丘成桐講演幾何魅力及應(yīng)用課件

1、拓?fù)浜蛶缀蔚默F(xiàn)代發(fā)展歐拉 (1707-1783)多面體的歐拉公式，組合幾何，變分分析，幾何與力學(xué)，極小曲面。高斯 (1777-1855)雙曲幾何 ( 和羅巴切夫斯基 ( 1792-1856), 波爾約 (1802-1829)一起 )，高斯曲率的內(nèi)蘊(yùn) 定義。 )拓?fù)浜蛶缀蔚默F(xiàn)代發(fā)展歐拉 (1707-1783)高斯(1817)我越來越確信幾何的必然性無法被驗證，至少現(xiàn)在無法被人類或為了人類而驗證。我們或許能在未來領(lǐng)悟到那無法知曉的空間的本質(zhì)。我們無法把幾何和純粹是先驗的算術(shù)歸為一類。幾何和力學(xué)卻不可分割。高斯(1817)我越來越確信幾何的必然性無法被驗證，至少現(xiàn)在黎曼(1826-1866)在抽象定

2、義的空間上引入黎曼度量在無窮小近似下就是歐氏幾何。然而只在一階近似下是等同的。二階近似由度量的曲率張量來衡量。導(dǎo)致了幾何學(xué)的革命。 克里斯托費(fèi)爾，列維-齊維塔，比安基，發(fā)展了這類抽象空間上的微積分。黎曼(1826-1866)在抽象定義的空間上引入黎曼度量黎 曼 面后來人們意識到對二維空間，每個黎曼度量都可以寫成如果引入復(fù)數(shù)度量可寫成黎 曼 面后來人們意識到對二維空間，每個黎曼度量都可以寫成黎 曼 面這樣的復(fù)坐標(biāo)在相差一個全純變換的意義下是唯一的。具有這樣復(fù)坐標(biāo)的抽象二維空間稱為黎曼面。此概念應(yīng)用于計算機(jī)圖形學(xué)。黎 曼 面這樣的復(fù)坐標(biāo)在相差一個全純變換的意義下是唯一的。高斯曲率黎曼面的高斯曲率為

3、黎曼面給出稱為復(fù)流形的首個例子。問題：如何重新發(fā)現(xiàn)度量？有一個黎曼面，即給出一個復(fù)坐標(biāo) z。有一個定義在黎曼面上的曲率函數(shù) K。高斯曲率黎曼面的高斯曲率為高斯曲率 高斯曲率 黎曼度量的曲率在高維情形，黎曼度量的曲率遠(yuǎn)不是一個數(shù)量函數(shù)，它依賴于空間在某個截面上是如何彎曲的，稱為曲率張量?？梢詫θ壳蕪埩靠s并，得到一個小的張量，稱為里奇張量。記為 。里奇張量是一個對稱張量，其跡稱為數(shù)量曲率。 記為 。黎曼度量的曲率在高維情形，黎曼度量的曲率遠(yuǎn)不是一個數(shù)量函數(shù)，愛因斯坦方程黎曼幾何被愛因斯坦(在格羅斯曼、希爾伯特幫助下)用來描述廣義相對論。廣義相對論融合了狹義相對論和引力。愛因斯坦方程 這里 是物

4、質(zhì)張量（引力由度量 的全部的曲率張量來描述）。愛因斯坦方程對幾何學(xué)家們啟發(fā)深刻。這是一個高度非線性理論。（ 是引力位勢，是未知量）。愛因斯坦方程黎曼幾何被愛因斯坦(在格羅斯曼、希爾伯特幫助下)時 空一般地，我們不能期望由愛因斯坦方程定義的時空有很多的對稱性。因而，很多經(jīng)典力學(xué)中的守恒量在廣義相對論無法直接定義。這里包括質(zhì)量、動量、角動量等。對于廣義相對論中的孤立物理系統(tǒng)，時空在無窮遠(yuǎn)處基本上是平坦地，因而具漸進(jìn)對稱性。這給出了總質(zhì)量、總動量和總角動量的定義。時 空一般地，我們不能期望由愛因斯坦方程定義的時空有很多正 質(zhì) 量一個復(fù)雜的問題是在某些合理的條件下,證明總質(zhì)量是正的。這對應(yīng)著幾何中，在

5、某些數(shù)量曲率的限制下，研究三維流形的幾何。蕭恩和丘成桐用經(jīng)典的變分方法證明了正質(zhì)量猜想：研究空間中的極小曲面。后來威騰用狄拉克方程和超引力重新證明了正質(zhì)量猜想。正 質(zhì) 量一個復(fù)雜的問題是在某些合理的條件下,證明總質(zhì)量是正求解愛因斯坦方程廣義相對論中困難的問題是如何求解愛因斯坦方程。物質(zhì)張量為零 的情形。黎曼幾何中一個非常有趣的問題：能否找到一個閉空間，沒有物質(zhì)卻有引力？當(dāng)空間具超對稱性時，該問題較容易。求解愛因斯坦方程廣義相對論中困難的問題是如何求解愛因斯坦方程求解愛因斯坦方程例如, 當(dāng)空間具復(fù)坐標(biāo) 黎曼度量并可寫成這種情況下，有一個重要的量有拓?fù)湟饬x。由陳省身引入，刻畫著空間的整體拓?fù)?，稱為

6、第一陳類。空間容許真空解要求第一陳類為零。求解愛因斯坦方程卡拉比-丘成桐空間第一陳類為零可以在代數(shù)意義下驗證。丘成桐證明了第一陳類為零的復(fù)曲面上存在具超對稱的真空愛因斯坦方程的解。這是卡拉比猜想的一部分。這類空間稱為卡拉比-丘成桐空間。橢圓曲線 也是一個卡拉比-丘成桐空間。柏拉圖多面體和某些卡拉比-丘成桐空間有著緊密地聯(lián)系?？ɡ?丘成桐空間第一陳類為零可以在代數(shù)意義下驗證。丘成桐講演幾何魅力及應(yīng)用ppt課件精品PPT課件卡拉比-丘成桐空間記 X 為一五次卡拉比-丘成桐空間，其由射影空間中的下述齊次多項式定義: 簡單地說，X上d 次有理曲線是一個d 次多項式 解 記 是X上 d 次有理曲線的個

7、數(shù)。如何計算 一百多年來一直困擾著數(shù)學(xué)家們。物理學(xué)中 的鏡像對稱預(yù)言可用經(jīng)典超幾何函數(shù)來計算所有的 。1998年，連文豪-劉克峰-丘成桐首次給出完整的論證，使問題得以最終解決?？ɡ?丘成桐空間記 X 為一五次卡拉比-丘成桐空間，其由射卡拉比猜想的解決卡拉比猜想的解決也給出了具負(fù)宇宙常數(shù)的度量。這類度 量實(shí)際上是龐加萊在曲面上構(gòu)造的度量的推廣。最顯著的斷言是一個由復(fù)代數(shù)多項式定義的空間如果能形 變到一個復(fù)線性空間，那么這個空間也是復(fù)線性的?？勺C明一個基本的不等式（米姚卡-丘成桐）：對于代數(shù)曲 面S, 是曲面的歐拉數(shù)， 和曲面的拓?fù)渲笜?biāo)有關(guān)。該不等式顯示，對代數(shù)曲面，存在一些非平凡的拓?fù)湎拗啤？?/p>

8、拉比猜想的解決卡拉比猜想的解決也給出了具負(fù)宇宙常數(shù)的度量。全純1-形式受到流體力學(xué)和麥克斯韋方程的啟發(fā)，嘉當(dāng)，德拉姆，霍奇，小平邦彥發(fā)展了流形上的調(diào)和形式理論，將流形上的分析與整體拓?fù)渎?lián)系起來。例子，在閉曲面上，每個環(huán)柄給出一個全純1-形式。其給出了在曲面上構(gòu)造正交網(wǎng)的一種方法。全純1-形式受到流體力學(xué)和麥克斯韋方程的啟發(fā)，嘉當(dāng)，德拉姆性質(zhì)：三角剖分和分解相互獨(dú)立性質(zhì)：三角剖分和分解相互獨(dú)立大范圍分析的發(fā)展霍奇理論的發(fā)展在代數(shù)幾何中引入了基本的分析工具。黎曼-洛赫公式和阿蒂亞-辛格指標(biāo)公式被用來解決 代數(shù)幾何以及量子場論中的基本問題，影響深遠(yuǎn)。在過去的三十年中，量子理論和量子場論對幾何學(xué)也有著

9、重要的啟發(fā)。大范圍分析的發(fā)展霍奇理論的發(fā)展在代數(shù)幾何中引入了基本的分析工楊振寧-米爾斯理論楊振寧-米爾斯理論也將非線性理論帶入幾何學(xué)。唐納森理論給出四維流形拓?fù)溲芯康闹匾饬x。對埃米特型楊-米爾斯聯(lián)絡(luò)的唐納森-烏倫貝克-丘成桐定理給出代數(shù)幾何的一個新工具。許多重要的非線性微分方程在現(xiàn)代幾何學(xué)中變得非常基本平均曲率流調(diào)和映照里奇流 (哈密爾頓方程 )這些方程的超對性形式正變得重要非線性理論非常依賴于對線性理論的深刻理解。雙曲方程的線性理論還沒有被很好的理解。楊振寧-米爾斯理論楊振寧-米爾斯理論也將非線性理論帶入幾何學(xué)弦理論這些方法已經(jīng)大量應(yīng)用于現(xiàn)代弦理論。幾何對量子場論的研究卓有成效、神奇非凡。

10、微分方程在代數(shù)和代數(shù)幾何中也導(dǎo)致深刻的結(jié)果 有著同樣的神奇性。數(shù)學(xué)和大部分物理可以認(rèn)為是幾何的一部分。弦理論這些方法已經(jīng)大量應(yīng)用于現(xiàn)代弦理論。討論我們能直覺地感覺到幾何概念或許讓幾何成為宇宙構(gòu)成的最好語言。在21世紀(jì)，我們將無法區(qū)別下面的學(xué)科：物理學(xué)：量子力學(xué)，廣義相對論，弦理論。幾何學(xué)：示性類，指標(biāo)公式。算子理論。非線性橢圓、拋物方程、雙曲系統(tǒng)、混合型方程。 拓?fù)?、代?shù)幾何、數(shù)論。討論我們能直覺地感覺到幾何概念或許讓幾何成為宇宙構(gòu)成的最好語基本原理通過數(shù)學(xué)上的復(fù)雜的計算，基本原理應(yīng)用于 應(yīng)用學(xué)科。 幾何現(xiàn)象，統(tǒng)計現(xiàn)象，非線性方程，非線性 離散現(xiàn)象，等等。 從應(yīng)用學(xué)科中抽象出普適方法，演化成數(shù)

11、學(xué) 學(xué)科。 基本原理。基本原理通過數(shù)學(xué)上的復(fù)雜的計算，基本原理應(yīng)用于 我毫不猶豫地說，數(shù)學(xué)家值得為自己的天空去耕耘，值得為了那些在物理學(xué)中沒有應(yīng)用的理論去研究。龐加萊 我毫不猶豫地說，數(shù)學(xué)家值得為自己的天空去耕耘 數(shù)學(xué)家就象法蘭西人，無論你對他們說什么，他們總是翻譯成變得完全不同的，自己的語言。歌德 數(shù)學(xué)家就象法蘭西人，無論你對他們說什么，他們總 數(shù)學(xué)研究介乎物理、文學(xué)與工程之間。 物理所以見其真也， 文學(xué)所以見其美也， 工程所以見其用也。而三者相通。 以下引文心雕龍論文學(xué)之道： 數(shù)學(xué)研究介乎物理、文學(xué)與工程之間。 體 性 夫有天資，學(xué)慎始習(xí)，斫梓染絲，功在初化，器成彩定，難可翻移。故童子雕琢

12、，必先雅制，沿根討葉，思轉(zhuǎn)自圓。八體雖殊，會通合數(shù)，得其環(huán)中，則輻輳相成。故宜摹體以定習(xí)，因性以練才，文之司南，用此道也。 人之秉才，遲速異分，文之制體，大小殊功。相如含筆而腐毫，楊雄輟翰而驚夢?；缸T疾感于苦思，王充氣竭于思慮, 張衡研京以十年，左思練都以一紀(jì)；雖有巨文，亦思之緩也。淮南崇朝而賦騷，枚皋舉應(yīng)詔而成賦，子建援牘如口頌，仲宣舉筆似宿構(gòu)，阮瑀據(jù)案而制書，禰衡當(dāng)食而草奏；雖有短篇，亦思之速也。 人之秉才，遲速異分，文之制體，大小殊功。相 神 思 夫神思方運(yùn)，萬塗競萌，規(guī)矩虛位，刻鏤無形，登山則情滿于山，觀海則意溢于海，我才之多少，將與風(fēng)云而并驅(qū)矣！方其搦翰，氣倍辭前，暨乎篇成，半折心始。何則？意翻空而易奇，言征實(shí)而難巧也。 是以意授于思，言授于意，密則無際，疏則千里，或理在方寸，而求之域表；或義在咫尺，而思隔山河，是以秉心養(yǎng)術(shù)，無務(wù)苦慮。 通 變 夫設(shè)文之體有常，變文之?dāng)?shù)無方，何以明其然耶？