線性卷積與循環(huán)卷積的比較

1、學(xué)年論文學(xué)設(shè)計）題 目線性卷積與循環(huán)卷積的比較學(xué)生姓名 學(xué)號所在院（系）專業(yè)班級指導(dǎo)教師年月日線性卷積與循環(huán)卷積的比較（作者：）(【摘要】本文講述的是運用matlab軟件編寫線性卷積和循環(huán)卷積，運行程序并得到正確結(jié)果，附上 運行結(jié)果圖讓大家參照對比。MATLAB是 一款在數(shù)學(xué)類科技應(yīng)用軟件中特別是在數(shù)值計算方面首屈一指的軟件，它可以進(jìn)行 矩陣運算、繪制函數(shù)和數(shù)據(jù)、實現(xiàn)算法、創(chuàng)建用戶界面、連接其他編程語言的程序等，主要應(yīng)用于 工程計算、控制設(shè)計、信號處理與通訊、圖像處理、信號檢測、金融建模設(shè)計與分析等領(lǐng)域。而線 性卷積和循環(huán)卷積在工程上的應(yīng)用亦非常廣泛，在Matlab軟件處理下，實現(xiàn)任意兩個序列

2、的線性和 循環(huán)卷積對于工程上的輔助是相當(dāng)重要的。卷積關(guān)系最重要的一種情況，就是在信號與線性系統(tǒng)或 數(shù)字信號處理中的卷積定理。利用該定理，可以將時間域或空間域中的卷積運算等價為頻率域的相 乘運算，從而利用FFT等快速算法，實現(xiàn)有效的計算，節(jié)省運算代價。本文從線性卷積和循環(huán)的定義出發(fā)，分析其運算原理以及相關(guān)的公式、程序，讓大家明白什么 是卷積。【關(guān)鍵詞】Matlab；線性卷積；循環(huán)卷積；Linear convolution compared with circular convolutionAbstract： This is about using matlab software linear c

3、onvolution and cyclic convolution, operation procedure and get the right result, enclosed operation result diagram let everybody referenceMATLAB is a type of technology in applications of mathematics, especially in numerical calculation of the leading software, which can be matrix calculation, and d

4、ata mapping function, the realization of algorithms, creation of user interface, connected to other procedures, such as programming languages, the main application in engineering computing, control design, signal processing and communications, image processing, signal detection, financial modeling i

5、n areas such as design and analysis. And linear convolution in the application of engineering has a very wide range of software in Matlab, the realization of any two sequences of linear convolution support for projects is very important. Convolution relationship between the most important case, that

6、 is linear in the signal and digital signal processing system or the convolution theorem. Use of the theorem can be time-domain or space domain to the convolution operation in frequency domain equivalent of the multiplication operation, thus the use of FFT and other fast algorithms, the calculation

7、of effective, cost-saving operation.From linear convolution and circulation of the definition, analyzes its operation principle and relevant formula, procedures, , let everyone know what convolution.Key words： Matlab； Linear convolution； Circular convolution；0引言在泛函數(shù)分析中，卷積（卷積）、旋積或摺積（英語：Convolution）是通

8、過兩個函數(shù)f和g生成第三 個函數(shù)的一種數(shù)學(xué)算子，表徵函數(shù)f與經(jīng)過翻轉(zhuǎn)和平移與g的重疊部分的累積。如果將參加卷積的 一個函數(shù)看作區(qū)間的指示函數(shù)，卷積還可以被看作是“滑動平均”的推廣。卷積是分析數(shù)學(xué)中一種重要的運算，數(shù)學(xué)上的卷積在信號處理中有著非常廣泛的應(yīng)用。只要這 個系統(tǒng)是線性的，對于一維空間是這樣，二維、三維都是這樣，空間域信號是這樣，時間域信號也 是這樣。一切信號傳遞處理系統(tǒng)都是卷積系統(tǒng)，但是信號發(fā)生系統(tǒng)不像卷積這樣，因為信號發(fā)生系 統(tǒng)不是一個無中生有的系統(tǒng)，它需要消耗能量，而且是一個非線性系統(tǒng)。卷積關(guān)系最重要的一種情況，就是在信號與線性系統(tǒng)或數(shù)字信號處理中的卷積定理。利用該定 理，可以將時

9、間域或空間域中的卷積運算等價為頻率域的相乘運算，從而利用FFT等快速算法，實 現(xiàn)有效的計算，節(jié)省運算代價。明確了這些含義以后，我們認(rèn)為信號放大系統(tǒng)是卷積，信號測量和計數(shù)系統(tǒng)也是積。進(jìn)一步推 廣照相系統(tǒng)是卷積，視覺系統(tǒng)也是卷積。世界上所有的系統(tǒng)都是卷積，例如脈搏是心跳的卷積，水 壓的波動是泵水電動機轉(zhuǎn)動力的卷積，只要系統(tǒng)是線性的或近似線性的。卷積的概念還可以推廣到 數(shù)列、測度以及廣義函數(shù)上去。因此，我們得到這樣一個一般性的結(jié)論卷積在我們的生活中無 處不在，它的應(yīng)用非常廣泛。1 MATLAB軟件簡介MATLAB名字由MATRIX和LABORATORY兩詞的前三個字母組合而成。顧名思義，就是矩 陣實

10、驗室（matrix laboratory）。MATLAB是一種高性能的科學(xué)計算軟件，并且廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)計 算、算法開發(fā)、數(shù)學(xué)建模、系統(tǒng)仿真、數(shù)據(jù)分析可視化和程序設(shè)計集成化等，其具有強大的矩陣運 算能力和極高的編程效率，而且使用我們熟悉的數(shù)字符號表示問題與答案，這對于初學(xué)者來說很容 易上手，同時也方便了用戶對自己需要的應(yīng)用程序的開發(fā)，運行相應(yīng)的程序還可以在圖形用戶界面 的建立各種波形仿真圖。MATLAB是 一個交互系統(tǒng)，它的基本數(shù)據(jù)元素是數(shù)組，尤其適合解決用矩陣和向量組織數(shù)據(jù)的 科學(xué)技術(shù)計算問題，對于各種信號的處理可以用不同的庫函數(shù)或者用戶自己編輯的程序來處理，由 此可以得到不同的結(jié)果，并且還可

11、以經(jīng)過圖形顯示來驗證1。1.1 MATLAB的組成MatlabB重要的特點，是附加了一個解決專門問題的應(yīng)用程序大家族，叫工具箱。它對于 MATLAB用戶是非常重要的，能讓用戶學(xué)習(xí)和應(yīng)用專門的技術(shù)。工具箱是MATLAB函數(shù)的全面集合， 擴展了 MATLAB解決特殊類型問題的環(huán)境。工具箱可以應(yīng)用的領(lǐng)域包括信號處理、控制系統(tǒng)、神經(jīng) 網(wǎng)絡(luò)、磨具邏輯、子波、模擬等方面。MATLAB這個名字，代表MATRIX LABOROATOR.MATLAB 系統(tǒng)由5個主要部分組成：1.1.1開發(fā)環(huán)境這是一組工具程序，幫助用戶使用MATLAB功能和文件。許多工具是圖形用戶界面，包括 MATLAB桌面和命令窗口，命令的歷

12、史窗口，編輯器和差錯程序，觀看幫助信息的瀏覽器，工作區(qū)， 文件和收索路徑。MATLAB的數(shù)學(xué)函數(shù)庫這是一個計算算法的巨大集合，范圍從初等函數(shù)，入求和、正弦、余弦和復(fù)數(shù)運算，到更高級 別的函數(shù)，像矩陣求逆、矩陣特征值、貝賽爾函數(shù)和快速傅里葉變換。MATLAB 語言一個高級的矩陣和數(shù)組運算，具有控制流語句、函數(shù)、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、輸入和輸出、面向?qū)ο蟮某?序特點。用這種語言能夠快速建立運行快且短小的程序，也能建立大的和復(fù)雜的應(yīng)用程序。1.1.4圖形MATLAB有廣泛的程序，用于把向量和矩陣顯示為圖形，以及注解和打印這些圖像。它包括高 級功能，用于二維和三維數(shù)據(jù)的形象化、圖像處理、動畫和演示圖形；包括低級功

13、能，讓用戶完全 定制圖形外觀，以及為用戶的應(yīng)用程序建立完全的圖形用戶界面。1.1.5 MATLAB 應(yīng)用程序接口（ API）這是一個程序庫，允許用戶寫C和FORTRAN程序與MATLAB交互。其中包含的程序，用于從 MATLAB調(diào)用例行程序，調(diào)用MATLAB作為計算引擎，以及讀取MAT文件。2卷積分析2.1卷積的定義任意信號都可以根據(jù)不同需要進(jìn)行不同的分解。如信號可以分解為直流分量和交流分量，也 可以分解為奇分量和偶分量，或分解為實部分量和虛部分量。如果信號費解為沖擊信號，那么信號 分解為一系列不同強度，不同時延的沖擊信號的疊加，這個過程稱為卷積積分。般而言,如果有兩個函數(shù)/（/）和廣（/）,

14、則它們的積分（/）| , /：（）/稱為./）W）=/iW * fi （0=言（泓（，- g002.2線性卷積的運算卷積運算是線性時不變系統(tǒng)分析的重要工具，很多濾波器的設(shè)計中都要用到卷積運算。給出線 性卷積運算的定義，設(shè)有離散信號x(n )和y(n)，其線性卷積為：C (m)=云 x(m) y(m - n)3線性卷積有四步運算：卷積運算時，y(n)要先反折得到y(tǒng)(-n);m0表示y(-n)序列右移，m0 表示左移，不同的m表示不同的值。線性卷積運算簡潔表示為：C (m) = x(n)* y(n)式中“ ”表示線性卷積運算符。由線性卷積的定義，等式右邊是乘積求和形式，因而考慮能否用矩陣相乘的形式

15、來表示線性 卷積。假設(shè)序列x(n)長度為4點，y(n)長度為3點，x(n)除區(qū)間之外皆為零，y(n)除區(qū)間之外皆為零， 用矩陣的形式來表達(dá)線性卷積Z:-y-y1000 一y2y100Z =y3y2y100y3y2y100y3y2_ 000y 3-1x1x2x3x4x(n),y(n)序列長度不同，則將短序歹U補0使兩者相同22.3循環(huán)卷積的運算有限長序列的循環(huán)移位是指y(m-n)，也就是先讓序列y(n)以N為周期進(jìn)行周期延拓，再進(jìn)行反 折，然后朝右移位，只朝一個方向移位的原因是：對周期序列向右移動一個位置，也就相當(dāng)于向左 移動7N1個位置，最后取(0，N-1)的N個值就得到了循環(huán)移位后的N個序列

16、值。設(shè)有序列x(n )和y(n)，其N點循環(huán)卷積為：C (m)二云 x(n) y(m - n) R (n)C (m)二n=0由于循環(huán)移位的關(guān)系最后得到的循環(huán)卷積的長度就切點，m取0，1，2,，N-1。循環(huán)卷積的簡潔表示為:Cxy (m )= x (n ) y (n )式中0表示循環(huán)卷積運算符。例如N=4的循環(huán)卷積如下:xXXXy1234xXXXyZ =41232XXXXy34123XXXXyL 2341u 4-1其中，N3length(y(n)。值得說明的是，當(dāng)N3length(y(n)+ length(x(n)-1時，圓周卷積的值等于線性卷積。3線性卷積與循環(huán)卷積比較兩個序列的N點循環(huán)卷積的

17、定義為:h(n) x(n)=力 1 h(m )v(n 一 m)/NN(0 N N)k =0從定義中可以看到，循環(huán)卷積和線性卷積的不同之處在于：兩個N點序列的N點循環(huán)卷積的結(jié) 果仍為N點序列，而它們的線性卷積的結(jié)果的長度則為2N-1；循環(huán)卷積對序列的位移采取循環(huán)位移， 而線性卷積對序列采取線性位移。正是這些不同，導(dǎo)致了線性卷積和循環(huán)卷積有不同的結(jié)果和性質(zhì)。循環(huán)卷積和線性卷積雖然是不同的概念，但它們之間由一個有意義的公式聯(lián)系在一起:y (y (n )= h(n ) x(n )N艾 yr(n 一 rN) G (n)r=一3其中礦)= hn)* x(n)也就是說，兩個序列的N點循環(huán)卷積是他們的線性卷積

18、以N為周期延拓。設(shè)序列力O的長度為 卬，序列思)此度為N2,此時，線性卷積結(jié)果的序列的點數(shù)為N = Ni + N2 -1；因此如果循環(huán)卷積的點數(shù)N小于N1 +N2-,那么上述周期性延拓的結(jié)果就會產(chǎn)生混疊，從而兩種卷積會有不同 的結(jié)果。而如果N滿足N = N的條件，就會有y (n)= yr(n) (0 n N)這就意味著在時域不會產(chǎn)生混疊。因此，我們得出結(jié)論：若通過在序列的末尾填充適當(dāng)?shù)牧阒担?使得x(n)和h(n)成為嘰+ N2 -1點序列，并作出這兩個序列的氣+ N2 -1循環(huán)卷積，那么循環(huán)卷 積與線性卷積的結(jié)果在0 n N范圍內(nèi)相同4。根據(jù)DFT循環(huán)卷積性質(zhì)中的卷積定理DFT 血(n) x

19、(n) = DFTx(n) DFTh(n)N便可通過兩種方法求兩個序列的循環(huán)卷積：一是直接根據(jù)定義計算；二是根據(jù)性質(zhì)先分別求兩 個序列的N點DFT,并相乘，然后取IDFT以得到循環(huán)卷積。第二種方法看起來要經(jīng)過若干個步驟， 但由于求序列的DFT和IDFT都有快速算法，因此它的效率比第一種方法高得多。同樣，根據(jù)線性卷積和循環(huán)卷積的關(guān)系，可以通過計算循環(huán)卷積以求得線性卷積，提高計算序列線性卷積的效率31舉例進(jìn)行比較：已知兩序列x(n)=(0.9)n ( 0 n 16)； h(n) f 1( 0 n=1&k=N1)y(n)=y(n)+x2(m)*x1(k);endendendy1=conv(x1,x2

20、);nx1=0:N1-1;nx2=0:M-1;ny=0:L-1;subplot(231);stem(nx1,x1,.k);xlabel(n);ylabel(x1(n);grid on;title(序列x1)subplot(232);stem(nx2,x2,.k);xlabel(n);ylabel(x2(n);grid on;title(序列x2)subplot(233);stem(ny,y,.k);xlabel(n);ylabel(y(n);grid on;title(線性卷積)subplot(234);stem(y1);xlabel(n);ylabel(y1);grid on;title(c

21、on v 直接卷積)運行程序，輸入序列x1和x2x1=-1 1 2 4x2=2.4 4 5 5 6線性卷積結(jié)果：-2.4000-1.60003.800017.600025.000036.000032.000024.0000運行如下圖3.1線性卷積根據(jù)循環(huán)卷積流程圖設(shè)計matlab源代碼function y=myconv(x1,x2)x1=input(，x1=，);x2=input(，x2=，);N=input(，N=，);x1=x1,zeros(1,N-length(x1);x2=x2,zeros(1,N-length(x2);V=circlel(x2)Z=x1*V;stem(Z，);xlabel(，n，);ylabel(，Z，);grid on;title（循環(huán)卷積結(jié)果Z）運行程序，輸入序列xl,