【教學資料精創(chuàng)】數(shù)學中考專題訓練-圓的計算和證明

1、試卷第 =page 7 7頁，共 =sectionpages 7 7頁試卷第 =page 1 1頁，共 =sectionpages 3 3頁中考專題訓練圓的計算和證明1如圖，ABC中，CACB，以BC為直徑的O與底邊AB交于點D，過D點作O的切線DE，交AC于點E(1)證明：DEAC；(2)連接OE，當，SOCE6時，求O的半徑2如圖，O與ABC的邊BC相切于點D，與AB、AC的延長線分別相切于點E、F，連接OB，OC(1)若ABC=80，ACB=40，求BOC的度數(shù)(2)BOC與A有怎樣的數(shù)量關系，并說明理由3如圖，O是ABD的外接圓，AB為直徑點C是弧AD的中點，連接OC，BC分別交AD于

2、點E，F(xiàn)(1)求證：CADCBA；(2)若AB10，BC8，求OE的長4如圖，已知直線PA交O于A、B兩點，AE是O的直徑，點C為O上一點，且AC平分PAE，過C作CDPA，垂足為D(1)求證：CD為O的切線；(2)若CD2AD，O的半徑為10，求線段AB的長5如圖，AB是O的直徑，點C為O上一點，點P是半徑OB上不與O，B重合一點，分別交弦BC、弧BC于點D、E，連結FC、EB，F(xiàn)C=FD(1)求證：FC是O的切線(2)當點E是弧BC的中點時，若，O的半徑為，則圖中陰影部分面積為6如圖，已知AB、CD為O的兩條直徑，DF為切線，過AO上一點N作NMDF于M，連接DN并延長交O于點E，連接CE

3、(1)求證：DMNCED(2)設O上點G為點E關于AB對稱點，連接GD、GN，如果DNO45，O的半徑為2，則DN2+GN2為定值嗎？若為定值，請求出；若不為定值，請說明理由7如圖，AB是的弦，C是外一點，CO交AB于點P，交于點D，且CPCB(1)判斷直線與的位置關系，并說明理由；(2)若，求圖中陰影部分的面積8如圖在O中，D、E分別是半徑OA、OB的中點，C是O上一點，CD=CE(1)求證：；(2)若AOB=120，CD=2，求半徑OA的長9如圖，在中，O為上一點，以點O為圓心，為半徑作圓，與相切于點C，過點A作交的延長線于點D，且(1)求證：為的切線；(2)若，求的長10如圖，是的直徑，

4、是上的兩點，和的延長線交于點，連接(1)求證：；(2)若，求證：11如圖，在ABC中，AC4，BC20，C90，點O為AB邊上一點；O切邊AC于點D，設CDx，O的半徑為y(1)求y關于x的函數(shù)解析式(2)當y5時，求O在BC邊上截得線段EF的長12如圖，已知P，PB分別與O相切于點AB，APB60，C為O上一點 (1)如圖求ACB的度數(shù)；(2)如圖AE為O的直徑，AB與BC相交于點D，若ABAD，求BAC的度數(shù)13如圖，為的直徑，點C為上一點，于點D，平分(1)求證：直線是的切線；(2)若的半徑為2，求圖中陰影部分的面積14如圖，已知四邊形ABCD內接于O，AC是O的直徑，BE是O的切線，切

5、點為B，BEAD于點E連接OB、OD(1)求證：AEBABC；(2)若BC2BE，求證：四邊形ABOD是菱形15如圖，中，AC和BC分別與相切于E，F(xiàn)兩點，AB經過上的點M，且(1)求證：AB是的切線；(2)若，求的半徑16在O中，弦ABAC，且AB=AC=6D是O上一點（不在上），連接AD、BD、CD(1)如圖，若AD經過圓心O，求BD、CD的長；(2)如圖，若BAD=2DAC，連接BC、OD，且BC是直徑，求BD、CD的長17如圖，四邊形ABCD是O的內接四邊形，ABC=90，AD=CD，過A作O的切線交CD的延長線于點P(1)求P的度數(shù)；(2)若AB=6，BC=8，求PA、PD的長18如

6、圖，是的外接圓，為的直徑，點為上一點，交的延長線于點，與交于點，連接，若(1)求證：是的切線(2)若，求的半徑19如圖，在ABC中，ABAC， ，以AB為直徑作O分別交BC，AC于點D，E，連接AD，過點D作O的切線交AC于點F(1)試猜想和的數(shù)量關系，并說明理由(2)若，求AF的長20如圖1，四邊形ABCD內接于，BD為直徑，上點E，滿足，連接BE并延長交CD的延長線于點F，BE與AD交于點G，連接CE，(1)求證：；(2)如圖2，連接CG，若，求的周長答案第 = page 35 35頁，共 = sectionpages 28 28頁參考答案：1(1)見解析(2)【分析】（1）連接OD，根據

7、DE是O的切線，可得ODE90，由ACBC，可得OBDA，進而可得AODB，可得ODAC，即可證明結論；（2）連接CD，證明CDEABC，由得，設CE3x，CD5x，則DE4x，根據SOCE6可求出x的值，可得CD的長，由可得BC的長，即可得O的半徑（1）證明：如圖1，連接OD，則OD為O的半徑，DE是O的切線，ODE90，OBOD，OBDODB，ACBC，OBDA，AODB，ODAC，DEC180ODE90，DEAC；（2）解：連接CD，如圖2，BC為直徑，BDCCDA90，CDE+EDA90，DEAC，ADE+A90，ACDE，CACB，AB，CDEABC，設CE3x，CD5x，則DE4x

8、，SOCECEDE66，x1或x1（不合題意，舍去），x1，CD5，BC，O的半徑為【點評】此題主要考查了圓的切線的性質定理、圓周角定理、銳角三角函數(shù)、勾股定理、等腰三角形的判定和性質等知識，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關鍵2(1)60(2)BOC=90-A，見解析【分析】（1）方法一：先根據平角的定義求出EBC和DCF的度數(shù)，再根據切線長定理得到EBO=DBO=EBC=50，DCO=FCO=DCF=70 ，據此理由三角形內角和定理求解即可；方法二：如圖，連接OD，OE，OF，則由切線的性質可知，證明RtODBRtOEB(HL) ， RtODCRtOFC(HL)，得到EOB=DOB ，C

9、OD=COF，先求出A的 度數(shù)，再利用四邊形內角和定理求出EOF=120，則BOC=BOD+COD=EOF=60（2）同（1）方法二求解即可（1）解：方法一： 由題意得EBC=180-ABC=180-80=100，DCF=180-ACB=180-40=140， 由切線長定理可知，EBO=DBO=EBC=50，DCO=FCO=DCF=70 ，在OBC中，BOC=180-OBC-BCO=180-70-50=60；方法二：如圖，連接OD，OE，OF，則由切線的性質可知，BEO=BDO=CDO=CFO=90，又OD=OE=OF，OB=OB，OC=OC，RtODBRtOEB(HL) ， RtODCRtO

10、FC(HL)，EOB=DOB ，COD=COF，在ABC中，A=180-ABC-ACB=60，在四邊形AEOF中，A+EOF=180，EOF=120，BOC=BOD+COD=EOF=60（2）解：同（1）方法二可得，EOB=DOB ，COD=COF，BOC=BOD+COD=EOF=【點評】本題主要考查了切線的性質，切線長定理，三角形內角和定理，四邊形內角和定理，全等三角形的性質與判定等等，熟知切線的性質和切線長定理是解題的關鍵3(1)見解析(2)1.4【分析】（1）利用垂徑定理以及圓周角定理解決問題即可（2）證明AECBCA，推出，求出EC即可解決問題（1）證明：點C是弧AD的中點，CADCB

11、A；（2）解：連接OD，AB是直徑，ACB90，AB10，BC8，AC6，AEDE，OA=OD，OCAD，AEC90，AECACB，又CAE=ABC，AECBCA，CE3.6，OCAB5，OEOCEC53.61.4【點評】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，圓心角、弧、弦的關系定理，勾股定理，以及相似三角形的判定與性質，熟練掌握性質及定理是解決本題的關鍵4(1)見解析(2)12【分析】（1）連接OC由垂直的定義可得CADDCA90由等腰三角形的性質得OCAOAC，由角平分線的定義得OCADAC，最后根據垂直的定義及切線的判定方法可得結論；（2）作OFAB，垂足為F，根據矩形的判定與性質可得OCFD

12、，OFCD，設ADx，則OFCD2x，然后由勾股定理可得答案（1）解：連接OCCDPA，CDA90，CAD+DCA90，OAOC，OCAOAC，AC平分PAE，DACOAC，OCA=DAC ， DCODCA+OCADCA+DAC90，OCCD 又OC為O半徑CD是O切線（2）解：作OFAB，垂足為F，OCDCDFOFD90，四邊形CDFO是矩形，OCFD，OFCD，CD2AD，設ADx，則OFCD2x，DFOC10，AF10 x，在RtAOF中，解得x4或0（舍棄），AD4，AF6，OFAB，AB2AF12【點評】題考查的是切線的判定與性質、矩形的判定與性質、勾股定理、圓周角定理、垂徑定理等知

13、識，正確作出輔助線是解決此題的關鍵5(1)見解析(2)【分析】（1）連接OC通過等量代換證明即可；（2）連接OE依次證明和是等邊三角形，再利用銳角三角函數(shù)解直角三角形求出PE，DP，最后利用三角形面積公式求解（1）證明：如圖，連接OC，F(xiàn)C=FD，OC是O的半徑，F(xiàn)C是O的切線（2）解：連接OE，是等邊三角形，點E是弧BC的中點，是等邊三角形，陰影部分面積，故答案為：【點評】本題考查圓的切線，等邊三角形的判定與性質，等腰三角形三線合一的性質，銳角三角函數(shù)解直角三角形等，難度一般，解題的關鍵是熟練掌握切線的判定方法以及常見角的三角函數(shù)6(1)見解析；(2)DN2+GN2為定值，定值為8【分析】（

14、1）利用切線的性質和直徑所對的圓周角是直角求出ODDF，DEC90，再利用NMDF，可得ODNM，然后證明一組內錯角相等即可解答；（2）根據點G為點E關于AB對稱點，想到連接GE，再根據直徑所對的圓周角是直角，想到連接GC，然后證明DNG是直角三角形，可得DN2+GN2GD2，最后證明CGD是等腰直角三角形求出DG即可解答（1）證明：DF與O相切于點D，ODDF，NMDF，ODNM，MNDEDC，CD為O的直徑，DEC90，DECDMN90，DMNCED；（2）解：DN2+GN2為定值，定值為8連接GE，GC，DNO45，DNOANE45，點G為點E關于AB對稱點，AO垂直平分GE，GNNE，

15、GNAANE45，GNE90，GND180GNE90，DN2+GN2GD2，GNNE，GNE90，GENEGN45，GENGCD45，CD為O的直徑，CGD90，O的半徑為2，CD4，GDCDsin4542，DN2+GN2（2）28，DN2+GN2為定值，定值為8【點評】本題考查了切線的性質，圓周角定理，垂徑定理，軸對稱的性質，相似三角形的判定與性質，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵7(1)直線與相切，理由見解析(2)【分析】（1）根據等邊對等角得CPBCBP，根據垂直的定義得OBC90，即OBCB，則CB與O相切；（2）根據三角形的內角和定理得到APO60，推出PBC

16、是等邊三角形，得到PCBCBP60，求得BC2，根據勾股定理得到OB，根據三角形和扇形的面積公式即可得到結論（1）解：直線BC與O相切，理由：連接OB，OAOB，OABOBA，CPCB，CPBCBP，CPBAPO，CBPAPO，AOC90，在RtAOP中，OAB +APO90，OBA+CBP90，OBC90，OBCB，又OB是半徑，CB與O相切；（2）A30，AOP90，OP2，APO60，AP2OP4，AOBO，OAOB，OBAA30，BOPAPOOBA30OBP，OPPB2，BPDAPO60，PCCB，PBC是等邊三角形，PCBCBP60，BCPB2，圖中陰影部分的面積SOBCS扇形OBD

17、22【點評】本題考查了切線的判定、等邊三角形的判定和性質、勾股定理、扇形面積的計算，正確的作出輔助線是解題的關鍵8(1)見解析(2)4【分析】（1）連接OC，根據SSS證明OCDOCE，得出對應角相等CODCOE，由圓心角，弧，弦的關系即可得出結論；（2）連接AC，先證明AOC是等邊三角形，再得出CDOA，由三角函數(shù)求出OC，即可求得OA（1）證明：連接OC，如圖所示：D、E分別是半徑OA、OB的中點，OAOB，ODOE，在OCD和OCE中，OCDOCE（SSS），CODCOE，；（2）連接AC，如圖所示：AOB120，CODCOE60，OCOA，AOC是等邊三角形，D是OA的中點，CDOA，

18、OC4，OA4【點評】考查的是圓心角，弧，弦的關系、全等三角形的判定與性質、三角函數(shù)，解題關鍵是證明三角形全等和等邊三角形9(1)見解析(2)【分析】（1）作OEAB，先由AODBAD求得ABDOAD，再由BCOD90及BOCAOD求得OBCOADABD，最后證BOCBOE得OEOC，依據切線的判定可得；（2）在RtABC中求得AC8、AB10，由切線長定理知BEBC6、AE4，再證得，利用相似三角形的性質求得OE3，繼而得，再證ABDOBC得，據此可得答案（1）解：過點O作OEAB于點E，則，ADBO于點D，D90，BADABD90，AODOAD90，AODBAD，ABDOAD，又BC為O的

19、切線，ACBC，BCOD90，BOCAOD，OBCOADABD，在BOC和BOE中， ，BOCBOE（AAS），OEOC，OEAB，AB是O的切線；（2），中，由（1）可得，ABCBAC90，EOABAC90，EOAABC，解得，中， ，解得【點評】本題主要考查切線的判定與性質，解題的關鍵是掌握切線的判定、切線長定理、全等與相似三角形的判定與性質及解直角三角形的應用10(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據圓的內接四邊形性質可得：，再根據，可證得結論；（2）連接，由（1）可得，根據相似三角形的性質再結合已知條件即可證出結論（1）四邊形內接于，；（2）連接，是的直徑，由（1）已證，【點評】本

20、題主要考查了圓的內接四邊形性質，圓周角定理以及相似三角形的判定和性質，會靈活運用圓內接四邊形性質，圓周角定理以及相似三角形的知識解決問題是解本題的關鍵11(1)y=-5x+20(2)8【分析】（1）連接OD，如圖，根據切線的性質得到ODAC，再證明AODABC，利用相似比得到y(tǒng)與x的關系式；（2）先利用函數(shù)關系式求出y=5時對應的x的值得到CD=3，作OHBC于H，連接OE，如圖，根據垂徑定理得到EH=FH，易得四邊形ODCH為矩形，所以OH=CD=3，然后利用勾股定理計算出HE，從而得到EF的長（1）解：連接OD，如圖，O切邊AC于點D，ODAC，C=90，BCAC，ODBC，AODABC，

21、即，y=-5x+20；（2）當y=5時，-5x+20=5，解得x=3，即CD=3，作OHBC于H，連接OE，如圖，則EH=FH，ODC=C=OHC=90，四邊形ODCH為矩形，OH=CD=3，在RtOEH中，EF=2HE=8【點評】本題考查了切線的性質，垂徑定理和相似三角形的判定與性質，函數(shù)關系式，掌握以上知識是解題的關鍵12(1)60(2)45【分析】（1）連接OA、OB，根據切線的性質得到OAP=OBP=90，根據四邊形內角和等于360計算；（2）連接CE，根據圓周角定理得到ACE=90，由（1）知ACB=60，則BCE=90-60=30，根據圓周角定理可得BAE=BCE=30，再根據等腰

22、三角形的性質、三角形的外角性質可計算出EAC =15，然后由BAC=BAE+EAC即可求解（1）解：連接OA、OB，PA，PB是O的切線，OAP=OBP=90，AOB=360-90-90-60=120，由圓周角定理得，ACB=AOB=60；（2）解：連接CE，AE為O的直徑，ACE=90，由（1）知ACB=60，BCE=90-60=30，BAE=BCE=30，AB=AD，ABD=ADB=75，EAC=ADB-ACB=15BAC=BAE+EAC=30+15=45【點評】本題考查的是切線的性質、圓周角定理、等腰三角形的性質，掌握圓的切線垂直于經過切點的半徑是解題的關鍵13(1)見解析(2)【分析】

23、（1）連接OC，根據OB=OC，以及平分推導出，即可得出，從而推出，即證明得出結論；（2）過點O作于F，利用即可得出答案（1）證明：連接OC，如圖，平分，于點D，直線是的切線；（2）過點O作于F，如圖，【點評】本題考查了圓的綜合問題，包括垂徑定理，圓的切線，扇形的面積公式等，熟練掌握以上性質并正確作出輔助線是本題的關鍵14(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由題意可得ABC=OBE=AEB=90，從而可求得OBC=ABE，由結合OB=OC，則OCB=OBC，則有ACB=ABE，從而可判定AEBABC；（2）由（1）可得AEBABC，則，從而得到AC=2AB，則有AB=OB=OA，故ABO是等

24、邊三角形，則AOB=60；易證得OBDE，則DAO=AOB=60，故可判定ADO是等邊三角形，從而得OD=OB=DA=AB，即可證得四邊形ABOD是菱形（1）證明： BE是O的切線 OBBEABO+ABE 90AC是O的直徑ABC90ABO+OBC90 ABEOBC又OBOCOBCOCB ABEOCBBEADAEB90 AEBABCAEBABC（2）AEBABC， BC2BE，BAEBAC AC=2ABOA=OB=OA=OB=ABAOB是等邊三角形BE是O的切線，切點為B，BEAD于點E，OBE=AEB=90，OBE+AEB=180，OBDE，DAO=AOB=60，OD=OA，AOD是等邊三角

25、形，OD=DA=OA，OD=OB=DA=AB，四邊形ABOD是菱形【點評】本題主要考查相似三角形的判定與性質，菱形的判定，圓內接四邊形的性質，解答的關鍵是對相應知識的掌握及靈活運用15(1)見解析(2)2【分析】（1）連接OA，OE，OM，證明AMOAEO即可證明；（2）連接OF，證明四邊形OFCE是正方形，在RtABC中利用勾股定理解得AB，進而得到的半徑（1）證明：連接OA，OE，OM AC切O于點E，OE是O的半徑OEACAEO=90在AMO和AEO中AMOAEO(SSS)AMO=AEO=90OMABOM是O的半徑AB是O的切線（2）解：連接OF設O的半徑為rBC與O相切于點F，OFBC

26、，OFC=90，又因為C=90，OEC=90，且OF=OE，四邊形OFCE是正方形，CF=CE=OE=r，AB、BC、AC都與O相切，BM=BF=6r，AM=AE=8r，在RtABC中，BM+AM=AB，6r+8r=10 ，r=2O的半徑為2【點評】本題主要考查三角形全等的判定與性質，圓的切線的證明，勾股定理，掌握定理與性質是解題的關鍵16(1)BD6，CD6(2)，BD【分析】（1）由AD經過圓心O，利用圓周角定理得ACD=ABD=90，又因為ABAC，得到四邊形ABCD為矩形，易得結果；（2）由BAD=2DAC，ABAC，由圓周角定理得BC為直徑，易得CAD=30，BAD=60，證明COD

27、為等邊三角形，求得CD，BD（1）解：AD是O的直徑，C=B=90，ABAC，BAC=90，四邊形ABDC是矩形，AB=AC=6，BD=AC=6，CD=AB=6；（2）BAC=90，BAD=2DAC，BAD=60，DAC=30，COD=2CAD=60，OCOD，COD是等邊三角形，CD=OC，在RtABC中，在RtBCD中，【點評】本題主要考查了圓周角定理、勾股定理、等邊三角形的判定和性質、矩形的判定和性質等知識，熟練掌握相關定理是解答此題的關鍵17(1)45(2)PA10，PD【分析】（1）連接AC，利用圓周角定理得到AC為O的直徑，則ADC=90，再證明ACD=CAD=45，接著根據切線的性質得到PAC=90，從而得到P=45；（2）先利用勾股定理計算出AC=10，則利用P=ACP=45得到AP=10，然后利用APD為等腰直角三角形得到PD的長度（1）解：連接AC，如圖，ABC=90，AC為O的直徑，ADC=90，AD=CD，ACD=CAD=45，PA為O的切線，CAPA，PAC=90，P=90-ACD=45；（2）解：在RtABC中，P=ACP=45，AP=AC=10，ADC=90，APD為等腰直角三角形，【點評】本題考查了切線的性質、圓周角定理、勾股定理、等腰直角三