海南省海口市豐南中學(xué)2022-2023學(xué)年數(shù)學(xué)八上期末綜合測(cè)試模擬試題含解析

1、2022-2023學(xué)年八上數(shù)學(xué)期末模擬試卷請(qǐng)考生注意：1請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用05毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的注意事項(xiàng)，按規(guī)定答題。一、選擇題（每題4分，共48分）1如圖，在RtACB中，C=90，BE平分CBA交AC于點(diǎn)E，過(guò)E作EDAB于D點(diǎn)，當(dāng)A為（ ）時(shí)，ED恰為AB的中垂線A15B20C30D252如圖,ADBC,BD=DC,點(diǎn)C在AE的垂直平分線上,則AB,AC,CE的長(zhǎng)度關(guān)系為（ ）AABAC=CEBAB=ACCECABACCEDAB=AC=CE3已知

2、函數(shù)的部分函數(shù)值如下表所示，則該函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)( )-2-1010369A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限4一項(xiàng)工程，一半由甲單獨(dú)做需要m小時(shí)完成，另一半由乙單獨(dú)做需要n小時(shí)完成，則甲、乙合做這項(xiàng)工程所需的時(shí)間為（）A小時(shí)B小時(shí)C小時(shí)D小時(shí)5如圖，在四邊形ABCD中，分別以點(diǎn)A、C為圓心，大于長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)E，作射線BE交AD于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)O若點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，則CD的長(zhǎng)為（ ）AB4C3D6下列運(yùn)算正確的是（）Aa+baBaaaCaaaD（a）a7如圖，將長(zhǎng)方形紙片ABCD折疊，使邊DC落在對(duì)角線AC上，折痕為CE，且D點(diǎn)落在對(duì)角線D處若AB=3，AD=4，則ED的長(zhǎng)為

3、AB3C1D8若實(shí)數(shù)x,y,z滿足，則下列式子一定成立的是（ ）Ax+y+z=0Bx+y-2z=0Cy+z-2x=0Dz+x-2y=09如圖，已知ABC=DCB，下列所給條件不能證明ABCDCB的是（ ）AA=DBAB=DCCACB=DBCDAC=BD10小瑩和小博士下棋小瑩執(zhí)圓子，小博士執(zhí)方子如圖，棋盤中心方子的位置用表示，左下角方子的位置用表示，小瑩將第4枚圓子放入棋盤后，所有棋子構(gòu)成一個(gè)軸對(duì)稱圖形，她放的位置是ABCD11如圖，已知ABC，ABBC，用尺規(guī)作圖的方法在BC上取一點(diǎn)P，使得PA+PCBC，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）ABCD12如圖，在RtABC中，ACB90，AC3，BC4，

4、點(diǎn)D在AB邊上，ADAC，AECD，垂足為F，與BC交于點(diǎn)E，則BE的長(zhǎng)是( )A1.5B2.5CD3二、填空題（每題4分，共24分）13按一定規(guī)律排列的一列數(shù)：21，22，23，25，28，213，若x，y，z表示這列數(shù)中的連續(xù)三個(gè)數(shù)，猜想x，y，z滿足的關(guān)系式是_.14在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：_15在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是，則的值是_16在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，則的值為_(kāi)17點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，則的值是_18甲、乙兩名男同學(xué)練習(xí)投擲實(shí)心球，每人投了10次，平均成績(jī)均為7.5米，方差分別為，成績(jī)比較穩(wěn)定的是_（填“甲”或“乙”）三、解答題（共78分）19（8分）如圖

5、1，AD、BE相交于點(diǎn)M，連接CM求證：；求的度數(shù)用含的式子表示；如圖2，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P、Q分別為AD、BE的中點(diǎn)，分別連接CP、CQ、PQ，判斷的形狀，并加以證明 20（8分）如圖1，是鄭州市二七區(qū)三個(gè)垃圾存放點(diǎn)，點(diǎn)，分別位于點(diǎn)的正北和正東方向，米，八位環(huán)衛(wèi)工人分別測(cè)得的長(zhǎng)度如下表：甲乙丙丁戊戌申辰BC（單位：米）8476788270848680他們又調(diào)查了各點(diǎn)的垃圾量，并繪制了下列尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖2，圖3：（1）求表中長(zhǎng)度的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)；（2）求處的垃圾量，并將圖2補(bǔ)充完整；21（8分）如圖所示，在中，（1）用尺規(guī)在邊BC上求作一點(diǎn)P，使；(不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）（2）連接AP當(dāng)為多

6、少度時(shí)，AP平分22（10分）計(jì)算：（1）（2）（3）已知：，求23（10分）已知等邊和等腰，（1）如圖1，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，是的中點(diǎn)，連接，則線段與之間的數(shù)量關(guān)系為 ；（2）如圖2，點(diǎn)在內(nèi)部，點(diǎn)在外部，是的中點(diǎn)，連接，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由（3）如圖3，若點(diǎn)在內(nèi)部，點(diǎn)和點(diǎn)重合，點(diǎn)在下方，且為定值，當(dāng)最大時(shí)，的度數(shù)為 24（10分）從地到地全程千米，前一路段為國(guó)道，其余路段為高速公路.已知汽車在國(guó)道上行駛的速度為，在高速公路上行駛的速度為，一輛客車從地開(kāi)往地一共行駛了.求、兩地間國(guó)道和高速公路各多少千米(列方程組，解應(yīng)用題)25（12分）如圖，已知

7、ABC和BDE都是等邊三角形，且A，E，D三點(diǎn)在一直線上請(qǐng)你說(shuō)明DADB=DC26已知：點(diǎn)O到ABC的兩邊AB，AC所在直線的距離相等，且OB=OC(1)如圖1，若點(diǎn)O在邊BC上，OEAB，OFAC，垂足分別為E，F(xiàn)求證：AB=AC；(2)如圖，若點(diǎn)O在ABC的內(nèi)部，求證：AB=AC；(3)若點(diǎn)O在ABC的外部，AB=AC成立嗎？請(qǐng)畫(huà)出圖表示參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、C【分析】當(dāng)A=30時(shí)，根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余，即可求出CBA，然后根據(jù)角平分線的定義即可求出ABE，再根據(jù)等角對(duì)等邊可得EB=EA，最后根據(jù)三線合一即可得出結(jié)論【詳解】解：當(dāng)A為30時(shí)，ED恰為AB的中垂

8、線，理由如下C=90，A=30CBA=90A=60BE平分CBAABE=CBA=30ABE=AEB=EAEDABED恰為AB的中垂線故選C【點(diǎn)睛】此題考查的是直角三角形的性質(zhì)和等腰三角形的判定及性質(zhì)，掌握直角三角形的兩個(gè)銳角互余、等角對(duì)等邊和三線合一是解決此題的關(guān)鍵2、D【分析】因?yàn)锳DBC，BD=DC，點(diǎn)C在AE的垂直平分線上，由垂直平分線的性質(zhì)得AB=AC=CE；【詳解】ADBC，BD=DC，AB=AC；又點(diǎn)C在AE的垂直平分線上，AC=EC，AB=AC=CE；故選D.【點(diǎn)睛】考查線段的垂直平分線的性質(zhì)，線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.3、D【解析】根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系

9、數(shù)法可求出一次函數(shù)解析式，再利用一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系可得出一次函數(shù)y=3x+1的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，此題得解【詳解】解：將（-2，0），（-1，3）代入y=kx+b，得： ，解得：，一次函數(shù)的解析式為y=3x+130，10，一次函數(shù)y=3x+1的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、三象限故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵4、D【解析】根據(jù)題意得出甲的效率為、乙的效率為，再根據(jù)工作時(shí)間=工作量甲乙合作的工作效率可得答案【詳解】根據(jù)題意，甲、乙合做這項(xiàng)工程所需的時(shí)間為=，故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查列代

10、數(shù)式，解題的關(guān)鍵是掌握工程問(wèn)題中的基本關(guān)系式及代數(shù)式的書(shū)寫(xiě)規(guī)范5、A【分析】連接FC，先說(shuō)明FAO=BCO，由 OE垂直平分AC，由垂直平分線的性質(zhì)可得AF=FC，再證明FOABOC，可得AF=BC=3，再由等量代換可得FC=AF=3，然后利用線段的和差求出FD=AD-AF=1.最后在直角FDC中利用勾股定理求出CD即可【詳解】解：如圖，連接FC，由作圖可知AF=FC，AD/BC，F(xiàn)AO=BCO，在FOA與BOC中，F(xiàn)AO=BCO, OA=OC，AOF=COBFOABOC（ASA），AF=BC=3，F(xiàn)C=AF=3，F(xiàn)D=AD-AF=4-3=1.在FDC中，D=90，CD2+DF2=FC2，即C

11、D2+12=32，解得CD=故答案為A【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理、線段垂直平分線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)求得CF和DF是解答本題的關(guān)鍵6、D【解析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法底數(shù)不變指數(shù)相加，同底數(shù)冪的除法底數(shù)不變指數(shù)相減，積的乘方等于乘方的積，可得答案【詳解】A、a+b不是同底數(shù)冪的乘法指數(shù)不能相加，故A錯(cuò)誤；B、同底數(shù)冪的除法底數(shù)不變指數(shù)相減，故B錯(cuò)誤；C、同底數(shù)冪的乘法底數(shù)不變指數(shù)相加，故C錯(cuò)誤；D、積的乘方等于乘方的積，故D正確；故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪的除法，熟記法則并根據(jù)法則計(jì)算是解題關(guān)鍵7、A【分析】首先利用勾股定理計(jì)算出AC的長(zhǎng)，再根據(jù)折

12、疊可得DECDEC，設(shè)ED=x，則DE=x，AD=ACCD=2，AE=4x，再根據(jù)勾股定理可得方程22+x2=（4x）2，再解方程即可【詳解】AB=3，AD=4，DC=3根據(jù)勾股定理得AC=5根據(jù)折疊可得：DECDEC，DC=DC=3，DE=DE設(shè)ED=x，則DE=x，AD=ACCD=2，AE=4x，在RtAED中：（AD）2+（ED）2=AE2，即22+x2=（4x）2，解得：x=故選A.8、D【解析】（xz）24（xy）（yz）=1，x2+z22xz4xy+4xz+4y24yz=1，x2+z2+2xz4xy+4y24yz=1，（x+z）24y（x+z）+4y2=1，（x+z2y）2=1，z

13、+x2y=1故選D9、D【解析】A添加A=D可利用AAS判定ABCDCB，故此選項(xiàng)不合題意；B添加AB=DC可利用SAS定理判定ABCDCB，故此選項(xiàng)不合題意；C添加ACB=DBC可利用ASA定理判定ABCDCB，故此選項(xiàng)不合題意；D添加AC=BD不能判定ABCDCB，故此選項(xiàng)符合題意故選D10、B【解析】首先確定x軸、y軸的位置，然后根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義確定放的位置【詳解】解：棋盤中心方子的位置用表示，則這點(diǎn)所在的橫線是x軸，左下角方子的位置用，則這點(diǎn)向右兩個(gè)單位所在的縱線是y軸，則小瑩將第4枚圓子放的位置是時(shí)構(gòu)成軸對(duì)稱圖形故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱圖形和坐標(biāo)位置的確定，正確確定x軸、

14、y軸的位置是關(guān)鍵11、B【詳解】由PB+PC=BC和PA+PC=BC易得PA=PB，根據(jù)線段垂直平分線定理的逆定理可得點(diǎn)P在AB的垂直平分線上，于是可判斷D選項(xiàng)正確故選B考點(diǎn)：作圖復(fù)雜作圖12、B【分析】連接DE，由勾股定理求出AB=5，由等腰三角形的性質(zhì)得出CF=DF，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出CE=DE，由SSS證明ADEACE，得出ADE=ACE=BDE=90，設(shè)CE=DE=x，則BE=4-x，在RtBDE中，由勾股定理得出方程，解方程即可【詳解】解：連接DE，如圖所示，在RtABC中，ACB=90，AC=3，BC=4，AB=5，AD=AC=3，AFCD，DF=CF，CE=DE，BD=A

15、B-AD=2，在ADE和ACE中，ADEACE（SSS），ADE=ACE=90，BDE=90，設(shè)CE=DE=x，則BE=4-x，在RtBDE中，由勾股定理得：DE2+BD2=BE2，即x2+22=（4-x）2，解得：x=1.5；CE=1.5；BE=4-1.5=2.5故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)；熟練掌握勾股定理，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵二、填空題（每題4分，共24分）13、xy=z【解析】試題分析：觀察數(shù)列可發(fā)現(xiàn)所以這一列數(shù)據(jù)所揭示的規(guī)律是前兩個(gè)數(shù)的積等于第三個(gè)數(shù)根據(jù)規(guī)律x、y、z表示這列數(shù)中的連續(xù)三個(gè)數(shù)，則x、y、z滿足

16、的關(guān)系式是xy=z考點(diǎn)：規(guī)律探究題14、【分析】將原式變形為，再利用平方差公式分解即可得【詳解】=，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握完全平方公式和平方差公式15、3或-3【分析】根據(jù)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是，可列出方程，從而可以求得x的值【詳解】解：點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是，解得：x=3或-3，故答案為：3或-3.【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)系中兩點(diǎn)之間的距離，解題的關(guān)鍵是利用勾股定理列出方程求解.16、【分析】由關(guān)于x軸對(duì)稱橫坐標(biāo)相同可列出關(guān)于m的一元一次方程，求解即可.【詳解】解：由點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱可得點(diǎn)P與點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)相同即，解得.所以的值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查

17、了平面直角坐標(biāo)系中的軸對(duì)稱，靈活利用點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.17、3【分析】根據(jù)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相等，可得答案【詳解】解：點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱，可得方程組，解得：，a-b=3，故答案為：3.【點(diǎn)睛】本題考查了關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，利用關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相等得出a，b是解題關(guān)鍵18、乙【分析】根據(jù)方差的定義，方差越小數(shù)據(jù)越穩(wěn)定即可得出答案【詳解】解：，成績(jī)比較穩(wěn)定的是乙；故答案為：乙【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)方差判斷穩(wěn)定性 方差能夠反映所有數(shù)據(jù)的信息方差越大，數(shù)據(jù)波動(dòng)越大,數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定；方差越小，數(shù)據(jù)波動(dòng)越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定 只有當(dāng)兩組數(shù)據(jù)

18、的平均數(shù)相等或接近時(shí)，才能用方差比較它們波動(dòng)的大小三、解答題（共78分）19、（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）為等腰直角三角形，證明見(jiàn)解析.【解析】分析（1）由CA=CB，CD=CE，ACB=DCE=，利用SAS即可判定ACDBCE；（2）根據(jù)ACDBCE，得出CAD=CBE，再根據(jù)AFC=BFH，即可得到AMB=ACB=；（3）先根據(jù)SAS判定ACPBCQ，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得出CP=CQ，ACP=BCQ，最后根據(jù)ACB=90即可得到PCQ=90，進(jìn)而得到PCQ為等腰直角三角形詳解：如圖1，在和中，；如圖1，中，中，；為等腰直角三角形證明：如圖2，由可得，BE的中點(diǎn)分別為點(diǎn)P、Q，在和中，

19、且，又，為等腰直角三角形點(diǎn)睛：本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定以及三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題20、（1）米，米，米；（2），圖見(jiàn)解析.【分析】（1）利用平均數(shù)等概念求法可得出答案；（2）利用扇形統(tǒng)計(jì)圖以及條形統(tǒng)計(jì)圖可得出處垃圾量以及所占百分比，進(jìn)而求出垃圾總量，進(jìn)而得出處垃圾量.【詳解】（1）（米），中位數(shù)是：米，眾數(shù)是：米；（2）處垃圾存放量為：，在扇形統(tǒng)計(jì)圖中所占比例為：，垃圾總量為：（千克），處垃圾存放量為：，占.補(bǔ)全條形圖如下：【點(diǎn)睛】本題考查的是條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖的綜合運(yùn)用，讀懂統(tǒng)計(jì)圖，從不同的統(tǒng)計(jì)圖中得到必要的信息是

20、解決問(wèn)題的關(guān)鍵.條形統(tǒng)計(jì)圖能清楚地表示出每個(gè)項(xiàng)目的數(shù)據(jù)；扇形統(tǒng)計(jì)圖直接反映部分占總體的百分比大小.21、（1）詳見(jiàn)解析；（2）30【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的作法作出AB的垂直平分線即可；（2）連接PA，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，由角平分線的定義可得，根據(jù)直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)即可得B的度數(shù)，可得答案【詳解】（1）如圖所示：分別以A、B為圓心，大于AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)E、F，作直線EF，交BC于點(diǎn)P，EF為AB的垂直平分線，PA=PB，點(diǎn)P即為所求（2）如圖，連接AP，AP是角平分線，PAC+PAB+B=90，3B=90，解得：B=30，當(dāng)時(shí)，AP平分【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作

21、圖，考查了垂直平分線的性質(zhì)、直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等；熟練掌握垂直平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵22、（1）；（2）；（3）72【分析】（1）原式根據(jù)絕對(duì)值、算術(shù)平方根、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪以及0指數(shù)冪進(jìn)行計(jì)算，再算加減即可求解；（2）先根據(jù)積的乘方和冪的乘方進(jìn)行計(jì)算，再求出答案即可；（3）先根據(jù)冪的乘方和已知條件求出，根據(jù)同底數(shù)冪的乘法得出=，再求出答案即可.【詳解】（1）原式=4-3+-1=；（2）原式=；（3），=【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，零指數(shù)冪，算術(shù)平方根，實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，冪的乘方和積的乘方，科學(xué)記數(shù)法，同底數(shù)冪的乘法等知識(shí)

22、點(diǎn)，能靈活運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，注意:(am) n=amn，=am+n .23、（1）；（2）成立，理由見(jiàn)解析；（3）【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可得是等邊三角形，是的中點(diǎn)，利用等邊三角形三線合一性質(zhì)，以及得出，所以PD是中位線，得出點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，AD=CE，可得出結(jié)論（2）作輔助線，延長(zhǎng)ED到F，使得，使得是等邊三角形，PD是的中位線，通過(guò)證明三角形全等得出可證明結(jié)論（3）作出等腰，由旋轉(zhuǎn)模型證明三角形，利用P、C、K三點(diǎn)共線時(shí)，PK最大，即PD最大可求解得【詳解】（1）根據(jù)圖1，在等邊和等腰中，是等邊三角形，是的中點(diǎn)，PD是中位線分別是的中點(diǎn)，故答案為：（2）結(jié)論成

23、立理由：如下圖中，延長(zhǎng)ED到F，使得，連接FC，BF，是等邊三角形，在和中，故答案為：結(jié)論成立；（3）作，且，連接PK，DK，則為等腰三角形，在和中，即為定值P、C、K三點(diǎn)共線時(shí)，PK最大，即PD最大，此時(shí)，故答案為：【點(diǎn)睛】考查了全等三角形的判定和性質(zhì)應(yīng)用，等腰三角形三線合一的性質(zhì)應(yīng)用，等邊三角形的判定和性質(zhì)，中點(diǎn)和中位線的性質(zhì)，利用了三線共點(diǎn)判定線段最大，熟記性質(zhì)和判定定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵24、兩地國(guó)道為90千米，高速公路為200千米【分析】首先設(shè)A、B兩地間國(guó)道和高速公路分別是x、y千米，根據(jù)題意可得等量關(guān)系：國(guó)道路程+高速路程=290，在國(guó)道上行駛的時(shí)間+在高速公路上行駛的時(shí)間=15，根據(jù)等量關(guān)系列出方程組，再解即可【詳解】解：設(shè)、兩地國(guó)道為千米，高速公路為千米則方程組為：，解得：，答：A、B兩地間國(guó)道和高速公路分別是90、200千米【點(diǎn)睛】此題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，關(guān)鍵是設(shè)出未知數(shù)，表示出每段行駛所花費(fèi)的時(shí)間，得出方程組，難度一般25、證明