數(shù)理方程課件

1、第二章 分離變量法一、有界弦的自由振動(dòng)二、有限長(zhǎng)桿上的熱傳導(dǎo)三、拉普拉斯方程的定解問題四、非齊次方程的解法五、非齊次邊界條件的處理六、關(guān)于二階常微分方程特征值問題的一些結(jié)論2022/9/261第二章 分離變量法一、有界弦的自由振動(dòng)二、有限長(zhǎng)桿上的熱傳基本思想： 首先求出具有變量分離形式且滿足邊界條件的特解，然后由疊加原理作出這些解的線性組合，最后由其余的定解條件確定疊加系數(shù)。適用范圍：波動(dòng)問題、熱傳導(dǎo)問題、穩(wěn)定場(chǎng)問題等特點(diǎn)：a.物理上由疊加原理作保證，數(shù)學(xué)上由解的唯一性作保證；b.把偏微分方程化為常微分方程來處理，使問題簡(jiǎn)單化。2022/9/262基本思想：適用范圍：特點(diǎn)：2022/9/242

2、令帶入方程：令帶入邊界條件1 求兩端固定的弦自由振動(dòng)的規(guī)律一 有界弦的自由振動(dòng)2022/9/263令帶入方程：令帶入邊界條件1 求兩端固定的弦自由振動(dòng)的規(guī)律一特征（固有）值問題：含有待定常數(shù)常微分方程在一定條 件下的求解問題特征（固有）值：使方程有非零解的常數(shù)值特征（固有）函數(shù)：和特征值相對(duì)應(yīng)的非零解分情況討論：1）2）3） 令 ， 為非零實(shí)數(shù) 2022/9/264特征（固有）值問題：含有待定常數(shù)常微分方程在一定條 件下的2022/9/2652022/9/2452022/9/2662022/9/246分離變量求特征值和特征函數(shù)求另一個(gè)函數(shù)求通解確定常數(shù)分離變量法可以求解具有齊次邊界條件的齊次偏

3、微分方程。 2022/9/267分離變量求特征值和特征函數(shù)求另一個(gè)函數(shù)求通解確定常2 解的性質(zhì) x=x0時(shí)：其中：駐波法 t=t0時(shí)：2022/9/2682 解的性質(zhì) x=x0時(shí)：其中：駐波法 t=t0時(shí)：202例1：設(shè)有一根長(zhǎng)為10個(gè)單位的弦，兩端固定，初速為零，初位移為 ，求弦作微小橫向振動(dòng)時(shí)的位移。解：2022/9/269例1：設(shè)有一根長(zhǎng)為10個(gè)單位的弦，兩端固定，初速為零，初位移2022/9/26102022/9/24102022/9/26112022/9/24112022/9/26122022/9/2412弦的振動(dòng)振幅放大100倍，紅色、藍(lán)色、綠色分別為n=1,2,3時(shí)的駐波。202

4、2/9/2613弦的振動(dòng)振幅放大100倍，紅色、藍(lán)色、綠色分別為n=1,2,解：例2求下列定解問題2022/9/2614解：例2求下列定解問題2022/9/24142022/9/26152022/9/24152022/9/26162022/9/2416初始條件2022/9/2617初始條件2022/9/2417若l=1,a=10時(shí)的震動(dòng)。2022/9/2618若l=1,a=10時(shí)的震動(dòng)。2022/9/2418例3 求下列定解問題解：2022/9/2619例3 求下列定解問題解：2022/9/24192022/9/26202022/9/24202022/9/26212022/9/24212022

5、/9/26222022/9/2422例4 求下列定解問題令帶入方程：解：2022/9/2623例4 求下列定解問題令帶入方程：解：2022/9/24232022/9/26242022/9/24242022/9/26252022/9/24252022/9/26262022/9/24262022/9/26272022/9/2427二 有限長(zhǎng)桿上的熱傳導(dǎo)令帶入方程：解：2022/9/2628二 有限長(zhǎng)桿上的熱傳導(dǎo)令帶入方程：解：2022/9/242022/9/26292022/9/24292022/9/26302022/9/2430令2022/9/2631令2022/9/2431令帶入方程：令例5

6、求下列定解問題解：2022/9/2632令帶入方程：令例5 求下列定解問題解：2022/9/2432022/9/26332022/9/24332022/9/26342022/9/2434例6 求下列定解問題解：2022/9/2635例6 求下列定解問題解：2022/9/24352022/9/26362022/9/2436么么么么方面Sds絕對(duì)是假的么么么么方面Sds絕對(duì)是假的2022/9/26382022/9/2438若 則u為多少？為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象？思考2022/9/2639若 則u為多少？為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象？思若有界桿上的熱傳導(dǎo)（桿的兩端絕熱）2022/9/2640若有界桿上的熱

7、傳導(dǎo)（桿的兩端絕熱）2022/9/2440分離變量流程圖2022/9/2641分離變量流程圖2022/9/2441三 拉普拉斯方程的定解問題1 直角坐標(biāo)系下的拉普拉斯問題解：2022/9/2642三 拉普拉斯方程的定解問題1 直角坐標(biāo)系下的拉普拉斯問2022/9/26432022/9/24432022/9/26442022/9/24442022/9/26452022/9/2445例7 求下列定解問題解：2022/9/2646例7 求下列定解問題解：2022/9/24462022/9/26472022/9/24472022/9/26482022/9/24482022/9/26492022/9/2

8、449例8 求下列定解問題解：2022/9/2650例8 求下列定解問題解：2022/9/24502022/9/26512022/9/24512022/9/26522022/9/24522 圓域內(nèi)的拉普拉斯問題2022/9/26532 圓域內(nèi)的拉普拉斯問題2022/9/2453歐拉方程例9 求下列定解問題解：2022/9/2654歐拉方程例9 求下列定解問題解：2022/9/2454歐拉方程 令2022/9/2655歐拉方程 令2022/9/24552022/9/26562022/9/2456例10 求下列定解問題解：2022/9/2657例10 求下列定解問題解：2022/9/2457歐拉方

9、程 令2022/9/2658歐拉方程 令2022/9/2458其它為零2022/9/2659其它為零2022/9/2459例12 求下列定解問題解：2022/9/2660例12 求下列定解問題解：2022/9/24602022/9/26612022/9/2461歐拉方程 2022/9/2662歐拉方程 2022/9/2462其他為零2022/9/2663其他為零2022/9/2463例13 求下列定解問題解：2022/9/2664例13 求下列定解問題解：2022/9/24642022/9/26652022/9/24652022/9/26662022/9/2466例13 求下列定解問題解：2022/9/2667例13 求下列定解問題解：2022/9/24672022/9/26682022/9/24682022/9/26692022/9/2469例14 求下列定解問題解法一：令2022/9/2670例14