人教版高中數(shù)學必修五模塊復習課件：第一課-解三角形-模塊復習課-1-

1、第一課解三角形第一課【網(wǎng)絡體系】【網(wǎng)絡體系】【核心速填】1.正弦定理(1)公式表達：_.【核心速填】(2)公式變形：a=2RsinA，b=2RsinB，c =2RsinC；sinA= ，sinB= ，sinC= ；abc=sinAsinBsinC；(2)公式變形：2.余弦定理(1)公式表達：a2=_，b2=_，c2=_.(2)推論：cosA=_，cosB=_，cosC=_.b2+c2-2bccosAa2+c2-2accosBa2+b2-2abcosC2.余弦定理b2+c2-2bccosAa2+c2-2acco3.三角形中的常用結論(1)a+bc，b+ca，c+ab.(2)a-bc，b-ca，a

2、-cbABsinAsinB.(5)a=bA=B.3.三角形中的常用結論(6)A為銳角cosA0a2b2+c2；A為鈍角cosAb2+c2；A為直角cosA=0a2=b2+c2.(7)sin(A+B)=sinC，cos(A+B)=-cosC.(8)(6)A為銳角cosA0a2b2+c2；4.三角形中的計算問題在ABC中，邊BC，CA，AB記為a，b，c，邊BC，CA，AB上的高分別記為ha，hb，hc，則(1)ha=bsinC=_.(2)hb=csinA=_.(3)hc=asinB=_.csinBasinCbsinA4.三角形中的計算問題csinBasinCbsinA(4)(5)(4)【易錯提醒

3、】解三角形中易忽視的三點(1)解三角形時，不要忽視角的取值范圍.(2)由兩個角的正弦值相等求兩角關系時，注意不要忽視兩角互補情況.(3)利用正弦定理、余弦定理判斷三角形形狀時，切記出現(xiàn)失解情況.【易錯提醒】類型一 利用正、余弦定理解三角形【典例1】(1)ABC的外接圓的圓心為O，AB=2，AC= ，BC= ，則 等于()類型一 利用正、余弦定理解三角形(2)在ABC中，A，B為銳角，角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，且cos 2A= ，sinB=求A+B的值；若a-b= -1，求a，b，c的值.(2)在ABC中，A，B為銳角，角A，B，C所對應的邊分別【解析】(1)選C.因為AB=2，所

4、以BC2=AB2+AC2，所以A= ，所以BC為圓的直徑，O為斜邊BC的中點，所以CO=BO=AO= BC= ，又AC= ，設AOC=，由余弦定理得cos=則【解析】(1)選C.因為AB=2，(2)因為A，B為銳角，sinB=所以cosB=又因為cos 2A=1-2sin2A=所以sinA= ，cosA=所以cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB(2)因為A，B為銳角，sinB=因為0A+B，所以A+B=由知C= ，所以sinC=由正弦定理 得即a= b，c= b.因為a-b= -1，所以 b-b= -1，所以b=1，所以a= ，c= .因為0A+B，所以A+B=【方法技巧】應用

5、正、余弦定理解決解三角形問題的類型及方法【方法技巧】應用正、余弦定理解決解三角形問題的類型及方法人教版高中數(shù)學必修五模塊復習課件：第一課-解三角形-模塊復習課-1-人教版高中數(shù)學必修五模塊復習課件：第一課-解三角形-模塊復習課-1-【變式訓練】在ABC中，角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，a=2 ， =4，2sinBcosC =sinA，求A，B及b，c.【變式訓練】在ABC中，角A，B，C所對應的邊分別為a，b【解析】因為 =4，所以 =4.所以所以sinC= .又因為C(0，)，所以C= 或C=【解析】因為 =4，由2sinBcosC=sinA，得2sinBcosC=sin(B+C)

6、，即sin(B-C)=0.所以B=C，所以B=C= ，A=-(B+C)=由正弦定理 ，得由2sinBcosC=sinA，得2sinBcosC=sin【補償訓練】在ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，B=45，b= ，cosC=(1)求邊長a.(2)設AB的中點為D，求中線CD的長.【補償訓練】在ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊【解析】(1)由cosC= 得sinC=sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC由正弦定理得【解析】(1)由cosC= 得sinC=(2)由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=(3 )2+( )2-23 =4，所以c=2

7、，在BCD中.由余弦定理得CD2=BD2+BC2-2BDBCcosB=12+(3 )2-213 =13，所以CD=(2)由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=(3 類型二 判斷三角形的形狀【典例2】(1)在ABC中，已知3b=2 asinB，且cosB=cosC，角A是銳角，則ABC的形狀是()A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等邊三角形類型二 判斷三角形的形狀(2)已知在ABC中， =c2，且acosB=bcosA，試判斷ABC的形狀.(2)已知在ABC中， =c2，且acosB【解析】(1)選D.由3b=2 asinB，得根據(jù)正弦定理，得所以 ，即sinA=又角

8、A是銳角，所以A=60.又cosB=cosC，且B，C都為三角形的內角，所以B=C，故ABC為等邊三角形.【解析】(1)選D.由3b=2 asinB，得(2)由 =c2，得a3+b3-c3=c2(a+b)-c3，所以a2+b2-ab=c2，所以cosC= ，所以C=60.由acosB=bcosA，得2RsinAcosB=2RsinBcosA(R為ABC外接圓的半徑)，所以sin(A-B)=0，所以A-B=0，所以A=B=C=60，所以ABC為等邊三角形.(2)由 =c2，得a3+b3-c3=c2(【方法技巧】判定三角形形狀的兩種途徑(1)通過正弦定理和余弦定理化邊為角，如a=2RsinA，a2

9、+b2-c2=2abcosC等，再利用三角變換得出三角形內角之間的關系進行判斷，此時注意一些常見的三角等式所體現(xiàn)的內角關系，如sinA=sinBA=B，sin(A-B)=0A=B，sin2A=sin2BA=B或A+B= 等.【方法技巧】判定三角形形狀的兩種途徑(2)利用正弦定理、余弦定理化角為邊，如sinA=cosA= 等，通過代數(shù)恒等變換，求出三條邊之間的關系進行判斷.(2)利用正弦定理、余弦定理化角為邊，如sinA=【變式訓練】在ABC中，若B=60，2b=a+c，試判斷ABC的形狀.【解析】方法一：由正弦定理可得2sinB=sinA+sinC，因為B=60，所以A+C=120，A=120

10、-C，將其代入上式，得2sin60=sin(120-C)+sinC，展開整理，得 sinC+ cosC=1，所以sin(C+30)=1，所以C+30=90.所以C=60，故A=60，所以ABC是等邊三角形.【變式訓練】在ABC中，若B=60，2b=a+c，試判斷方法二：由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB，因為B=60，b= ，所以( )2=a2+c2-2accos60.所以(a-c)2=0，所以a=c，所以a=b=c，所以ABC為等邊三角形.方法二：由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB，【補償訓練】在ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若 =k(kR).(1)

11、判斷ABC的形狀.(2)若c= ，求k的值.【補償訓練】在ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，【解析】(1)因為 =cbcosA， =cacosB，又因為 ，所以bccosA=accosB，所以bcosA=acosB.【解析】(1)因為 =cbcosA， =方法一：因為bcosA=acosB，所以sinBcosA=sinAcosB，即sinAcosB-sinBcosA=0，所以sin(A-B)=0.因為-A-B8，所以貨輪無觸礁危險.過點A作ADBC.【方法技巧】正、余弦定理在實際應用中應注意的問題(1)分析題意，弄清已知元素和未知元素，根據(jù)題意畫出示意圖.(2)明確題目中的一些名詞、

12、術語的意義，如仰角、俯角、方向角、方位角等.【方法技巧】正、余弦定理在實際應用中應注意的問題(3)將實際問題中的數(shù)量關系歸結為數(shù)學問題，利用學過的幾何知識，作出輔助線，將已知與未知元素歸結到同一個三角形中，然后解此三角形.(4)在選擇關系時，一是力求簡便，二是要盡可能使用題目中的原有數(shù)據(jù)，盡量減少計算中誤差的積累.(3)將實際問題中的數(shù)量關系歸結為數(shù)學問題，利用學過的幾何知(5)按照題目中已有的精確度計算，并根據(jù)題目要求的精確度確定答案并注明單位.(5)按照題目中已有的精確度計算，并根據(jù)題目要求的精確度確定【變式訓練】如圖，為了解某海域海底構造，在海平面內一條直線上的A，B，C三點進行測量，已

13、知AB=50m，BC=120m，于A處測得水深AD=80m，于B處測得水深BE=200m，于C處測得水深CF=110m，求DEF的余弦值.【變式訓練】如圖，為了解某海域海底【解析】如圖，作DMAC交BE于點N，交CF于點M，DF=DE=EF=在DEF中，由余弦定理得：cosDEF=【解析】如圖，作DMAC交BE于點N，交CF于點M，【補償訓練】如圖為了測量A，C兩點間的距離，選取同一平面上B，D兩點，測出四邊形ABCD的各邊的長度(單位：km)：AB=5，BC=8，CD=3，DA=5，如圖所示，且A，B，C，D四點共圓，則AC的長為_km.【補償訓練】如圖為了測量A，C兩點間的距離，選取同一平

14、面上B【解析】因為A，B，C，D四點共圓，所以B+D=，由余弦定理得AC2=52+32-253cosD=34-30cosD，AC2=52+82-258cosB=89-80cosB，由cosB=-cosD，得 ，解得AC=7.答案：7【解析】因為A，B，C，D四點共圓，所以B+D=，由余類型四 正、余弦定理與三角函數(shù)的綜合【典例4】(2015陜西高考)ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，向量m=(a， b)與n=(cosA，sinB)平行.(1)求A.(2)若a= ，b=2，求ABC的面積.類型四 正、余弦定理與三角函數(shù)的綜合【解析】(1)因為mn，所以asinB- bcosA=0，

15、由正弦定理得sinAsinB- sinBcosA=0，又sinB0，從而tanA= ，由于0A0，所以c=3.故ABC的面積為 bcsinA=(2)方法一：由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA，方法二：由正弦定理得 ，從而sinB=又因為ab，所以AB，所以cosB=所以sinC=sin(A+B)=所以ABC的面積為方法二：由正弦定理得 ，從而sinB=【方法技巧】正、余弦定理與三角函數(shù)綜合應用的處理策略(1)首先要熟練使用正、余弦定理，其次要根據(jù)條件，合理選用三角函數(shù)公式，達到簡化問題的目的.(2)利用正、余弦定理解三角形問題時，常與平面向量等知識結合給出問題的條件，這些知識的加入，

16、一般只起“點綴”作用，難度較小，易于化簡.【方法技巧】正、余弦定理與三角函數(shù)綜合應用的處理策略【變式訓練】(2015武漢高一檢測)如圖，經(jīng)過村莊A有兩條夾角為60的公路AB，AC，根據(jù)規(guī)劃擬在兩條公路之間的區(qū)域內建一工廠P，分別在兩條公路邊上建兩個倉庫M，N(異于村莊A)，要求PM=PN=MN=2(單位：千米).如何設計，可以使得工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最小(即工廠與村莊的距離最遠).【變式訓練】(2015武漢高一檢測)如【解析】設AMN=，0120，在AMN中，因為MN=2，所以AM= sin(120-)，在APM中，cosAMP=cos(60+)，AP2=AM2+MP2-2MPAMcos

17、AMP= sin2(120-)+4-22 sin(120-)cos(60+)【解析】設AMN=，0120，在AMN中，= sin2(60+)- sin(60+)cos(60+)+4= 1-cos(2+120)- sin(2+120)+4=- sin(2+120)+cos(2+120)+= - sin(2+150)，0120，當且僅當2+150=270，即=60時，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2 ，= sin2(60+)- sin(60+)c答：當AMN為60時，工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最小.答：當AMN為60時，工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最小.【補償訓練】如圖，半圓O的直徑為2，A

18、為直徑延長線上的一點，OA=2，B為半圓上任意一點，以AB為一邊作等邊三角形ABC.問：當AOB為多少時，四邊形OACB的面積最大？【補償訓練】如圖，半圓O的直徑為2，A為直徑延長線上的一點，【解析】設AOB=.在AOB中，由余弦定理，得AB2=12+22-212cos=5-4cos.所以四邊形OACB的面積為S=SAOB+SABC= OAOBsin+ AB2【解析】設AOB=.= 21sin+ (5-4cos)=sin-所以當sin( )=1時，S有最大值.因為0，所以故當AOB= 時，四邊形OACB的面積最大.= 21sin+ (5-4cos)人教版高中數(shù)學必修五模塊復習課件：第一課-解三角形-模塊復習課-1-Suffering is the most powerful teacher of life.苦難是人生最偉大的老師。For man is man and maste