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1、導(dǎo)數(shù)專題(四)恒成立問題(2014西城一模理)18(本小題滿分13分)(分段函數(shù))xlnx,xa,已知函數(shù)f(x)其中a0.fX22x3,xiln/.(對數(shù)運(yùn)算、用前問結(jié)論)1%(I)求曲線yfH在點(diǎn),fI0般的切線方程;(II)求證:當(dāng),11時(shí),f2:上:3(ni)設(shè)實(shí)數(shù)k使得fitk:%3!對,11恒成立,求k的最大值.318.解析(1)由題可知函數(shù)f電定義域是1,11則f,f.2,f.0,從而11%2曲線yf1在點(diǎn),f處的切線方程為y2%.(2)構(gòu)造輔助函數(shù)證明不等式.設(shè)g*f嗎:則g1k0,g-1-2H%22%L,31%21%2當(dāng)%,叫g(shù)一,即g1在,1I上單調(diào)遞增,從而gg,即f2.
2、三i寸任意%1|恒成立.3I%3(3)構(gòu)造函數(shù)P11.lnHk.一.1又P.0,若p.0對%,1I恒成立,則%|3p0。,又Pit%*_2_kH%22*k*%4,即p2Bk0,得k2,又當(dāng)k2時(shí),1%21%2f2;蘭二寸%,1|恒成立,因此k的最大值為2.I3|(2015上學(xué)期期末東城文)(20)(本小題共14分)(雙參數(shù))已知函數(shù)f(%)aln%b%2,a,bP(I)若f(%)在%1處與直線y相切,求a,b的值;(II)在(I)的條件下,求f(x)在1,e上的最大值;e(III)若不等式f(x)x對所有的b(,0,x(e,e2都成立,求a的取值范圍aTOC o 1-5 h z解:(I)f(x
3、)2bxx|f.)0,.2b0,由函數(shù)f(x)在x1處與直線yBB1相切,得1即12薩B2.1,解得1b.14分(II)由(I)得f(x)lnx1x2,定義域?yàn)?0,).1x2此時(shí)f妣)x=上x-.令f耽)0,解得0 x1,令f(x)0,得x1.xx所以f(x)在(1,1)上單調(diào)遞增,在(1,e)上單調(diào)遞減,e8分所以f(x)在1,e上的最大值為f(1)18分e2(I)若不等式f(x)x對所有的b(,0,x(e,e2都成立,即alnxbx2x對所有的b(,0,x(e,e2都成立,即aInxBxbx2對所有的b(,0,x(e,e2都成立,即aInxx0對x(e,e2恒成立.11分x即a-一對x(
4、e,e2恒成立,lnx即a大于或等于4在區(qū)間(e,e2上的最大值.lnxxlnx1令h(x)-一,則h(x)=,當(dāng)x(e,e2時(shí),h熟)0,h(x)單調(diào)遞增,lnx(lnx)2xe2e2lnx22所以h(x)-,x(e,e2的最大值為h(e2).即alnx22e2所以a的取值范圍是,).14分(2014海淀一模理)18.(本小題滿分13分)(雙參數(shù))已知曲線C:yeax.(I)若曲線C在點(diǎn)(0,1)處的切線為y2xm,求實(shí)數(shù)a和m的值;(II)對任意實(shí)數(shù)a,曲線C總在直線l:yaxb的上方,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.18解TOC o 1-5 h z(I)yaea,2分xID因?yàn)榍€C在點(diǎn)(0,1)處
5、的切線為L:y2xm,所以120m且y2.4xID解得m1,a25分(II)法1:對于任意實(shí)數(shù)a,曲線C總在直線的yaxb的上方,等價(jià)于Vx,aR,都有eaxaxBb,即7x,ar,eaxBaxb0恒成立,6分令g(x)eaxaxb,7分若a=0,則g(x)1b,所以實(shí)數(shù)b的取值范圍是b1;8分若a0,g喙)a(eax),由g(x)0得x0,9分g(x),g(x)的情況如下:x(-0)x(-0)g(x)g(x)0()0+極小值11分所以g(x)的最小值為g(0)1Bb,12分所以實(shí)數(shù)b的取值范圍是b1;綜上,實(shí)數(shù)b的取值范圍是b1.13分法2:對于任意實(shí)數(shù)a,曲線C總在直線的yaxb的上方,等價(jià)于都有ea%a%b,即TOC o 1-5 h zV%,aR,bea%Max恒成立,6分令tmax,則等價(jià)于VtR,beti恒成立,令g(t)etHr,則g)et*,7分由g(t)0得t0,9分g(t),g(
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