知識(shí)講解-集合的基本關(guān)系及運(yùn)算-基礎(chǔ)

1、. z.集合的根本關(guān)系及運(yùn)算【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解集合之間包含與相等的含義，能識(shí)別一些給定集合的子集在具體情境中，了解空集和全集的含義2.理解兩個(gè)集合的交集和并集的含義，會(huì)求兩個(gè)簡(jiǎn)單集合的交集與并集理解在給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義，會(huì)求給定子集的補(bǔ)集【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一：集合之間的關(guān)系1.集合與集合之間的包含關(guān)系集合A是集合B的局部元素構(gòu)成的集合，我們說(shuō)集合B包含集合A；子集：如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，我們說(shuō)這兩個(gè)集合有包含關(guān)系，稱集合A是集合B的子集(subset).記作：，當(dāng)集合A不包含于集合B時(shí)，記作AB，用Venn圖表示兩個(gè)集合間的包含關(guān)系：要點(diǎn)詮釋：1是的子集的含義是

2、：的任何一個(gè)元素都是的元素，即由任意的，能推出2當(dāng)不是的子集時(shí)，我們記作(或)，讀作：不包含于或不包含真子集：假設(shè)集合，存在元素*B且，則稱集合A是集合B的真子集(proper subset).記作：AB(或BA)規(guī)定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.2.集合與集合之間的相等關(guān)系，則A與B中的元素是一樣的，因此A=B要點(diǎn)詮釋：任何一個(gè)集合是它本身的子集，記作要點(diǎn)二：集合的運(yùn)算1.并集一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集，記作：AB讀作：A并B，即：AB=*|*A，或*BVenn圖表示：要點(diǎn)詮釋：1*A，或*B包含三種情況：；2兩個(gè)集合求并集

3、，結(jié)果還是一個(gè)集合，是由集合A與B的所有元素組成的集合(重復(fù)元素只出現(xiàn)一次).2.交集一般地，由屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，叫做集合A與B的交集；記作：AB，讀作：A交B，即AB=*|*A，且*B；交集的Venn圖表示：要點(diǎn)詮釋：1并不是任何兩個(gè)集合都有公共元素，當(dāng)集合A與B沒有公共元素時(shí)，不能說(shuō)A與B沒有交集，而是2概念中的所有兩字的含義是，不僅AB中的任意元素都是A與B的公共元素，同時(shí)A與B的公共元素都屬于AB3兩個(gè)集合求交集，結(jié)果還是一個(gè)集合，是由集合A與B的所有公共元素組成的集合.3.補(bǔ)集全集：一般地，如果一個(gè)集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，則就稱這個(gè)集合為全集

4、，通常記作U.補(bǔ)集：對(duì)于全集U的一個(gè)子集A，由全集U中所有不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對(duì)于全集U的補(bǔ)集(plementary set)，簡(jiǎn)稱為集合A的補(bǔ)集，記作：補(bǔ)集的Venn圖表示：要點(diǎn)詮釋：1理解補(bǔ)集概念時(shí)，應(yīng)注意補(bǔ)集是對(duì)給定的集合和相對(duì)而言的一個(gè)概念，一個(gè)確定的集合，對(duì)于不同的集合U，補(bǔ)集不同2全集是相對(duì)于研究的問題而言的，如我們只在整數(shù)*圍內(nèi)研究問題，則為全集；而當(dāng)問題擴(kuò)展到實(shí)數(shù)集時(shí)，則為全集，這時(shí)就不是全集3表示U為全集時(shí)的補(bǔ)集，如果全集換成其他集合如時(shí)，則記號(hào)中U也必須換成相應(yīng)的集合即4.集合根本運(yùn)算的一些結(jié)論：假設(shè)AB=A，則，反之也成立假設(shè)AB=B，則，反之也成

5、立假設(shè)*(AB)，則*A且*B假設(shè)*(AB)，則*A，或*B求集合的并、交、補(bǔ)是集合間的根本運(yùn)算，運(yùn)算結(jié)果仍然還是集合，區(qū)分交集與并集的關(guān)鍵是且與或，在處理有關(guān)交集與并集的問題時(shí)，常常從這兩個(gè)字眼出發(fā)去提醒、挖掘題設(shè)條件，結(jié)合Venn圖或數(shù)軸進(jìn)而用集合語(yǔ)言表達(dá)，增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的思想方法.【典型例題】類型一：集合間的關(guān)系例1. 請(qǐng)判斷00 ；，正確的有哪些？【答案】【解析】錯(cuò)誤，因?yàn)?是集合中的元素，應(yīng)是；中都是元素與集合的關(guān)系，正確；正確，因?yàn)槭侨魏渭系淖蛹侨魏畏强占系恼孀蛹械臑榉强占希诲e(cuò)誤，是沒有任何元素的集合【總結(jié)升華】集合的符號(hào)語(yǔ)言十分簡(jiǎn)潔，因而被廣泛用于現(xiàn)代數(shù)學(xué)之中，但往

6、往容易混淆，其障礙在于這些符號(hào)與具體意義之間沒有直接的聯(lián)系，突破方法是熟練地掌握這些符號(hào)的具體含義.舉一反三：【變式1】用適當(dāng)?shù)姆?hào)填空：(1) *|*|1*|*21；(2)y|y=2*2y|y=3*2-1；(3)*|*|1*|*1；(4)(*，y)|-2*2(*，y)|-1*2【答案】 (1)= (2) (3) (4)【總結(jié)升華】區(qū)分元素與集合間的關(guān)系，集合與集合間的關(guān)系.例2.2015秋 確山縣期中A=*24=0，B=*a*6=0，且B是A的子集1求a的取值集合M；2寫出集合M的所有非空真子集【思路點(diǎn)撥】對(duì)1根據(jù)A集合中的元素，分類討論B的可能情況，再注解a，寫出集合M根據(jù)含有n個(gè)元素的集

7、合的真子集個(gè)數(shù)是2n1，求解2【答案】1M=0，3，3；20，3，3，0，3，0，3，3，3【解析】1A=2，2B是A的子集，B=，2，2，B=時(shí)，方程a*6=0無(wú)解，得a=0；B=2時(shí)，方程a*6=0的解為*=2，得2a6=0，所以a=3；B=2時(shí)，方程a*6=0的解為*=2，得2a6=0，所以a=3所以a的取值集合M=0，3，32M=0，3，3的非空真子集為0，3，3，0，3，0，3，3，3【總結(jié)升華】此題考察集合的子集問題，含有n個(gè)元素的集合的子集個(gè)數(shù)是2n，真子集個(gè)數(shù)是2n1；非空真子集個(gè)數(shù)是2n2舉一反三：【變式1】，則這樣的集合有個(gè).【答案】7個(gè)【變式2】同時(shí)滿足：；，則的非空集合

8、有 A. 16個(gè) B. 15個(gè) C. 7個(gè) D. 6個(gè)【答案】C【解析】時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；非空集合可能是：，共7個(gè).應(yīng)選C.【變式3】集合A=1，3，a， B=a2，并且B是A的真子集，*數(shù)a的取值.【答案】 a=-1， a=或a=0【解析】， a2A，則有：1a2=1a=1，當(dāng)a=1時(shí)與元素的互異性不符，a=-1；2a2=3a=3a2=aa=0， a=1，舍去a=1，則a=0綜上：a=-1， a=或a=0.注意：根據(jù)集合元素的互異性，需分類討論.【高清課堂：集合的概念、表示及關(guān)系377430 例2】例3. 設(shè)M=*|*=a2+1，aN+，N=*|*=b2-4b+5，bN+，則M與

9、N滿足( )A. M=N B. MN C. NM D. MN=【答案】B【解析】當(dāng)aN+時(shí)，元素*=a2+1，表示正整數(shù)的平方加1對(duì)應(yīng)的整數(shù)，而當(dāng)bN+時(shí)，元素*=b2-4b+5=(b-2)2+1，其中b-2可以是0，所以集合N中元素是自然數(shù)的平方加1對(duì)應(yīng)的整數(shù)，即M中元素都在N中，但N中至少有一個(gè)元素*=1不在M中，即MN，應(yīng)選B.例4假設(shè)M=N，則=A200 B200 C100 D0【思路點(diǎn)撥】解答此題應(yīng)從集合元素的三大特征入手，此題應(yīng)側(cè)重考慮集合中元素的互異性【答案】D【解析】由M=N，知M，N所含元素一樣.由00，|*|，y可知假設(shè)*=0，則*y=0，即*與*y是一樣元素，破壞了M中元

10、素互異性，所以*0.假設(shè)*y=0，則*=0或y=0，其中*=0以上討論不成立，所以y=0，即N中元素0，y是一樣元素，破壞了N中元素的互異性，故*y0假設(shè)，則*=y，M，N可寫為M=*，*2，0，N=0，|*|，*由M=N可知必有*2=|*|，即|*|2=|*|*|=0或|*|=1假設(shè)|*|=0即*=0，以上討論知不成立假設(shè)|*|=1即*=1當(dāng)*=1時(shí)，M中元素|*|與*一樣，破壞了M中元素互異性，故 *1當(dāng)*=-1時(shí)，M=-1，1，0，N=0，1，-1符合題意，綜上可知，*=y=-1=-2+2-2+2+2=0【總結(jié)升華】解答此題易無(wú)視集合的元素具有的互異性這一特征，而找不到題目的突破口因此，

11、集合元素的特征是分析解決*些集合問題的切入點(diǎn)舉一反三：【變式1】設(shè)a，bR，集合，則b-a=( )【答案】2【解析】由元素的三要素及兩集合相等的特征：當(dāng)b=1時(shí)，a=-1，當(dāng)時(shí)，b=a且a+b=0，a=b=0(舍)綜上：a=-1，b=1，b-a=2.類型二：集合的運(yùn)算例5.12014 *期中；，則AB A BC2，2 D2設(shè)集合M=3，a，N=*|*22*0，*Z，MN=1，則MN為 A 1，2，a B 1，2，3，a C 1，2，3 D 1，3【思路點(diǎn)撥】1先把集合A、B進(jìn)展化簡(jiǎn)，再利用數(shù)軸進(jìn)展相應(yīng)的集合運(yùn)算2先把集合N化簡(jiǎn)，然后再利用集合中元素的互異性解題【答案】1C 2D【解析】1集合A

12、、B均表示構(gòu)成相關(guān)函數(shù)的因變量取值*圍，故可知：A=y|y2，B=y|y2，所以AB=y|2y2，選C2由N=*|*22*0，*Z可得：N=*|0*2，*Z=1，又由MN=1，可知1M，即a=1，應(yīng)選D舉一反三：【變式1】設(shè)A、B分別是一元二次方程2*2+p*+q=0與6*2+(2-p)*+5+q=0的解集，且AB=，求AB.【答案】， ，-4【解析】AB=，是方程2*2+p*+q=0的解，則有：(1)，同理有：6()2+(2-p)+5+q=0(2)聯(lián)立方程(1)(2)得到：方程(1)為2*2+7*-4=0，方程的解為：*1=， *2=-4， ，由方程(2) 6*2-5*+1=0，解得：*3=

13、， *4=，B=， ，則AB=， ，-4.【變式2】設(shè)集合A=2，a2-2a，6，B=2，2a2，3a-6，假設(shè)AB=2，3，求AB.【答案】 2，3，6，18【解析】由AB=2，3，知元素2，3是A，B兩個(gè)集合中所有的公共元素，所以32，a2-2a，6，則必有a2-2a=3，解方程a2-2a-3=0得a=3或a=-1當(dāng)a=3時(shí)，A=2，3，6，B=2，18，3AB=2，3，62，18，3=2，3，6，18當(dāng)a=-1時(shí)，A=2，3，6，B=2，2，-9這既不滿足條件AB=2，3，也不滿足B中元素具有互異性，故a=-1不合題意，應(yīng)舍去.綜上AB=2，3，6，18例6. 設(shè)全集U=*N+|*8，假

14、設(shè)A(CuB)=1，8，(CuA)B=2，6，(CuA)(CuB)=4，7，求集合A，B.【答案】A=1，3，5，8，B=2，3，5，6【解析】全集U=1，2，3，4，5，6，7，8由A(CuB)=1，8知，在A中且不在B中的元素有1，8；由(CuA)B=2，6，知不在A中且在B中的元素有2，6；由(CuA)(CuB)=4，7，知不在A中且不在B中的元素有4，7，則元素3，5必在AB中.由集合的圖示可得A=1，3，5，8，B=2，3，5，6.類型三：集合運(yùn)算綜合應(yīng)用例72014 西城學(xué)探診集合A=*|4*2， B=*|1*3，C=*|*a，aR1假設(shè)ABC=，*數(shù)a的取值*圍；2假設(shè)ABC，*

15、數(shù)a的取值*圍【思路點(diǎn)撥】1畫數(shù)軸；2注意是否包含端點(diǎn)【答案】1a3 2a4【解析】1A=*|4*2， B=*|1*3，又ABC=，如圖，a3；2畫數(shù)軸同理可得：a4【總結(jié)升華】此問題從外表上看是集合的運(yùn)算，但其本質(zhì)是一個(gè)定區(qū)間，和一個(gè)動(dòng)區(qū)間的問題思路是，使動(dòng)區(qū)間沿定區(qū)間滑動(dòng)，數(shù)形結(jié)合解決問題舉一反三：【變式1】集合P=*21,M=a.假設(shè)PM=P,則a的取值*圍是 A(-, -1 B1, +C-1，1 D-，-1 1，+【答案】C【解析】又，應(yīng)選C例8. 設(shè)集合.1假設(shè)，求的值；2假設(shè)，求的值.【思路點(diǎn)撥】明確、的含義，根據(jù)的需要，將其轉(zhuǎn)化為等價(jià)的關(guān)系式和，是解決此題的關(guān)鍵.同時(shí)，在包含關(guān)系式中，不要漏掉的情況.【答案】1或；2【解析】 首先化簡(jiǎn)集合，得.1由，則有，可知集合為，或?yàn)?、，或?yàn)?假設(shè)時(shí)，解得.假設(shè),代入得.當(dāng)時(shí)，符合題意；當(dāng)時(shí)，也符合題意.假設(shè)，代入得，解得或.當(dāng)時(shí)，已討論，符合題意；當(dāng)時(shí)，不符合題意.由，得或.2.又，而至多只有兩個(gè)根，因此應(yīng)有，由1知.【總結(jié)升華】?jī)蓚€(gè)等價(jià)轉(zhuǎn)化：非常重要，注意應(yīng)用.另外，在解決有條件的集合問題時(shí)，不要無(wú)視的情況.舉一反三：【變式1】2015 源匯區(qū)一模設(shè)A=*2+4*=0，B=*2+2(a+1)*+a21