導數(shù)恒成立,能成立問題專題講解

1、學習目標:1、理解“任意” 并加以區(qū)別；2、能熟練的把與導數(shù)有關的常見“恒成立問題轉化為函數(shù)的最值問題；3、 在解題過程中提高對“轉化化歸”分類討論、函數(shù)方程等數(shù)學解題思想方法的應用能力，樹立解決導數(shù)綜合題的信心?；A再現(xiàn)：f (x)x 2 ax1 1,a1（2013 全國卷）若函數(shù)=x 在 2 上是增函數(shù)，則的取值范圍(）AB 1,CD3,2、若曲線f(x)=ax2 lnx存在垂直于y 軸的切,則實數(shù)a 的取值范圍是。3、若函數(shù) f (x) = x33ax3(a 2)x 1有極大值和極小值，則a 的取值范圍是。4f (xx g(xa ln x .(1） 若x(0,),總有f (x)g(x)成

2、立，則實數(shù)a的取值范圍是。(2) 若x x12 f (x1) g(x2)成立,則實數(shù)a 的取值范圍是。（3) 若x1x2 f (x1) g(x2)成立，則實數(shù)a 的取值范圍是。(4） 若x1x2 f (x1) g(x2)成立,則實數(shù)a 的取值范圍是。(5) 若x1x2 f (x1) g(x2)成立，則實數(shù)a 的取值范圍是?？偨Y:1、 導數(shù)與不等式的問題，一般都可轉化為極值最值問題解決。不等式類型解決方法（1) 不等式類型解決方法（1) D ，f (x) Mf(x) min（2）D，f(x) g(x) D ， h(x) f (x) g(x) 0 ， h(x)min 0（3) x D , f (x

3、) Mf (x)max M(4) D ，f (x) g(x)D，h(x) f(x) g(x) 0， h(x)max 0（5）xD，f(x) Mf (x)max M（6) x D ，f (x) g(x)xD,h(x) f(x) g(x) 0， h(x)max 0(7) x D , f (x) Mf(x) min(8)(8)xD，f(x) g(x)xD，h(x) f(x)g(x)0，h(x)min0（ 9) g(x )2x D, 11xD22,f (x )1f(x) g(x)minmax(10)x D x D , f (x ) g(x )11，f(x) g(x)minmin2212（ 11) g(

4、x )2x D, 11xD22,f (x )1f (x)max g(x)max（12)x D,f (x ) g(x )11xD22，f (x)max g(x)min12例1、已知向量m(ex,lnxk),nf(x),m/曲線y f (x)在點(1，f ）處的切線與y軸垂直F (x) xe x f (x)kF(x) xex f (x的單調區(qū)間和最大值g(xx22axa 0）.xg(x的最大值。變式 1、已知函數(shù) g(x) x2ax（a 0)。若對于任意 x2 x1 (0,) ，使得g(x2) F (x1) ，求實數(shù)a 的取值范圍.變式 2、已知函數(shù) g(x) x2axa 0)。求證:x1 (0,

5、) ，總存在 x2 使得g(x) 1 2F(x) ，對a e, 恒成立。2a12g(xx3的最大整數(shù)M.x3x x12g(x1) g(x2 M成立，求滿足條件x3f (x) (x k2 e kx（1）f(x的單調區(qū)間；（2）x(0,f(x) 1，求 k 的取值范圍.e與導數(shù)有關的“恒成立1、已知函數(shù)f (x) alnx x在區(qū)間上單調遞增，則實數(shù)a的取值范圍是。2f (x) 2x范圍是.ln x在其定義域內的一個子區(qū)間 k k 的取值3tg(x) x3是。(m 2)x2 2x 在區(qū)間 上不單調，則實數(shù)m 的取值范圍24、已知函數(shù)f(x) axlnxg(x)的導函數(shù)g(x) ex，且g()g)

6、e（1）求函數(shù) f (x) 的極值；（2）若 x (0,) ,使得不等式 g(x) xx m x成立，試求實數(shù)m ;（3）當a =0 時，對 x (0,) ，求證： f (x) g(x) 2x5f (x) x3 x xf(x;g(x) ax 2 axlnx，若函數(shù)y g(x)在(0,)內有極值，求實數(shù)a 的取值范圍；f(xf(x)x1（3）在（2）的條件下對任意t (1,) , s (0,1) 求證: g(t) g(s) e 2 1e6f x aln x 1 2ax(a 0) 。xa0f x的極值;a0f x（3）a 3,2x 恒有l(wèi)n3a2ln3 f f 成立，求實m 的取值范圍。1212（

7、1)當a0時,f x2ln x 1, fx2 1 2x1(x 0).1分xxx2x2由 f x2x1 0 x 1。2分x22f x在0,1上是減函數(shù)，在1,上是增函數(shù)。3分2222 f x的極小值為 f1 22ln 2,無極大值。4分 2 2（2）f x2 a1 2a 2ax2 ax 1ax 12x 1(x 0)。6 分xx2 0,11和 , 0,11和 ,上是減函數(shù)，在1 , 12a2ax2x2上是增函數(shù)；7 分當a時, f x在上是減函;8 分1和 1和 111上是減函在 ,2aa2（3）當 a 時,由（2）f x在,上是增函.9分 f x1 f x2 f f 3 2 4a 2ln3.10

8、分3由ln3a2ln3 f x f x 對任意的a3,2,x,1,3恒成立，1212mln3a2ln3 f x1 f x2max11分即ln3a2ln32 4a 2ln 3 對任意 a 恒成立，3m 4 2 對任意a恒成立，12分3a由于當3 a 2 時， 13 4 2 38，m 13。13分33a937。設 f (x) a x ln x , g(x) x3 x2 3 x(I）a 2y f (x) x 1;x 0,2g(x)g(x) M 成立，求滿足上述條件的最大整數(shù)M ；12121如果對任意的s,t ,2，都有f (s) g(t)成立，求實數(shù)a 的取值范圍2（）當a2時，f(x) 2 x l

9、n x ， f (x) 2 ln x 1， f (1) 2 ， f (1) 1，xx2所以曲線y f (x)在x1處的切線方程為y x33 分(）x 0,2g(x)g(x) M 成立1212等價于：g(x1) g(x2)max M ，2考察g(x) x3 x2 3，g(x) 3x2 2x 3x(x)，3由 g(x)minxg (x) g(x)( g 2 (30085,g(x)27max2(0,)3遞減 g(2) 1，230極（最)小值85272(,23遞增上 表 可g(x1) g(x2)max g (x)maxg(x)min 112 ，271所以滿足條件的最大整數(shù)M 4。7 分1（）對任意的s

10、,t,2，都有f(s) g(t)成立21等價于：在區(qū)間,2上，函數(shù)f (x)的最小值不小于g(x)的最大值，21由（）在區(qū)間,2上,g(x)的最大值為g(2) 1。12f (1) a 1，下證當a 1 時，在區(qū)間1 2 f (x) 1.2a 1 x 1 2 f (x) a x ln x 1 x ln x ，2xx11記h(x) xlnx,h(x)xx211 lnx1，h (1)0當x,1),h(x) 2x21 ln x 1 0 x (1,2，h (x) x2 ln x 1 0 ，11所以函數(shù)h(x) xlnx在區(qū)間,1)上遞減，在區(qū)間(1,2上遞增，x2h(x)min h(1) 1，即h(x) 1，所以當a 1 x 1 2 時, f (x) 1成立，21即對任意s,t,2，都有f (s) g(t)。12分111方法二：當x,2時，f (x) xlnx 1恒成立2x等價于a x x2 ln x 恒成立,1記h(x) xx2 lnx，h(x) 12xln x x，h (1)01記m(