例談三棱錐的一個簡單性質的應用

1、例談三棱錐的一個簡單性質的應用本文結合幾道高考試題，對三棱錐的一個簡單性質在求錐體體積問題中的運用予以介紹 .預備知識三角形一邊的中線將原三角形分成的兩個三角形的面積相等 .如圖，已知點 D 是 ABC 的邊 BC 上的中點， 則由三角形的面積公式易知 SABD=S ACD.定理經(jīng)過一個三棱錐中沒有公共點的兩條棱中一條棱的中點和另外一條棱的平面，將該三棱錐截成體積相等的兩部分 .如圖，已知在三棱錐 S-ABC 中，點 D 是 SA 的中點， 所以由預備知識得： S ABD=S BDS. 設 C 到平面 SAB 的距離為 h，則 VS-BCD=VC-BDS=13S BDSh ， VA-BCD=V

2、C-ABD=13S ABDh ，所以 VS-BCD=V A-BCD.下面就舉例來談談這一性質在求三棱錐的體積中的運用.例 1（2010 陜西文 18）如圖，在四棱錐 P-ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PA平面 ABCD ， AP=AB ， BP=BC=2 ，E， F 分別是 PB， PC 的中點 .（）證明： EF平面 PAD；（）求三棱錐E-ABC 的體積 V.（）證明略；（） 分析：如圖，連接 AC ，AE ，CE，由矩形 ABCD 知三棱錐 P-ABC 的體積是四棱錐 P-ABCD 體積的 12.由 E 為 PB 的中點知三棱錐 E-ABC 的體積是三棱錐 P-ABC 體積的1

3、2.于是，三棱錐 E-ABC 的體積 V 是四棱錐 P-ABCD 的體積的 14.解連接 AC ， AE ， CE.由 PA平面 ABCD ， AP=AB ，BP=BC=2 ， 知： AP=AB=2.所以 VP-ABCD=13SABCD?AP=13?22?2=43.由矩形 ABCD 知 VP-ABC=12VP-ABCD.又 E 為 PB 的中點，所以 VE-ABC=12VP-ABC=14VP-ABCD=14?43=13.例 2（ 2012 全國課標理 11）已知三棱錐 S-ABC 的所有頂點都在球 O 的球面上， ABC 是邊長為 1 的正三角形，SC 為球 O 的直徑，且SC=2，則此棱錐的

4、體積為（） .分析如圖，連接 AO ，BO. 因為 O 是 SC 的中點，所以三棱錐 S-ABC 的體積是三棱錐 O-ABC 體積的 2 倍，于是求出三棱錐 O-ABC 的體積即可知道三棱錐 S-ABC 的體積 .解連接 AO ， BO，取 AB 的中點 D ，連接 OD ， CD，作OO CD，垂足為 O .因為 OA=OB=OC=1 ， ABC 是邊長為1 的正三角形，所以 CO =2312- （12） 2=33.所以 OO =12- （ 33） 2=63.又 S ABC=12?1?1?sin60 =34，所以 VS-ABC=2VO-ABC=2?13?34?63=26.例 （3 2012

5、遼寧文 18）如圖，直三棱柱 ABC=A B C，BAC=90 ， AB=AC=2 ，AA =1，點 M ，N 分別為 A B和 BC的中點 .（）證明： MN 平面 A ACC ；（）求三棱錐A -MNC 的體積 .（）證明略；（） 分析：如圖，連接 BN ，由 M 為 A B 的中點知三棱錐 A -MNC 的體積是棱錐 A -BNC 體積的 12.解連接 BN. 因為 BAC=90 ，AB=AC=2 ，AA =1，所以 BC= （ 2） 2+（ 2）2=2.又 N 為 B C的中點，所以 SABC=12?2?1=1 ， A N=1，因三棱柱ABC-A B C是直三棱柱，所以 AN平面 AA

6、CC .所以由 M 為 AB 的中點知VA -MNC=12V A -BCN=12?13?1?1=16.例 4（ 2013 年高考安徽（文） ）如圖，四棱錐 P-ABCD 的底面 ABCD 是邊長為 2 的菱形， BAD=60 .已知PB=PD=2 ，PA=6.（）證明：PC BD.（）若E 為 PA 的中點，求三棱錐P-BCE 的體積 .（）證明略 .（）分析：如圖， E 為 PA 的中點， 所以三棱錐P-BCE的體積是三棱錐 P-ABC 的體積的 12.連接 AC ，則三棱錐 P-ABC 的體積是四棱錐 P-ABCD 的體積的 12，于是三棱錐 P-BCE 的體積是四棱錐 P-ABCD 的體積的 14.解連接 AC 交 BD 于 O，連接 PO.因為四邊形 ABCD 是菱形，所以 BD AC ， BO=DO. 又 PB=PD ，所以 BD PO.又 AB=AD=2 ， BAD=60 ，所以 BO=1. 所以 PO2=3，AO2=3.又 PA2=6，所以 PA2=PO2+AO2. 所以 AC PO.所以