線性期望空間，及一個(gè)定義在空間上的2d-維 的獨(dú)立增量過(guò)程，使得其前d-維與后d-維過(guò)程分別同分布于先前給定的兩個(gè)獨(dú) 立增量過(guò)程。這是彭院士 10中的乘積空間方法無(wú)法解決的。本文通過(guò)離散化的方法，利用胎緊的性質(zhì)，提出一種全新的構(gòu)建思路，研究有 限維、可列維和不可列維獨(dú)立增量過(guò)程的乘積空間問(wèn)題。有限維獨(dú)立增量過(guò)程的 乘積空間的主要定理如下：定理0.1.令(Mt

7、)t 0和(Nt)t 0是兩個(gè)分別定義在 非線性(resp,次線性)空間(Q1,H1,E1)和(Q2,H2,E2)上的d-維獨(dú)立增量過(guò)程， 滿足假設(shè)(A)。則存在定義在非線性(resp,次線性)空間(Q,H,E)上的2d-維獨(dú)立增量過(guò)程 (Mt,Nt)t 0滿足:(?)進(jìn)一步，如果(Mt)t 0和(Nt)t 0是兩個(gè)平穩(wěn)獨(dú)立增量過(guò) 程，則(Mt,Nt)t 0也是一個(gè)平穩(wěn)獨(dú)立增量過(guò)程。非線性情形與次線性情形相似， 因此本文只討論次線性情形，非線性情形同理可證。進(jìn)一步可知，只需要證明t 0,1的情形即可。在稠密的有限點(diǎn)集 Dn=i2-n:0 i 0 2n上構(gòu)造符合要求的次線性期望空間(Q,Hn,E

8、n):如下定義 Hn:記 6 n = 2-n,(?) 如下定義 En:Hn- R:Step 1.對(duì)于給定的小 C Cb.Lip(R2d), 滿足對(duì) i 02n,小(Xi 6 n-X(i-1) 6 n)=小(Mi 6 n-M(i-1) 6 n,Ni 6 n-N(i-1) 6 n) Hn定義 En小(Xi 6 n-X(i-1) 6 n)=E1巾(Mi 6 n-M(i-1) 6 n),其中也 (x)=E2(|)(x,Ni 6n-N(i-1) 6 n),(?)x Rd Step 2,對(duì)給定的小(X 6 n,X2 6 n-X6 n,.,X2n6 n-X(2n-1) 6 n) C Hn,小 C Cb.Li

9、p(R2n 乂 2d),定義 En小(X 6 n,X26 n-X 6 n,.,X2n6 n-X(2n-1) 6 n)=6 0，其中小 0=En6 1(X 6 n),引理 0.1.按上述方法定義(Q,Hn,En),那么(1)( Q Hn,En)構(gòu)成一次線性期望空間;(2)對(duì) 每個(gè) 10i &2n,Xi 6 n-X(i-1) 6 n 獨(dú)立于(X 6 n,.,X(i-1)6 n-X(i-2) 6n);(3)(?)(?) 由此可知在稠密的有限點(diǎn)集 Dn= i2-n:0 i 1,有Hn(?)Hn+1.令(?)，易見(jiàn)(?) 為H的一個(gè)子空間，使得對(duì)每一個(gè)小C Cb.Lip(Rm)滿足：若Y1,.,ym (

10、?),則有小(Y1,.,Ym) (?) 0下面，我們希望定義一個(gè)次線性期望E:(?) -R。然而，在Hn上En+1 豐En ,這是因?yàn)樵诖尉€性期望下獨(dú)立性的順序是不可交換的。不過(guò)，通過(guò)下面的胎緊性引理，仍可以構(gòu)造E:引理0.2.對(duì)每一個(gè)固定的n 1,令Fkn, k n,為在Ek下的分布.從而Fkn:k n是胎緊的.用這一引 理來(lái)構(gòu)造次線性期望 E:(?) - R.可得如下引理：引理0.3.設(shè)P = i2-n:n1,0 i R 滿足如下條件:(1)對(duì)每一 列(?);(2)對(duì)每一列(?)且(?).通過(guò)以上引理，最終完成了定理0.1的證明。進(jìn)一 步研究無(wú)窮個(gè)獨(dú)立增量過(guò)程的乘積空間問(wèn)題。首先，利用相容

11、性構(gòu)造非線性(resp.次線性)期望，結(jié)合對(duì)角線法則，將結(jié)論 推廣到可列個(gè)獨(dú)立增量過(guò)程的乘積空間中，主要定理如下：定理0.2.令(Mti)t 0,i 1是定義在非線性(resp.次線性)期望空間(Q i,Hi,(?)J),i1上滿足假設(shè)的至多可列維獨(dú)立增量過(guò)程，則存在非線性(resp.次線性)期望空間 (Q,H,E)及定義在其上的可列維獨(dú)立增量過(guò)程 (Mt1,Mt2,.,Mti,)t 0滿足:(?)進(jìn)一步，如果(Mti)t 0,i 1是至多可列維平穩(wěn)獨(dú)立增量過(guò)程，則同理 可得(Mt1,Mt2,Mii,)t 0也是可列維平穩(wěn)獨(dú)立增量過(guò)程。進(jìn)一步推廣到不可列個(gè)獨(dú)立增量過(guò)程的乘積空間問(wèn)題，注意到對(duì)角

12、線法則方法在不可列個(gè)獨(dú)立增 量過(guò)程的乘積空間問(wèn)題上并不適用，因此無(wú)法利用之前的方法得到想用的結(jié)論。因此我們定義上獨(dú)立增量過(guò)程，并進(jìn)一步給出不可列維上獨(dú)立增量過(guò)程的定 義:給定非線性（resp.次線性）期望空間（Q,H,E）,X,y分別是其上的m濰和n-維 隨機(jī)向量，稱Y上獨(dú)立于X,若對(duì)任給的（?）小 Cb.Lip（RmXn）,都有給定非線性 （resp.次線性）期望空間（Q ,H,E）,（Xt）t0為此空間上的d-維隨機(jī)過(guò)程，若對(duì)（?）,都有Xt+s-Xt上獨(dú)立于（Xt1,.,Xtm）, 則稱（X不）t 0為上獨(dú)立增量過(guò)程。 進(jìn)一步的，若對(duì)（?）t 0還有（?），則稱（Xt）t 0為平穩(wěn)上獨(dú)立

13、增量過(guò)程。設(shè)（Mt入）t 0,入 I是非線性（resp.次線性）期望空間（Q ,H,E）上的一族 隨機(jī)過(guò)程，其中,I為不可列集。如果對(duì) 都有（Mt入1,Mt入2,Mt入n）t 0., 是n-維上獨(dú)立增量過(guò)程，則稱（Mt入）t , X 為不可列上獨(dú)立增量過(guò)程。進(jìn)一步的，若對(duì),n,者B有（Mt入1,Mt入2,.,Mt入n.,）t0是n-維平穩(wěn)上獨(dú)立增量過(guò)程，則稱（Mt入）t 0 J為不可列平穩(wěn)上獨(dú)立增量過(guò)程。給出不 可列個(gè)獨(dú)立增量過(guò)程的乘積空間的主要定理：定理0.3.令（Mt入）t 0,入C I（其 中I為不可列集）是一族定義在非線性（resp.次線性）空間（Q入，H入，E入）上的 不可列個(gè)1-維

14、獨(dú)立增量過(guò)程，滿足:（C1）存在次線性期望E入：H入-R分別控制E 入，入 I;（C2）對(duì)每個(gè)t 0,Mt入的分布在E入下是胎緊的；對(duì)每個(gè)t0,入 I,有（?）則存在一個(gè)非線性（resp.次線性）期望空間（Q,H,E）,及定義在其上的 不可列維上獨(dú)立增量過(guò)程（Mt入，入e I）t 0滿足：進(jìn)一步，如果（At入）t 0,入 I是1-維平穩(wěn)獨(dú)立增量過(guò)程，則（Mt入）t 0,入 I是不可列維平穩(wěn)上獨(dú)立增 量過(guò)程。（二）BSDEM機(jī)控制及不完備市場(chǎng)資產(chǎn)定價(jià)本章主要研究帶有廣義效用泛函的FBSDEI機(jī)控制最大值原理問(wèn)題及不完備市場(chǎng)定價(jià)問(wèn)題。本章的結(jié)果主要出 自：1)Gao Q,Yang S.Maximu

15、m principle for forward-backward SDEs with a general cost functional.International journal ofcontrol(2016):1-7.2)Gao Q,Yang S.Pricing of contingent claims in an incomplete market with finite state stochastic processes in discrete time,Completed Manuscript,1-10.本章主要有以下兩部分內(nèi)容：1.帶有廣義效用泛函的FBSDffi!機(jī)控制最大值原

16、理彭實(shí)戈院士(53,29)第一次介紹了由倒向隨機(jī)微分方程或正倒向隨機(jī)微分方程驅(qū)動(dòng)的最優(yōu)控制問(wèn)題，并得到了很多研究者的進(jìn)一步推廣，如 Xu57,Lim and Zhou24,Shi and Wu54 等。在29中，彭院士首次研究了如下正倒向隨機(jī)微分方程系統(tǒng)的隨機(jī)最優(yōu)控制 問(wèn)題:其效用泛函為：事實(shí)上，上述效用泛函中的h( )和丫 (.)可能不僅僅依賴于 終端條件(t=T)和起始條件(t = 0),通常情況下，還會(huì)依賴于全局時(shí)間條件(t 0,T).也就是說(shuō)，效用泛函中h( )和丫 (.)不僅由起始和終端這兩個(gè)特殊時(shí)間 點(diǎn)決定，還依賴于更一般的全局時(shí)間條件。在本文中，我們會(huì)研究帶有如下依賴于 全局時(shí)間

17、條件的廣義效用泛函的正倒向隨機(jī)系統(tǒng)的隨機(jī)最大值原理，其中，注意到效用泛函(0.2)是上述廣義效用泛函(0.3)的一個(gè)特殊形式，也就是說(shuō)，廣義效 用泛函(0.3)考慮到了更一般的情況，是對(duì)經(jīng)典隨機(jī)控制問(wèn)題的十分有意義的推 廣，而在本文之前，帶有(0.3)形式廣義效用泛函的控制系統(tǒng)的最大值原理問(wèn)題還 未被認(rèn)真研究。利用Frechet導(dǎo)數(shù)的框架，可以構(gòu)建一系列需要逐步求解的伴隨方程，從而 推導(dǎo)出相應(yīng)的最大值原理。最大的難點(diǎn)在于如何得到對(duì)應(yīng)的伴隨方程。本文利用Riesz表示定理與Frechet導(dǎo)數(shù)的框架相結(jié)合，使Frechet導(dǎo)數(shù)Dxh(x0,弓I)和Dxy (y0,T)可以被相對(duì)應(yīng)的有限測(cè)度2和B描

18、述。 將測(cè)度世和 B分解為連續(xù)部分和跳躍部分，可以構(gòu)建一系列的伴隨方程，并通過(guò)逐步解這些 伴隨方程得到相對(duì)應(yīng)的最大值原理。并且為了更直觀的展示本文研究的帶有廣義效用泛函的隨機(jī)控制系統(tǒng)與經(jīng) 典情況的不同，本章最后通過(guò)簡(jiǎn)單的例子進(jìn)行直觀的展示。本章簡(jiǎn)要過(guò)程如下：令 U為 R上的非空凸子集.記 u = u( ) C M2(R)|u(t) C U,a.e.,a.s.。令u( )是一個(gè)最優(yōu)控制,(x( ),y( ),z( )為對(duì)應(yīng)的軌道，記=u( )+ p u( ),0 p 1,u( )+ w( ) C u,.因?yàn)?u 是凸的，因此 upC u。引入變 分方程，易知變分方程存在唯一解(),“()，工R:

19、H(x,y,z,u,p,k,q,t)= pb(x,u,t)+ k(T (x,u,t)+ qg(x,y,z,u,t)+ f(x,y,z,u,t)相應(yīng)的可以利用漢密爾頓方程改寫(xiě)伴隨方程：因此可以得到主要定理，定理0.4.假設(shè)條件(i)-(iii) 成立，今u( )是一個(gè)最優(yōu)控制并令(x( ),y( ),z( )是相對(duì)應(yīng)的軌道,則有2.不完備市場(chǎng)資產(chǎn) 組合定價(jià)當(dāng)市場(chǎng)完備時(shí)，每一個(gè)衍生品收益都可以被市場(chǎng)中的一個(gè)投資組合復(fù)制 其價(jià)格可以由完備市場(chǎng)無(wú)套利理論得出。而在不完備的市場(chǎng)中的定價(jià)問(wèn)題較為復(fù)雜，本文運(yùn)用隨機(jī)控制的方式來(lái)研究最高價(jià)與最低價(jià)，利用有限時(shí)間有限狀態(tài)過(guò) 程下的廣義Girsanov變換對(duì)未定權(quán)

20、益或期權(quán)定價(jià)。本文的研究是對(duì)35中研究的進(jìn)一步擴(kuò)展。任一概率測(cè)度被稱為一個(gè)P-鞅測(cè)度，如果在FT上等價(jià)于P并且其折現(xiàn)價(jià)格過(guò)程為鞅。我們將所有的P-鞅測(cè)度記作P。需要注意的是，在完備市場(chǎng)中,P = Q,其折 現(xiàn)過(guò)程唯一，存在唯一的自融資策略，定價(jià)可以通過(guò)無(wú)套利原則得出，衍生產(chǎn)品價(jià) 格可以被基礎(chǔ)產(chǎn)品的投資組合復(fù)制。而在不完備市場(chǎng)中，存在多個(gè)P-鞅測(cè)度，因此并不存在唯一的自融資策略， 定價(jià)也難以通過(guò)無(wú)套利推導(dǎo)得出，市場(chǎng)存在多種報(bào)價(jià)(賣方報(bào)價(jià)，買方報(bào)價(jià)),需要 關(guān)注的是市場(chǎng)的最大價(jià)格和最小價(jià)格。在完備市場(chǎng)中，對(duì)于給定的未定權(quán)益U,存在y 0和投資組合策略滿足如下方程其中y是t = 0的無(wú)套利價(jià)格。記M

21、(t)=8(t)+ M(t),則在不完備市場(chǎng)中U存在多種價(jià)格，t = 0,U的最小價(jià) 格(下價(jià)格)為infP PEP(Ud),U的最大價(jià)格(上價(jià)格)為suP PEP(Ud).利用最 優(yōu)控制方法我們可以對(duì)最小最大價(jià)格進(jìn)行動(dòng)態(tài)研究。U在時(shí)刻t的最大可能價(jià)格為J(t尸esssup入 (?)EP入U(xiǎn)d|Ft,其中P人表示所有滿足如下形式的關(guān)于P的Girsanov變換的概率測(cè)度：其中，其具有以下性質(zhì)：定義過(guò)程 f(t):f(t)=A(t)-j(t), 則f(t)是一個(gè)增過(guò)程，可得特別的,t=T時(shí)，有U在時(shí)刻的 最小可能價(jià)格為K(t)= essin fv(?)Epv)Ud|Ft,類似最大價(jià)格的推導(dǎo)可知，存

22、在一個(gè)投資組合過(guò)程小(t)和一個(gè)右連續(xù)減過(guò)程g(t,g(0)=0滿足(三)非線性期 望下的SPAN呆證金本章研究非線性期望理論在保證金計(jì)算中的應(yīng)用。本部分結(jié)果出自：高強(qiáng)，楊淑振等.基于市場(chǎng)復(fù)雜性的新型保證金計(jì)算工具， 第四屆全國(guó)金融期貨與期權(quán)研究大賽獲獎(jiǎng)?wù)撐?(全國(guó)一等獎(jiǎng)),1-46,2014.首先介 紹了保證金制度和國(guó)際主流的保證金計(jì)算系統(tǒng) ，并對(duì)國(guó)際上最成熟通用的保證金 管理系統(tǒng)SPANS行了深入分析，介紹了 SPAN呆證金的計(jì)算原理：其最核心的價(jià) 格偵測(cè)風(fēng)險(xiǎn)模塊基于情景模擬法，預(yù)估未來(lái)標(biāo)的價(jià)格和波動(dòng)率的變化，將未來(lái)市 場(chǎng)劃分為16種可能情形，分別計(jì)算16種情形中的可能損失，取其中的最大值

23、作為 最大預(yù)期損失，以此制定相應(yīng)的保證金標(biāo)準(zhǔn)。此外，SPAN保證金還包括跨月價(jià)差 風(fēng)險(xiǎn)、交割月風(fēng)險(xiǎn)值、商品間價(jià)差折抵、空頭期權(quán)最低風(fēng)險(xiǎn)值等。分析SPAN呆證金的優(yōu)缺點(diǎn)，指出其只計(jì)算了 16種情形，無(wú)法涵蓋未來(lái)市場(chǎng) 的多種可能性，并且理論基礎(chǔ)是Black-Scholes公式，其假設(shè)波動(dòng)率是一個(gè)常數(shù)， 因此不能估計(jì)波動(dòng)率不確定下的風(fēng)險(xiǎn)。進(jìn)一步分析了國(guó)際上其他SPANC進(jìn)系統(tǒng)的改進(jìn)原理并利用S&P500殳指期權(quán)數(shù)據(jù)對(duì)標(biāo)準(zhǔn)SPANS統(tǒng)(SPAN16和改進(jìn)SPAN 系統(tǒng)(SPAN-44和SPAN-93進(jìn)行了實(shí)證分析比較，發(fā)現(xiàn)改進(jìn)的SPAN呆證金系統(tǒng)劃 分了更多種可能情形，在一定程度上更為準(zhǔn)確的度量了風(fēng)險(xiǎn)

24、，但是同時(shí)也加大了 計(jì)算量，并且無(wú)法解決真實(shí)市場(chǎng)中波動(dòng)率不確定性帶來(lái)的風(fēng)險(xiǎn)。接下來(lái)介紹非線性期望理論中的三個(gè)重要分布：最大分布,G-正態(tài)分布和G- 分布，以及對(duì)應(yīng)的三個(gè)重要的隨機(jī)過(guò)程：G-布朗運(yùn)動(dòng)，有界變差G-布朗運(yùn)動(dòng)和廣 義G-布朗運(yùn)動(dòng)，具增量過(guò)程分別服從之前的三種分布，例如G-布朗運(yùn)動(dòng)的增量過(guò) 程服從G-正態(tài)分布。其與金融市場(chǎng)不確定性有著直接的對(duì)應(yīng)關(guān)系，G-正態(tài)分布、G-布朗運(yùn)動(dòng)與方差不確定性(波動(dòng)率不確定性)直接相關(guān),G-正態(tài)分布隨機(jī)變量可表示為(?)，A描述了 X的方差不確定性，在一維情形下,(?),其中,(?)，則方差(波動(dòng)率)不確定性區(qū)間為2, 2最大分布、有界變差G-布朗運(yùn)動(dòng)與均

25、值(收益率)不確定性直接相關(guān)，最大分 布隨機(jī)變量可記為(?)0描述了 Y的均值不確定性程度，在一維情形下,(?),其中, =EX, = =-E-X,均值不確定性區(qū)間為小，以。上面的兩個(gè)分布可以非平凡 地組合為一個(gè)新的分布，即G-分布，其對(duì)應(yīng)廣義G-布朗運(yùn)動(dòng)，與均值-方差不確定 性(收益率-波動(dòng)率不確定性)直接相關(guān)。由止匕，可以給出如下形式的幾何 G-布朗運(yùn)動(dòng):dXs =uXsd s s + o-XsdBs,Xt = x,其中“ t, 0服從最大分布,Bt,t 0服從G-正態(tài)分布，且其終端支付函數(shù) 為(Xr)。定義風(fēng)險(xiǎn)為u(t,Xt):=E-(XT),其中u(t,Xt)為下面偏微分方程的解探討其

26、計(jì)算原理，考慮有界邊值問(wèn)題，通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)的離散格式離散化上述方程給 出上述方程的數(shù)值解法，并可以證明牛頓迭代的收斂性及全隱格式的收斂性。利用非線性期望理論改進(jìn)SPAN呆證金系統(tǒng),給出波動(dòng)率不確定性下的SPAN 保證金計(jì)算方法：假設(shè)標(biāo)的物(股票或者期貨)Xt滿足G-期望下的幾何布朗運(yùn)動(dòng)： 其中Bt,t 0服從G-正態(tài)分布，且E(t21=(t2,E- (t21=-(t2.其終端支付函 數(shù)為(Xr)。定義風(fēng)險(xiǎn)u(t,Xt):=E-(XT),其中u(t,Xt)為下面偏微分方程的解其中6 2=(b+A(T )2,(t2=(t2=A(t)2 o則針對(duì)SPAN寸于標(biāo)的價(jià)格的可能變化情形：給出9種可能的變化，其中

27、,波動(dòng) 率的可能變動(dòng)范圍在區(qū)間(Tt- A (T , (T t+ A6內(nèi)連續(xù)取值。取9種情況的最大 值作為最大預(yù)期風(fēng)險(xiǎn)，將加入波動(dòng)率不確定性的SPAN呆證金稱為G-SPAN-9G-SPAN-9r收取保證金為：其中Pt是t時(shí)期的期權(quán)價(jià)格。同理，可以給出均 值不確定性下的SPANS證金計(jì)算方法和均值-波動(dòng)率不確定性下的SPANS證金。由于篇幅原因，這里只給出均值-波動(dòng)率不確定性下的SPAN呆證金計(jì)算方法：假設(shè)股票價(jià)格滿足下面的隨機(jī)微分方程 dXs = uXsd刀s + o- XsdBs,X= x,其中“ t滿足最大分布，Bt滿足G-正態(tài)分布，且(?)(?)其終端支付函數(shù)為(Xr)。定義 風(fēng)險(xiǎn):u(

28、t,Xt):=E-(XT),其中u(t,Xt)為下面偏微分方程的解 其中(?)(?)因此，同時(shí)引入均值不確定性和波動(dòng)率不確定性，只需計(jì)算一種情形，即可 得到全面涵蓋標(biāo)的價(jià)格和波動(dòng)率連續(xù)變化的風(fēng)險(xiǎn)值：價(jià)格變動(dòng)波動(dòng)率變動(dòng)計(jì)算 比例(?)其中 Ax = PSR, A(T = VSR。此時(shí)G-期望下收取保證金為：pt,T(XT)尸Pt+E-(XT)其中Pt是t時(shí) 期的期權(quán)價(jià)格。只需進(jìn)行一次運(yùn)算，即可得到涵蓋更全面風(fēng)險(xiǎn)的運(yùn)算結(jié)果。利用S&P50Q1權(quán)數(shù)據(jù)進(jìn)彳T實(shí)證分析，可知,利用非線性期望理論改進(jìn)的 G-SPA認(rèn)證金不僅運(yùn)算次數(shù)更少，還更全面的考慮了價(jià)格和波動(dòng)率不確定導(dǎo)致 的風(fēng)險(xiǎn)，是一種準(zhǔn)確快捷穩(wěn)健的保

29、證金計(jì)算方式。(四)金融市場(chǎng)的不確定性金融 市場(chǎng)中的不確定性主要體現(xiàn)有：金融數(shù)據(jù)分布的不確定性；金融數(shù)據(jù)特征描述參 數(shù)的不確定性；金融數(shù)據(jù)的模型不確定性。首先驗(yàn)證金融數(shù)據(jù)分布的不確定性，正態(tài)分布是金融市場(chǎng)中最重要的分布之 一,很多金融研究都以正態(tài)分布假設(shè)為基石。 金融數(shù)據(jù)分析中，常假設(shè)某個(gè)時(shí)間段 內(nèi)的金融數(shù)據(jù)服從同一分布，比如最常見(jiàn)的，假設(shè)資產(chǎn)收益率服從正態(tài)分布，現(xiàn)在 我們選取最能代表金融市場(chǎng)數(shù)據(jù)特征的滬深 300股指和相對(duì)應(yīng)的滬深300股指期 貨數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證檢驗(yàn)。經(jīng)過(guò)實(shí)際分析，按一天作為窗口長(zhǎng)度進(jìn)行正態(tài)檢驗(yàn)，服從正態(tài)性假設(shè)的天數(shù) 較少，股指只有不到20%股指期貨只有不到10%若按一周為窗口長(zhǎng)

30、度進(jìn)行驗(yàn)證， 則服從正態(tài)分布的周數(shù)少于1%,由此可知，正態(tài)分布假設(shè)在金融市場(chǎng)中存在較大 問(wèn)題。實(shí)際上，不僅是正態(tài)分布假設(shè)難以成立，在實(shí)際的金融市場(chǎng)中，很難找出一種 或者幾種不同的分布，來(lái)準(zhǔn)確描述經(jīng)濟(jì)、金融數(shù)據(jù)的分布。不同金融數(shù)據(jù)展現(xiàn)出 不同的數(shù)據(jù)特征，即便是同一金融數(shù)據(jù)的背后，也可能來(lái)源于不同的經(jīng)濟(jì)、金融、 社會(huì)原理的共同作用。因此，分布不確定性在金融中客觀存在。除了分布的不確定性，描述數(shù)據(jù)特征 的重要參數(shù)，比如均值（一階矩）和方差（波動(dòng)率、二階矩）,也存在不確定性，收益 率和波動(dòng)率亦存在相應(yīng)的不確定性。分析滬深300股指和滬深300股指期貨日收益率的均值和方差，可知其均值 方差均存在不確定性，股指期貨的變動(dòng)幅度相較股指的變化更為劇烈，具有更大 的不確定性。均值、方差的不確定性亦客觀存在，一段時(shí)間內(nèi)，均值和方差在一個(gè) 范圍內(nèi)變化，當(dāng)數(shù)據(jù)量足夠大時(shí)，可以認(rèn)為均值、方差在一個(gè)區(qū)間內(nèi)連續(xù)變動(dòng)。由此可知，金融數(shù)據(jù)存在分布不確定性和特征參數(shù)的不確定性 ，同一時(shí)間段 內(nèi)