經(jīng)濟數(shù)學(xué)第八章二重積分

1、經(jīng)濟數(shù)學(xué)第八章二重積分第1頁，共60頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二 一元函數(shù)定積分是求與定義在某一區(qū)間上的函數(shù)有關(guān)的某種總量的數(shù)學(xué)模型，作為推廣，二元函數(shù)的二重積分是求與定義在某一平面區(qū)域上的函數(shù)有關(guān)的某種總量的數(shù)學(xué)模型，這些模型的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)相同，都是和式的極限。第2頁，共60頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二 8.1 二重積分的基本概念一、曲頂柱體的體積曲頂柱體是指它的底面是在 平面上的有界閉區(qū)域，它的側(cè)面是以的邊界為準(zhǔn)線，母線平行于軸的柱面，它的頂是連續(xù)曲面 o第3頁，共60頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二平頂柱體的高是不變的，它的體積可以用公

2、式體積底面積高 來計算。而對于曲頂柱體，當(dāng)點 在區(qū)域 上變動時，高度是一個變量，因此它的 體積不能直接用上式來計算。第4頁，共60頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二3）作和4）取極限則曲頂柱體的體積求解過程1）將區(qū)域任意分割成個小區(qū)域： 也表示第塊小區(qū)域的面積。2）任取點o第5頁，共60頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二二、二重積分的定義及幾何意義 設(shè)二元函數(shù) 在有界閉區(qū)域 上有定義，用任意分法將分成個小閉區(qū)域其中表示第個小區(qū)域（也表示它的面積），表示 的直徑中的最大者。在上任取一點，作乘積 ， 并作和當(dāng)時，如果這個和的極限存在，則稱此極限為函數(shù) 在區(qū)域上的二重積分

3、，記為，即定義第6頁，共60頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二積分區(qū)域積分和被積函數(shù)被積表達式面積元素第7頁，共60頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二注： 1 在二重積分定義中，對區(qū)域D的劃分是任意的，故如果在直角坐標(biāo)系中用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來劃分D，則除了包含邊界的一些小閉區(qū)域外，其余的小閉區(qū)域都是矩形閉區(qū)域。設(shè)矩形小閉區(qū)域 的邊長為 和 則第8頁，共60頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二0 xyD直角坐標(biāo)系下面積元素第9頁，共60頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二2 存在性：當(dāng)在閉區(qū)域 D上連續(xù)時，函數(shù)在 D上的二重積分必定存在。以

4、后總假定在 D 上的二重積分是存在的。3 由二重積分的定義可知：曲頂柱體的體積是函數(shù)在D上的二重積分第10頁，共60頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二幾何意義1)、若 ， 表示以區(qū)域 為底的曲頂柱體的體積。2)、若 ， 表示以區(qū)域 為底的曲頂柱體的體積的相反數(shù)。3)、若 在區(qū)域 上的值有正有負(fù)，則曲頂柱體的體積取其二重積分的代數(shù)和。（其中xoy面上方柱體的體積取正， xoy面下方柱體的體積取負(fù)）。第11頁，共60頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二三、二重積分的性質(zhì)性質(zhì)1 被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到二重積分號的外面，即：性質(zhì)2 有限個函數(shù)的和（或差）的二重積分等于各個

5、函數(shù)的二重積分的和（或差）。第12頁，共60頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二性質(zhì)3 (區(qū)域可加性) 如果閉區(qū)域D被有限條曲線分為有限個部分閉區(qū)域，則在D上的二重積分等于在個部分閉區(qū)域上的二重積分的和.第13頁，共60頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二性質(zhì)4 若在D上，則：特別地，第14頁，共60頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二高為1的平頂柱體的體積在數(shù)值上等于柱體的底面積。性質(zhì)如果在上恒有 ， 是 的面積， 則 性質(zhì)設(shè) 和 分別是函數(shù) 在閉區(qū)域 上 的最大值和最小值，是 的面積，則第15頁，共60頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二性質(zhì)

6、中值定理如果 在閉區(qū)域 上連續(xù)， 是的面積，則在 內(nèi)至少存在一點 ， 使得中值定理的幾何意義：在區(qū)域 上以曲頂 為頂 的曲頂柱體的體積，等于區(qū)域 上以某一點 的函數(shù)值 為高的平頂柱體的體積。第16頁，共60頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二0yx(3,0)(1,0)(0,1).D解：在區(qū)域 D內(nèi)，顯然有故在D內(nèi)例1 比較下列積分的大?。?）與其中D:第17頁，共60頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二 ,其中區(qū)域 D為頂點為A(1，0)B(1，1)，C(2，0)的三角形閉區(qū)域。2）解：BC的方程 x+y=2D內(nèi)所以A(1,0)C(2,0)B(1,1)第18頁，共60頁

7、，2022年，5月20日，18點26分，星期二例 估計積分值解：在D內(nèi)的最大值為4，最小值為1區(qū)域D的面積為2所以第19頁，共60頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二二重積分的計算，可以歸結(jié)為求兩次一元定積分， 然后利用一元定積分的計算方法來計算二重積分。 按定義:二重積分是一個特定乘積和式極限 然而，用定義來計算二重積分，一般情況 下是非常麻煩的.8.2 二重積分的計算第20頁，共60頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二 那么，有沒有簡便的計算方法呢?這就是 我們今天所要研究的課題。下面介紹:一、直角坐標(biāo)系下二重積分的計算 二重積分僅與被積函數(shù)及積分域有關(guān),為此, 先

8、介紹： 1、積分域 D:第21頁，共60頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二如果積分區(qū)域為：（1）X-型域X型 X型區(qū)域的特點：a、平行于y軸且穿過區(qū)域的直線與區(qū)域邊界的交點不多于兩個；b、第22頁，共60頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二 2、X-型域下二重積分的計算: 由幾何意義，若(x,y)0，則平行截面面積為已知的立體的體積.第23頁，共60頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二yZ截面為曲邊梯形，面積為：第24頁，共60頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二第25頁，共60頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二 注: 若 (x,

9、y)0 仍然適用。注意:2）積分次序: X-型域 先Y后X;3）積分限確定法: 域中一線插, 內(nèi)限定上下， 域邊兩線夾，外限依靠它。為方便，上式也常記為：1）上式說明: 二重積分可化為二次定積分計算;第26頁，共60頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二（2）Y-型域：Y型Y型區(qū)域的特點：a、穿過區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界的交點不多于兩個；b、第27頁，共60頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二3、Y-型域下二重積分的計算： 1）積分次序: Y-型域 ,先x后Y; 2）積分限確定法: “域中一線插”, 須用平行于X軸的直線 穿插區(qū)域 。注意: 第28頁，共60頁，2

10、022年，5月20日，18點26分，星期二 注意：二重積分轉(zhuǎn)化為二次定積分時，關(guān)鍵在于正確確定積分限,一定要做到熟練、準(zhǔn)確。4、利用直角坐標(biāo)系計算二重積分的步驟（1）畫出積分區(qū)域的圖形,求出邊界曲線交點坐標(biāo)；（3）確定積分限，化為二次定積分；（2）根據(jù)積分域類型, 確定積分次序；（4）計算兩次定積分，即可得出結(jié)果.第29頁，共60頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二解：X型第30頁，共60頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二第31頁，共60頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二Y型第32頁，共60頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二例2解：X-型第

11、33頁，共60頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二例3解： （如圖）將D作Y型-12第34頁，共60頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二例4交換積分次序。解：即第35頁，共60頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二解：積分區(qū)域如圖xyo231原式xyoxyo第36頁，共60頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二例6解：先去掉絕對值符號，如圖第37頁，共60頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二則例7計算，解：畫圖第38頁，共60頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二若把區(qū)域 看成 型區(qū)域則求不出來第39頁，共60頁，2022年，5

12、月20日，18點26分，星期二例8計算第40頁，共60頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二例9計算第41頁，共60頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二選擇積分次序的原則： 第一次積分易積； 積分區(qū)域要盡量避免分塊。第42頁，共60頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二解：畫圖例10用二重積分計算由 所圍成的 圖形的面積。第43頁，共60頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二例11解表示為X-型域第44頁，共60頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二改變積分次序第45頁，共60頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二二 利用極坐標(biāo)系計

13、算二重積分 當(dāng)一些二重積分的積分區(qū)域D用極坐標(biāo)表示比較簡單，或者一些函數(shù)它們的二重積分在直角坐標(biāo)系下根本無法計算時，我們可以在極坐標(biāo)系下考慮其計算問題。第46頁，共60頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二 直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系o第47頁，共60頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二1 直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系下的二重積分關(guān)系（1）面積元素變換為極坐標(biāo)系下：極坐標(biāo)系下的面積元素為：第48頁，共60頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二（2）二重積分轉(zhuǎn)換公式：第49頁，共60頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二（3）注意：將直角坐標(biāo)系的二重積分化為極坐標(biāo)系下

14、的二重積分需要進行“三換”：o第50頁，共60頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二2 極坐標(biāo)系下的二重積分化為二次積分用兩條過極點的射線夾平面區(qū)域，由兩射線的傾角得到其上下限任意作過極點的半射線與平面區(qū)域相交，由穿進點，穿出點的極徑得到其上下限。將直角坐標(biāo)系下的二重積分化為極坐標(biāo)系后，極坐標(biāo)系下的二重積分仍然需要化為二次積分來計算。第51頁，共60頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二（1）區(qū)域如圖1具體地（如圖）圖1第52頁，共60頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二（2）區(qū)域如圖2圖2第53頁，共60頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二（3）區(qū)域如圖3圖3第54頁，共60頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二（4）區(qū)域如圖4圖4第55頁，共60頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二當(dāng)積分區(qū)域為圓形、扇形或環(huán)形時，利用極坐標(biāo)計算比較簡單。當(dāng)被