立體幾何動態(tài)問題專題

1、立體幾何的動態(tài)問題立體幾何的動態(tài)問題，主要有五種：動點問題、翻折問題、旋轉(zhuǎn)問題、投影與截面問題以及軌 跡問題。基本類型：點動問題；線動問題；面動問題；體動問題；多動問題等。解題時一般可以通 過改變視角、平面化或者尋找變化過程中的不變因素而把問題回歸到最本質(zhì)的定義、定理或現(xiàn)有的 結(jié)論中，若能再配以沉著冷靜的心態(tài)去計算，那么相信絕大多數(shù)問題可以迎刃而解。動點軌跡問題空間中動點軌跡問題變化并不多，一般此類問題可以從三個角度進行分析處理，一是從曲線定義或函數(shù)關(guān)系出發(fā)給出合理解釋；二是平面與平面交線得直線或線段；三是平面和曲面（圓錐，圓柱側(cè)面，球面）交線得圓，圓錐 曲線。很少有題目會脫離這三個方向。（注

2、意：阿波羅尼斯圓，圓錐曲線第二定義）,B為斜足，平面a上的動點P滿足NPAB（2015 浙江卷8）如圖11-10,斜線段AB與平面a,B為斜足，平面a上的動點P滿足NPABA.直線A.直線B.拋物線C.橢圓D.雙曲線的一支n式題如圖，平面a的斜線AB交a于B點，且與a所成的角為。，平面a內(nèi)有一動點C滿足ZBAC=-，若動 6點C的軌跡為橢圓，則0的取值范圍為（2015春龍泉驛區(qū)校級期中）在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是AR的中點，點P在側(cè)面BCC上運 動.現(xiàn)有下列命題：若點P總保持PABD1，則動點P的軌跡所在的曲線是直線；若點P到點A的距離為氣3,則動點P的軌跡所在的曲線

3、是圓；若P滿足ZMAP=ZMAC1，則動點P的軌跡所在的曲線是橢圓；若P到直線BC與直線C1D1的距離比為2： 1，則動點P的軌跡所在的曲線是雙曲線；若P到直線AD與直線CC1的距離相等，則動點P的軌跡所在的曲線是拋物線.其中真命題的個數(shù)為（）4B. 3C. 2D. 1（2018溫州模擬）已知線段AB垂直于定圓所在的平面，B, C是圓上的兩點，H是點B在AC上的射影，當(dāng)C運動，點H運動的軌跡（）A.是圓B.是橢圓 C.是拋物線 D.不是平面圖形（2013-鐵嶺模擬）如圖所示，APAB所在的平面a和四邊形ABCD所在的平面B互相垂直，且ADa, BCa, TOC o 1-5 h z AD=4,

4、BC=8, AB=6.若 tanNADP-2tanNBCP=1，則動點 P 在平面 a 內(nèi)的軌跡是（）A.橢圓的一部分B.線段。.雙曲線的一部分D.以上都不是（2013-嘉興二模）設(shè)m是平面a內(nèi)的一條定直線，P是平面a外的一個定點，動直線n經(jīng)過點P且與m成30角，則直線n與平面a的交點Q的軌跡是（）A.圓B.橢圓。.雙曲線D.拋物線（2008浙江）如圖，AB是平面a的斜線段，A為斜足，若點P在平面a內(nèi)運動，使得AABP的面積為定值，則動點P的軌跡是（）A.圓B.橢圓C. 一條直線D.兩條平行直線（2015春臺州校級月考）AB是平面a的斜線段，長度為2,點A是斜足，若點P在平面a內(nèi)運動，當(dāng)AAB

5、P的面積等于3時，點P的軌跡是（）A.圓B.橢圓C-雙曲線D.拋物線（2016浙江二模）在正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2.若點M在ABC所在平 面上運動，且使得人。的面積為1,則動點M的軌跡為（ ）AMB.橢圓。.雙曲線AMB.橢圓。.雙曲線D,拋物線（2016武漢校級模擬）如圖，AB是平面a外的固定斜線段，B為斜足，若點C在平面a內(nèi)運動，且ZCAB等于直線AB與平面a所成的角，則動點C的軌跡為（）AMB.橢圓CAMB.橢圓C-雙曲線D,拋物線AP。.雙曲線的一部分D.圓的一部分AP。.雙曲線的一部分D.圓的一部分（2008年浙江理10）如圖，AB是

6、平面a的斜線段，A為斜足，若點P在平面a內(nèi)運動使得ABP的面積為定 值，則動點P的軌跡是 （）（A）圓（B）橢圓 （C） 一條直線（D）兩條平行直線一（2014年金華高二十校聯(lián)考文10）圓柱的軸截面ABCD是邊長為2的正方形，M為正方形ABCD對角線的交點，動點P在圓柱下底面內(nèi)（包括圓周），若直線BM與直線MP所成角為45，則點P形成的軌跡為 （）A.橢圓的一部分B.拋物線的一部分.M（2014杭州二模）在等腰梯形ABCD中，E，F(xiàn)分別是底邊AB，BC的中點，把四邊形AEFD沿直線EF折起后所 在的平面記為a，pa，設(shè)PB，PC與a所成的角分別為七 喝（七氣均不為零）.若。尸氣，則滿足 條件的

7、P所形成的軌跡是.（2018秋諸暨市校級期中）如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐P-ABCD中，E, F分別是棱AD, BP上的動點，且滿足AE=2BF，則線段EF中點的軌跡是（）A. 一條線段A. 一條線段B. 一段圓弧C.拋物線的一部分D. 一個平行四邊形（2015秋太原期末）如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為棱B】的中點，點Q在側(cè)面DCCR內(nèi) 運動，給出下列結(jié)論：若BQA1C，則動點Q的軌跡是線段；若|BQ|=E，則動點Q的軌跡是圓的一部分;若ZQBD1=ZPBD1，則動點Q的軌跡是橢圓的一部分;若點Q到AB與DD1的距離相等，則動點Q的軌跡是拋物線的一部分.其中結(jié)

8、論正確的是 （寫出所有正確結(jié)論的序號）.在線段CC上從在線段CC上從C移動到C時，點0B如圖，長方體ABCD-A B，C D中，AB=BC=E，AA二*2 上底面A，B，C D的中心為0，當(dāng)點E在平面BDE上的射影G的軌跡長度為（2016秋溫州期末）點P為棱長是2的正方體ABCD-A1B1C1D1的內(nèi)切球0球面上的動點，點M為BR的中點，若滿足DPBM，則動點P的軌跡的長度為（）2/5 兀（2018-寧波二模）已知棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為側(cè)面BB1C1C中心，F(xiàn)在棱AD上運動，正方體 表面上有一點P滿足瓦仲=*訂+虹作（xN0, yN0），則所有滿足條件的P點構(gòu)成圖形

9、的面積為.（2017定海區(qū)校級模擬）已知異面直線a, b所成角為60，直線AB與a, b均垂直，且垂足分別是點A, B 若動點Pea，Qcb，|PA| + |QB|=m，則線段PQ中點M的軌跡圍成的區(qū)域的面積是.（2017秋贛州期末）如圖，在等腰梯形ABCD中，CD=2AB=2EF=2a，E，F(xiàn)分別是底邊AB，CD的中點，把四邊形BEFC沿直線EF折起，使得平面BEFC平面ADFE.若動點Pe平面ADFE，設(shè)PB，PC與平面ADFE所成的角 分別為服，脂次，均不為0）.若。尸脂，則動點P的軌跡圍成的圖形的面積為（）BSEFE ASEABSEFE ASEAC.D. aC.翻折問題面（動問題）翻折

10、問題的一線五結(jié)論一線：垂直于折痕的線即DF AE.五結(jié)論：1）折線同側(cè)的幾何量和位置關(guān)系保持不變；折線兩側(cè)的幾何量和位置關(guān)系發(fā)生改變；2）ZD0F是二面角D-H - F的平面角；3）D在底面上的投影一定射線DF上；5）面ADE繞AE翻折形成兩個同底的圓錐.4）點D的軌跡是以H為圓心，DH為半徑的圓；1、（2016年聯(lián)考試題）平面四邊形ABCD中，AD=AB=；2，CD=CB= 180C.線段C0的長|C0|w1，耳）D.點0的軌跡是圓弧9. （2018*臺州一模）如圖，在直角梯形ABCD 中，ABCD，NABC=90，AB=1，AC=CD=DA=2,動點 M 在邊 DC上（不同于D點），P為邊

11、AB上任意一點，沿AM將ADM翻折成ADM，當(dāng)平面ADM垂直于平面ABC時，線段PD長度的最小值為PD長度的最小值為D10.如圖，已知矩形ABCD中，一，平面 ，且 .為線段 上一點，沿直線 將 翻折成，為的中點，則三棱錐 體積的最小值是以靜制動（旋轉(zhuǎn)問題、投影與截面問題）1. （2006以靜制動（旋轉(zhuǎn)問題、投影與截面問題）1. （2006年浙江理14）正四面體ABCD的棱長為1,棱AB 平面a， 成的圖形面積的取值范圍是.則正四面體上的所有點在平面a內(nèi)的射影構(gòu)2.（16屆高考模擬卷理）正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，底面ABCD的對角線BD在平面a內(nèi)，則正方體在平 a內(nèi)的投影構(gòu)成

12、的圖形面積的取值范圍是，2.3. （16屆嘉興一模文15）邊長為1的正方體ABCD - A1 BC 1 D1將其對角線AC1與平面以垂直，則正方體ABCD - A1 BC1 D1在平面以上的投影面積為如圖，直線l 平面a,垂足為O，正四面體ABCD的棱長為4, C在平面a內(nèi)，B是直線l上的動點，則當(dāng) TOC o 1-5 h z O到AD的距離為最大時，正四面體在平面a上的射影面積為（）A. 4 + 2克B. 2豆 + 2C. 4D. 4*棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1在空間直角坐標系中移動，但保持點A、B分別在X軸、y軸上移動，則點C1 到原點O的最遠距離為（）A. 2技B. 2君C

13、. 5D. 4 6. （16屆寧波一模理14）在AABC中，匕BAC = 10, ZACB = 30。，將直線BC繞AC旋轉(zhuǎn)得到BC，直線AC 繞AB旋轉(zhuǎn)得到AC1，則在所有旋轉(zhuǎn)過程中，直線BC與直線AC1所成角的取值范圍為.（2012-浙江校級模擬）如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為線段AD，BC上的點，ZABE=20，ZCDF=30.將 ABE繞直線BE.ACDF繞直線CD各自獨立旋轉(zhuǎn)一周，則在所有旋轉(zhuǎn)過程中，直線AB與直線DF所成角的最大 值為.B /F C（2018秋浙江期中）如圖，正方形ABCD與矩形BCEF所成的二面角的平面角的大小是號，現(xiàn)將AABD繞AB旋 轉(zhuǎn)一周，則在旋轉(zhuǎn)過

14、程中，直線BD與平面BCEF所成角的取值范圍是.FF動態(tài)最值問題1. （16屆高考模擬卷理）將一個棱長為。的正方體嵌入到四個半徑為1且兩兩相切的實心小球所形成的球間空隙內(nèi)，使得正方體能夠任意自由地轉(zhuǎn)動，則。的最大值為（）A.A.2.4+2 . 23.()如圖所示，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P, Q分別為BD1, BB1上的動點，則 C1PQ周長的最小值為2.4+2 . 23.()4.（2014秋 西城區(qū)期末）如圖，在邊長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P、Q分別為棱AB、AR的中點，M、N分 別為面BCC1B1和DCC1D1上的點，一質(zhì)點從點P射向點M，遇正方體

15、的面反射（反射服從光的反射原理），反射到 點N，再經(jīng)平面反射，恰好反射至點Q，則三條線段PM、MN、NQ的長度之和為（ ）4.（2014年7月浙江學(xué)考第25題）在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，e、F分別是棱A1D1、C1 D1的中點， N為線段B1C的中點，若P、M分別為D1B、EF的動點，則PM+PN的最小值為 5.如圖，在四棱柱ABCD A1 BC D中，底面ABCD是邊長為1的正形，AA1 底面ABCD, AA = 2, E為棱BB的中點，點M是四棱柱ABCD ABCD表面上的一個動點，且CM AE，則AM + MD最小值為（）1111A.B.c. *D.3A.B.c.

16、*如圖，在平面四邊形ABCD中，AB=BC=1, AD=CD= .E,ZDAB=NDCB=90，點P為AD中點，M, N分別在 線段BD, BC上，則PM號N的最小值為.D8如圖，在棱長為2的正四面體S-ABC中，動點P在側(cè)面SAB內(nèi)，PQ底面ABC，垂足為Q,若PS與PQ,則 PC長度的最小值為.（2018金華模擬）如圖，若三棱錐A-BCD的側(cè)面ABC內(nèi)一動點P到底面BCD的距離與到點A的距離之比為正常數(shù)入，且動點P的軌跡是拋物線，則二面角A-BC-D平面角的余弦值為（）9. （15年上海高考題改編）在四面體ABCD中，已知AD BC，AD = 6,BC = 2，AB + BD = AC +

17、 CD = t（t = A，則V四面體ABCD最大值的取值范圍是A.匕昆+A.匕昆+8）B.成+3）C.頃2+8) D. 2,+3)10. （2016秋越城區(qū)校級期末）如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P, Q分別是線段CC1, BD上的點,R是直線AD上的點，滿足PQ平面ABC1D1，PQRQ,且P、Q不是正方體的頂點，則|PR|的最小值是 TOC o 1-5 h z A .苛R 須C 3n 23A. B. C. D.6523(16屆金華十校一模理14)在四面體ABCD中，已知ADBC, AD=6, BC=2,且AB = AC =2，則V匹而 BD CD四面最大值為A.

18、6B. 2 51C. 2、15D.8在正四面體ABCD中，M是AB的中點，N是棱CD上的一個動點，若直線MN與BD所成的角為a，則cos a的 取值范圍是.如圖，AD與BC是四面體ABCD中互相垂直的棱，若BC=2, AD=4,且NABD=NACD=60。，則四面體ABCD的體積的最大值是（15屆高考模擬卷文）如圖，已知球O是棱長為1的正方體ABCD - ABCD的內(nèi)切球，則平面ACD截球O球O的截面面積為15. （2014 浙江卷理科17）某人在垂直于水平地面ABC的墻面前的點A處進行射擊訓(xùn)練.已知點A到墻面的距離 為此，某目標點P沿墻面上的射線CM移動，此人為了準確瞄準目標點P，需計算由點

19、A觀察點P的仰角0的大小.若AB=15 m, AC=25 m,ZBCM=30，則tan 0的最大值是.（仰角0為直線AP與平面ABC所成角）（16屆金華十校一模17）如圖，在矩形ABCD中，已知AB=2, AD=4,點E、F分別在AD、BC上，且AE=1, BF=3, 將四邊形AEFB沿EF折起，使點B在平面CDEF上的射影H在直線DE上.（I）求證：CDBE;（II）求線段BH的長度；（IH）求直線AF與平面EFCD所成角的正弦值.（2018-諸暨市二模）如圖，矩形中ABCD, AB=1，BC= 冗 E是線段BC （不含點C）上一動點，把ME沿AE 折起得到AB E，使得平面B，AC平面AD

20、C，分別記B，A，B，E與平面ADC所成角為a，8，平面B，AE 與平面ADC所成銳角為0，則（）A.0aB B.02aC.02 8D. tan02tana（2017秋嘉興期末）如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)分別是棱 處，CC】的中點，過EF的平面 與棱BB1，DD1分別交于點G，H.設(shè)BG=x，x 0，1.四邊形EGFH 一定是菱形；AC平面EGFH；四棱錐A - EGFH的體積為定值.四邊形EGFH的面積S=f （x）在區(qū)間0，1上具有單調(diào)性；以上結(jié)論正確的個數(shù)是（）A4B3C2D1A4B3C2D1（2018秋小店區(qū)校級期中）在三棱錐P-ABC中，PA1平面ABC，ZBAC=90，D，E