空間向量知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)

1、空間向量與立體幾何知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)一知識(shí)要點(diǎn)。空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。注：(1)向量一般用有向線段表示同向等長的有向線段表示同一或相等的向量。(2)向量具有平移不變性空間向量的運(yùn)算。定義：與平面向量運(yùn)算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算如下(如圖)。mr uur Uur r v uur uur mr r r 岫7 r .OB = OA + AB = a + b BA = OA - OB = a - b OP = *a(*G R)運(yùn)算律：加法交換律：a+ b b a,叱只a a. 3 a 加法結(jié)合律：(a+b a+c=a+(a+c 數(shù)乘分配律：X(a + b)=

2、漬+ Xb運(yùn)算法則：三角形法則、平行四邊形法則、平行六面體法則共線向量。如果表示空間向量的少向線段所在的直線平行或重合，那么這些向量也叫做共線向量或平行 向量，a平行于b，記作“。qPPPqPQP共線向量定理：空間任意兩個(gè)向量a、b ( b豐0 )，a/b存在實(shí)數(shù)人，使a =人b。三點(diǎn)共線：A、B、C三點(diǎn)共線AB = X ACOC= xOA+ yOB其中x+y=1) TOC o 1-5 h z a土 a(4)與共線的單位向量為a共面向量(1)定義：一般地，能平移到同一平面的向量叫做共面向量。說明：空間任意的兩向量都是共面的。r rrr rX yr (2?共面向量定理：如果兩個(gè)向量a,b不共線，

3、p與向量a,b共面的條件是存在實(shí)數(shù)/使p = xa + yb(3)四點(diǎn)共面：若A、B、C、P四點(diǎn)共面。砂=XAB + yACOP = xOA + yOB + zOC (其中 x + y + z = 1) r r rr HYPERLINK l bookmark25 o Current Document a, b, cp空間向量基本定理：如果三個(gè)向量不共面，那么對(duì)空間任一向量，存在一個(gè)唯一rrr_r 的有序?qū)崝?shù)組，z，使p=球+yb+zc。 r r rr f r若三向量 不共面，我們把a(bǔ),bc叫做空間的一個(gè)基底，abc叫做基向量，空間任意 三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底。 x y z U

4、U論：詵時(shí),B勺是不共面的里點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P，都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù) OP = xOA + yOB + zOC 使。空間向量的直角坐標(biāo)系：（1）空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)系 xyz中，對(duì)空間任一點(diǎn)A，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組（x, y z），使， .A - xi + yi + zk，有序?qū)崝?shù)組（x,y,z）叫作向量A在空間直角坐標(biāo)系 O-xyz中的坐標(biāo)，記作 A（x, y,z） ，x叫橫坐標(biāo)，y叫縱坐標(biāo)，z叫豎坐標(biāo)。注：點(diǎn)A（x,y,z）關(guān)于x軸的的對(duì)稱點(diǎn)為（x,-y,-z）,關(guān)于xoy平面的對(duì)稱點(diǎn)為（x,y,-z）.即點(diǎn)關(guān) 于什么軸/平面對(duì)稱，什么坐標(biāo)不變，其余的分坐標(biāo)均相反。

5、在y軸上的點(diǎn)設(shè)為（0,y,0）,在平面yOz 中的點(diǎn)設(shè)為（0,y,z）r r r（2）若空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直且長為i，這個(gè)基底叫單位正交基底，用i k表 a = xl + yj + zk(3%空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律：若 (3%空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律：若 a = (a，a , a )，b = (b ,b ,b )，* r 12 3123a 一 b = (a 一 b , a 一 b , a 一 b ) r r 112233a-b = ab + a b + a b r r 1 12 23 3 ，a / b = a = Xb , a = Xb ,a b。ab + a b + a b

6、= 0_o1 12 23 3若 A(x , y , z )，B(x , y , z )，若1 1 1222r ra + b = （a + b , a + b , a + b ） 則 r 11 22 33=人b (人e R) 3，uur則 AB = (x=人b (人e R) 3，uur則 AB = (x2-xy2一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)。AP = k PB，則點(diǎn)P坐標(biāo)為定比分點(diǎn)公式：若AR頊1AP = k PB，則點(diǎn)P坐標(biāo)為,x +Xx y +Xy z + Xz (12,12,12 )設(shè) P （ x,y,z ）則(1+ X , 1+ X ,

7、 1+ X )設(shè) P （ x,y,z ）則(xx1 yy1, zz1)= (x2 x, y2 y, z2 z) TOC o 1-5 h z x +x y + y z + zP ( 12 , 12 , 12 )22P坐標(biāo)為AABC中, A(x , y ,z) ,B(x , y ,z ),C(x , y ,zP坐標(biāo)為111222333 ，三角形重心x + x + x y + y + y z + z + z、P ( 123,123 , 123 )322、ABC的五心：AP = x (心P：AP = x (心P：切圓的圓心，角平分線的交點(diǎn)。aB aC.+aBAC)(單位向量)PAPA = P = PC

8、外心P：外接圓的圓心，中垂線的交點(diǎn)。 *垂號(hào)：高的交點(diǎn)：PA PB=PA PC=PB PC (移項(xiàng)，積為0，則垂直)1-重心P：中線的交點(diǎn)，三等分點(diǎn)(中位線比)AP = 3(AB + AC)中心：正三角形的所有心的合一。r(4)中心：正三角形的所有心的合一。r(4)模長公式：若 a = (a ,a ,a )，b = (b ,b ,b )r1 2 31_ 2 3 _則* 1 a |=1 2rI b 1=a - a = : a 2 + a 2 + a 2 12 r r.r r a - b(5)夾角公式：g,a-氣=*，2 + b 2 + b2a b + a b + a b1 12 23 3 ABC

9、中AB AC 0 A為銳角aB aC 0 A為鈍角，鈍角(6)兩點(diǎn)間的距離公式：若A(x ,y ,z )，B(x ,y ,z )， TOC o 1-5 h z uur e ,23*123 1 1 2 223*123則 I AB I= AB2 = (x x )2 + (y y )2 + (z z )2 ，*212121或 d = J(x x )2 + (y y )2 + (z z )2A, B、 212121空間向量的數(shù)量積。uur r uur r空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向*, r，在空間任取一點(diǎn)o，作0A=a, ob=b 則ZAOB叫做向量a與b的夾角，記作 ；且規(guī)定0 K ，顯然有

10、L flr r 兀 一 r_rr r= ；若=，則禰a與b互相垂直，記作：a b。uur r 2uurrr向量的模：設(shè)OA = a，則有向線段OA的長度叫做向量a的長度或模，記作：I a I。r rrr 一r r向量的數(shù)量積：已知向量a,b，則1 a I I b I COS 叫做a,b的數(shù)量積，記作a -b，r r r _rx 即 a - b = I a I -1 b I - cos。(4)空間向量數(shù)量積的性質(zhì)： r r r r r r r r r rr a - e =I a I cos a 上 b 0 a *b 0(5) r間宣量數(shù)量積r算律：r r r r r(Xa).b =X(d * b

11、) a * (人b)。 a * b b * a (交換律”r r rr r r ra *(b +Q = a *b + a *、分配律)。（a * b）c 壬 a（b * c）不滿足乘法結(jié)合率：v二空間向量與立體幾何1 線線平行兩線的方向向量平行1線面平行線的方向向量與面的法向量垂直2面面平行0兩面的法向量平行2線線垂直（共面與異面）0兩線的方向向量垂直1線面垂直0線與面的法向量平行2面面垂直0兩面的法向量垂直 3線線夾角0 （共面與異面）0。,90。 0兩線的方向向量n, n 2的夾角或夾角的補(bǔ)角，coso = cos 1線面夾角0 0。,90。:求線面夾角的步驟：先求線的方向向量AP與面的法

12、向量n的夾角，若為sin o = cos 銳角角即可，若為鈍角，則取其補(bǔ)角；再求其余角唧是線面的夾角.2面面夾角（二面角）0 。,180。:若兩面的法向量一進(jìn)一出，則二面角等于兩法向量ni，n2的夾角；法向量同進(jìn)同出，則二面角等于法向量的夾角的補(bǔ)角CS -COS uuu4 點(diǎn)面距離h :求點(diǎn)P（x ,y ）到平面a的距離：在平面a上去一點(diǎn)Q（x,yJ，得向量PQ .；計(jì)算1線面距離（線面平行）：轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離2面面距離（面面平行）：轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離【典型例題】1 基本運(yùn)算與基本知識(shí)（）例k已知平行六面體牌%時(shí)ffip,化簡下列向量表達(dá)式,標(biāo)出化簡結(jié)果的向量。 AB + BC ； AB + AD

13、+ AA ；uur uur 1 uurnr1 uun umr uuur AB + AD + CC ； 3(AB + AD + AAf)。例2r對(duì)空間任薩和不共線的三點(diǎn)A，BC，問滿足向量式：OP = xOA + yOB + zOC （其中 x + y + z = 1 ）的四點(diǎn) P, A,B,C 是否共面？例 3 已知空間三點(diǎn)。，2,3），B（-2，1，6），C（1，-1，5）o求以向量AB, AC為一組鄰邊的平行四邊形的面積S； ruuur uuirr .r若向量a分別與向量AB, AC垂直，且| a | =、3，求向量a的坐標(biāo)。2基底法（如何找，轉(zhuǎn)化為基底運(yùn)算）3坐標(biāo)法（如何建立空間直角坐標(biāo)

14、系，找坐標(biāo)）4 幾何法編號(hào)03晚自習(xí)測(cè)試；17，18題例 4.如圖，在空間四邊形OABC 中，OA = 8，AB = 6，AC = 4，BC = 5，ZOAC = 45。，ZOAB = 60。， 求OA與BC的夾角的余弦值。uunr umruunr umr說明：由圖形知向量的夾角易出錯(cuò)，如 OA, AC= 135o易錯(cuò)寫成 OA, AC= 45。，切記！例5.長方體ABCD - A B C D中，AB = BC = 4，E為A C與B D的交點(diǎn)，F(xiàn)為BC與B C的交點(diǎn)，又AF BE，求長方體的高BB，。111【模擬試題】1.已知空間四邊形ABCD ，連結(jié)AC,BD，設(shè)M,G分別是BC,CD的中點(diǎn)，化簡下列各表達(dá)式，并標(biāo) uuur uur uur出化簡結(jié)果向量:（1）AB + BC + CD ；uur i uur uurumr 1 uur umr（2）AB + CBD + BC） ；（3）AG-（AB + AC）。2.已知平行四邊形ABCD，從平面AC外一點(diǎn)O引向量。uur uur unllui uur lur mu uuiOE = kOA