數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)歸納法課件

1、數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：理解并熟練運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法難點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法的證明思路初始值n0的確定教材回扣夯實(shí)雙基重點(diǎn)難點(diǎn)教材回扣夯實(shí)雙基基礎(chǔ)梳理1歸納法歸納法有不完全歸納法和完全歸納法，如果我們考察了某類對(duì)象中的一部分，由這一部分具有某種特征而得出該類對(duì)象中的全體都具有這種特征的結(jié)論，為不完全歸納法基礎(chǔ)梳理由不完全歸納法得出的結(jié)論不一定都是正確的,其正確性還需進(jìn)一步證明；如果我們考察了某類對(duì)象中的每一個(gè)對(duì)象，而得出該類對(duì)象的某種特征的結(jié)論為完全歸納法，由完全歸納法得出的結(jié)論一定是正確的，數(shù)學(xué)歸納法是一種完全歸納法由不完全歸納法得出的結(jié)論不一定都是正確的,其正確性還需進(jìn)一步2數(shù)學(xué)歸納法一般地

2、，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：(1)歸納奠基：驗(yàn)證當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)結(jié)論成立；2數(shù)學(xué)歸納法(2)歸納遞推：假設(shè)當(dāng)nk(kN*，且kn0)時(shí)結(jié)論成立推出nk1時(shí)結(jié)論也成立只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從n0開(kāi)始的所有自然數(shù)n(nn0)都成立，這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法(2)歸納遞推：假設(shè)當(dāng)nk(kN*，且kn0)時(shí)結(jié)論成3歸納、猜想與證明從觀察一些特殊的簡(jiǎn)單的問(wèn)題入手，根據(jù)它們所體現(xiàn)的共同性質(zhì)，運(yùn)用不完全歸納法作出一般命題的猜想，然后從理論上證明(或否定)這種猜想，這個(gè)過(guò)程叫做“歸納猜想證明”3歸納、猜想與證明課前熱身課前熱身Ank1時(shí)等式成立Bnk2時(shí)等式成立Cn2

3、k2時(shí)等式成立 Dn2(k2)時(shí)等式成立答案：BAnk1時(shí)等式成立2用數(shù)學(xué)歸納法證明“12222n22n31”，在驗(yàn)證n1時(shí)，左邊計(jì)算所得的式子為()A1 B12C1222 D122223答案：D2用數(shù)學(xué)歸納法證明“12222n22n3A1 B1aC1aa2 D1aa2a3答案：CA1 B1a4凸k邊形內(nèi)角和為f(k)，則凸k1邊形的內(nèi)角和為f(k1)f(k)_.答案：4凸k邊形內(nèi)角和為f(k)，則凸k1邊形的內(nèi)角和為f(k數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)歸納法考點(diǎn)探究講練互動(dòng)考點(diǎn)突破考點(diǎn)1用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式的關(guān)鍵是在證明nk1時(shí)命題成立，考點(diǎn)探究講練互動(dòng)考點(diǎn)突破考點(diǎn)1用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式

4、要從nk1時(shí)待證的目標(biāo)恒等式的一端“拼湊”出歸納假設(shè)的恒等式的一端，再運(yùn)用歸納假設(shè)即可同時(shí)，還要注意待證的目標(biāo)恒等式的另一端的變化，即用“k1”替換恒等式中的所有“n”要從nk1時(shí)待證的目標(biāo)恒等式的一端“拼湊”出歸納假設(shè)的恒例1【思路分析】按數(shù)學(xué)歸納法的步驟進(jìn)行證明即可例1【思路分析】按數(shù)學(xué)歸納法的步驟進(jìn)行證明即可數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)歸納法(2)假設(shè)nk時(shí)，結(jié)論成立，即f(1)f(2)f(k1)kf(k)1，那么，當(dāng)nk1時(shí)，f(1)f(2)f(k1)f(k)kf(k)1f(k)(k1)f(k)k(2)假設(shè)nk時(shí)，結(jié)論成立，即數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)歸納法【失誤分析】數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題的關(guān)鍵除用上述歸納假設(shè)外，還要注意由

5、nk到nk1項(xiàng)數(shù)的變化情況，有時(shí)不一定就增加一項(xiàng)，【失誤分析】數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題的關(guān)鍵除用上述歸納假設(shè)外，還數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)歸納法考點(diǎn)2用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式用數(shù)學(xué)歸納法證明與n有關(guān)的不等式一般有兩種具體形式：一是直接給出不等式，按要求進(jìn)行證明；考點(diǎn)2用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式二是給出兩個(gè)式子，按要求比較它們的大小對(duì)第二類形式，往往要先對(duì)n取前幾個(gè)值的情況分別驗(yàn)證比較，以免出現(xiàn)判斷失誤，再猜出從某個(gè)n值開(kāi)始都成立的結(jié)論，最后用數(shù)學(xué)歸納法證明二是給出兩個(gè)式子，按要求比較它們的大小對(duì)第二類形式，往往要例2例2數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)歸納法【規(guī)律方法】 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，推導(dǎo)nk

6、1也成立時(shí)，證明不等式的常用方法，如比較法，分析法，綜合法均要靈活運(yùn)用，在證明過(guò)程中，常利用不等式的傳遞性對(duì)式子放縮【規(guī)律方法】 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，推導(dǎo)nk考點(diǎn)3歸納、猜想與證明“歸納猜想證明”的模式，是不完全歸納法與數(shù)學(xué)歸納法綜合應(yīng)用的解題模式其一般思路是：考點(diǎn)3歸納、猜想與證明通過(guò)觀察有限個(gè)特例，猜想出一般性的結(jié)論，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明這種方法在解決探索性問(wèn)題、存在性問(wèn)題或與正整數(shù)有關(guān)的問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用其關(guān)鍵是歸納、猜想出公式通過(guò)觀察有限個(gè)特例，猜想出一般性的結(jié)論，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明例3 在數(shù)列a n與bn中，a11，b14，數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足nSn1(n3)Sn0,2

7、an1為bn與bn1的等比中項(xiàng)，nN*.(1)求a2，b2的值；(2)求數(shù)列an與bn的通項(xiàng)公式例3 在數(shù)列a n與bn中，【思路分析】求an與bn的通項(xiàng)公式，先求an和bn的前幾項(xiàng)，猜想出an和bn，最后給出證明【思路分析】求an與bn的通項(xiàng)公式，先求an和bn數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)歸納法再證bn(n1)2，nN*，當(dāng)n1時(shí)，b14，等式成立假設(shè)nk時(shí)，等式成立，即bk(k1)2，那么nk1時(shí)，再證bn(n1)2，nN*，數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)歸納法【方法指導(dǎo)】“歸納猜想證明”的模式，是不完全歸納法與數(shù)學(xué)歸納法綜合應(yīng)用的解題模式，這種方法在解決探索性問(wèn)題、存在性問(wèn)

8、題時(shí)起著重要作用，它的模式是先由合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論，然后經(jīng)邏輯推理證明結(jié)論的正確性這種思維方式是推動(dòng)數(shù)學(xué)研究和發(fā)展的重要方式【方法指導(dǎo)】“歸納猜想證明”的模式，是不完全歸納法考點(diǎn)4用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題 平面上有n個(gè)圓，其中任何兩圓都相交，任何三圓不相交于同一點(diǎn)，求證：這n個(gè)圓把平面分成的區(qū)域數(shù)為f(n)n2n2.例4考點(diǎn)4用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題例4【思路分析】關(guān)鍵是nk到nk1的過(guò)渡，要想搞清f(k1)比f(wàn)(k)多出平面區(qū)域的塊數(shù)，就要先弄清第k1個(gè)圓被原來(lái)的k個(gè)圓分成了多少段，每一段把它所在的原平面區(qū)域一分為二，為此先求出第k1個(gè)圓與原來(lái)的k個(gè)圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可【思路分析】關(guān)鍵是nk到nk

9、1的過(guò)渡，要想搞清f(k【證明】(1)當(dāng)n1時(shí)，一個(gè)圓把平面分成兩個(gè)部分，又f(1)12122，所以n1時(shí)，命題成立【證明】(1)當(dāng)n1時(shí)，一個(gè)圓把平面分成兩個(gè)部分，(2)假設(shè)nk時(shí)命題成立，即平面內(nèi)滿足條件的k個(gè)圓把平面分成f(k)k2k2個(gè)部分則nk1時(shí)，第k1個(gè)圓與前k個(gè)圓中的每一個(gè)各有兩個(gè)交點(diǎn)，又無(wú)三圓相交于同一點(diǎn)，故共得2k個(gè)交點(diǎn)，這2k個(gè)交點(diǎn)把第k1個(gè)圓分成2k條圓弧，(2)假設(shè)nk時(shí)命題成立，即平面內(nèi)滿足條件的k個(gè)圓把平面分每條圓弧把原來(lái)所在的區(qū)域一分為二，所以平面的區(qū)域增加2k個(gè)，即f(k1)f(k)2kk2k22k(k1)2(k1)2，所以當(dāng)nk1時(shí)命題也成立由(1)(2)可

10、知，對(duì)一切正整數(shù)n，命題都成立每條圓弧把原來(lái)所在的區(qū)域一分為二，所以平面的區(qū)域增加2k個(gè)，方法技巧1在數(shù)學(xué)歸納法中，歸納奠基和歸納遞推缺一不可在較復(fù)雜的式子中，注意由nk到nk1時(shí)，式子中項(xiàng)數(shù)的變化，應(yīng)仔細(xì)分析，觀察通項(xiàng)同時(shí)還應(yīng)注意，不用假設(shè)的證法不是數(shù)學(xué)歸納法方法感悟方法技巧方法感悟2對(duì)于證明等式問(wèn)題，在證nk1等式也成立時(shí)，應(yīng)及時(shí)把結(jié)論和推導(dǎo)過(guò)程對(duì)比，以減少計(jì)算時(shí)的復(fù)雜程度；對(duì)于整除性問(wèn)題，關(guān)鍵是湊假設(shè)；證明不等式時(shí)，一般要運(yùn)用放縮法；證明幾何命題時(shí)，關(guān)鍵在于弄清由nk到nk1的圖形變化2對(duì)于證明等式問(wèn)題，在證nk1等式也成立時(shí)，應(yīng)及時(shí)把結(jié)3歸納、猜想、證明屬于探索性問(wèn)題的一種，一般經(jīng)過(guò)計(jì)

11、算、觀察、歸納，然后猜想出結(jié)論，再用數(shù)學(xué)歸納法證明由于“猜想”是“證明”的前提和“對(duì)象”，務(wù)必保證猜想的正確性，同時(shí)必須注意數(shù)學(xué)歸納法步驟的書(shū)寫3歸納、猜想、證明屬于探索性問(wèn)題的一種，一般經(jīng)過(guò)計(jì)算、觀察失誤防范數(shù)學(xué)歸納法是用來(lái)證明與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種常用方法，應(yīng)用時(shí)應(yīng)注意以下三點(diǎn)：失誤防范(1)驗(yàn)證是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)歸納法的原理表明：第一個(gè)步驟是要找一個(gè)數(shù)n0，這個(gè)n0就是要證明的命題對(duì)象的最小正整數(shù)，這個(gè)正整數(shù)并不一定都是“1”，因此“找準(zhǔn)起點(diǎn)，奠基要穩(wěn)”是正確運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法第一個(gè)要注意的問(wèn)題(1)驗(yàn)證是基礎(chǔ)(2)遞推乃關(guān)鍵數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)在于遞推，所以從“k”到“k1”的過(guò)程，必須把歸納

12、假設(shè)“nk”作為條件來(lái)導(dǎo)出“nk1”時(shí)的命題，在推導(dǎo)過(guò)程中，要把歸納假設(shè)用上一次或幾次(2)遞推乃關(guān)鍵(3)尋找遞推關(guān)系在第一步驗(yàn)證時(shí)，不妨多計(jì)算幾次，并爭(zhēng)取正確寫出來(lái)，這樣對(duì)發(fā)現(xiàn)遞推關(guān)系是有幫助的探求數(shù)列通項(xiàng)公式時(shí)要善于觀察式子的變化規(guī)律，觀察n處在哪個(gè)位置(3)尋找遞推關(guān)系在書(shū)寫f(k1)時(shí)，一定要把包含f(k)的式子寫出來(lái)，尤其是f(k)中的最后一項(xiàng)，除此之外，多了哪些項(xiàng)，少了哪些項(xiàng)要分清楚在書(shū)寫f(k1)時(shí)，一定要把包含f(k)的式子寫出來(lái)，尤命題預(yù)測(cè)從近幾年的高考試題來(lái)看，用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的不等式以及與數(shù)列有關(guān)的命題是高考的熱點(diǎn)，題型為解答題，考向瞭望把脈高考命題預(yù)測(cè)考向

13、瞭望把脈高考主要考查用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)命題的能力，同時(shí)考查學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，難度為中、高檔預(yù)測(cè)2013年廣東高考可能會(huì)以數(shù)列、有關(guān)的等式或不等式的證明為主要考點(diǎn)，重點(diǎn)考查學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法解決問(wèn)題的能力主要考查用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)命題的能力，同時(shí)考查學(xué)生分析問(wèn)題例規(guī)范解答 (本題滿分12分)(2010高考江蘇卷)已知ABC的三邊長(zhǎng)都是有理數(shù)求證：(1)cosA是有理數(shù)；(2)對(duì)任意正整數(shù)n，cosnA是有理數(shù)例規(guī)范解答 (本題滿分12分)(201數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)歸納法當(dāng)n1時(shí)，由(1)知cosA是有理數(shù)，從而有sinAsinA1cos2A也是有理數(shù). 4分假設(shè)當(dāng)nk(k1)時(shí)，coskA和sinAsinkA都是有理數(shù)當(dāng)nk1時(shí)，當(dāng)n1時(shí)，由(1)知cosA是有理數(shù)，從而有sinAs由cos(k1)AcosAcoskAsinAsinkA，sinAsin(k1)AsinA(sinAcoskAcosAsinkA)(sinAsinA)coskA(sinAsinkA)cosA，由cos(k1)A由和歸納假設(shè)，知cos(k1)A與sinAsin(k1)A都是有理數(shù)即當(dāng)nk1時(shí)，結(jié)論成立. 11分綜合、可知，對(duì)任意正整數(shù)n，cosnA是有理數(shù). 12分由和歸納假