線性系統(tǒng)理論課程報告

1、線性系統(tǒng)的坐標變換及其相關特性坐標變換的概念：系統(tǒng)坐標變換的幾何意義就是換基，即把狀態(tài)空間的坐標系由一個基底換為另一個基底。坐標變換的代數(shù)表征：對系統(tǒng)的坐標變換代數(shù)上等同于對其狀態(tài)空間的基矩陣的一個線性非奇異變換。線性時不變系統(tǒng)的坐標變換的一個狀態(tài)空間描述：Z : x = Ax + Bu（1）y = Cx + Du對（1）式表征的線性時不變系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述，引入坐標變換即線性非奇異變換X = p-!x，則變換后的系統(tǒng)系統(tǒng)狀態(tài)空間描述為：Z : x = Ax + Bu（2）y = Cx + Du推導過程如下：x = pi x n x = p-i xx = pi x = P1 （Ax + Bu）

2、 = pi Apx + pi Buy = Cx + Du = Cpx + Du此時，原系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述與變換后的系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述之間的 系數(shù)矩陣有如下關系：A = p-1 Ap, B = p-1B, C = Cp, D = D對線性時不變系統(tǒng)的（1），引入同樣的線性非奇異變換G(s) = G(s),則變換前后的系統(tǒng)的傳遞函數(shù)不變，即成立 x = p-1 x 。進而得G (s) = Cp (sI p-i Ap)-i p-i B + D -Cp(sI p-1Ap)p-1 -1B + D =C (si - A)-1B + D = G (s)基于上述討論可得出在線性時不變系統(tǒng)變換下系統(tǒng)具有一些特性

3、：對線性時不變系統(tǒng)，不管是系統(tǒng)矩陣還是傳遞函數(shù)矩陣，其特征多項式在坐標變換下保持不變。對線性時不變系統(tǒng)，系統(tǒng)矩陣A的特征值在坐標變換下保持不變，而特征向量在坐標變換下具有相同的變換關系，即對x = p-1 x的 線性非奇異變換有：v = p-七i = 1,2,3線性時變系統(tǒng)的坐標變換的一個狀態(tài)空間描述： TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark6 o Current Document Z : x = A(t)x + B(t)u(3)y = C (t) x + D(t )u對線性時變的狀態(tài)空間描述(3)，引入坐標變換即線性非奇異變換x = p(t)x (4)，p (t

4、)為可逆且連續(xù)可微，則變換后的狀態(tài)空間描述為： HYPERLINK l bookmark9 o Current Document x = A(t) x + B (t )u(5)y = C (t) x + D(t )u推導過程如下：對(4)式兩邊關于t求導得：x = p (t) x + p (t) x(6)對(4)式兩邊關于x求導得: TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark3 o Current Document X = p (t)(7)以及由(4)式變換得到：x = p (t)-i x(8)將上述(6)、(7)、(8)式代入(3)可得：X = A (t) x + B (t )uy = c (t) x + D (t )u(5)經(jīng)過變換之后，時變參數(shù)之間的關系如下：A(t) = p (t) A(t) p-1(t) + p (t) p-1(t)B (t) = p (t) B (t)C (t) = C (t) p-i(t)D (t) = D (t)若在上述線性時變系統(tǒng)中添加以下條件：對A(t)為周期性矩陣既滿足A(t)-A(t + T) = 0的線性時變系統(tǒng)(3) 式，/引入維變換矩薛p(t)， p和在t, 8)上為連續(xù)和有界，并存在有限實常數(shù)n使成立：|detp(t)| n 0,寸所有t t0則上述A(t),B(t