直線與橢圓位置關(guān)系

1、 知識與歸納：1.點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系直線與橢圓xx2y2點(diǎn)用0，%)在橢圓aAi內(nèi)部的充要條件是x2拉i；在橢圓外部的充要條件是x2拉i；a2b2a2b2在橢圓上的充要條件是尚唉”.直線與橢圓的位置關(guān)系.x2y2設(shè)直線l：Ax+By+C=0，橢圓C：一1,聯(lián)立l與C，消去某一變量(x或y)得到關(guān)于另一個變量的一元二a2b2次方程，此一元二次方程的判別式為4，則l與C相離的A0.弦長計(jì)算計(jì)算橢圓被直線截得的弦長，往往是設(shè)而不求，即設(shè)弦兩端坐標(biāo)為P1(x1，y1)，P2(x2，y)|ppT=%i(xx)2(yy)21k2xx，11-yy(k為直線斜率)形式(利用根與系TOC o 1-5 h z21

2、2“121212ik212數(shù)關(guān)系(推導(dǎo)過程：若點(diǎn)A(x,y)，B(x,y)在直線ykxb(k0)上，1122則ykxb，ykxb，這是同點(diǎn)縱橫坐標(biāo)變換，是兩大坐標(biāo)變換技巧之一，1122 HYPERLINK l bookmark8 AB：(xx)2(yy)2；(xx)2(kxkx)2v;(1k2)(xx)2“1212121212 HYPERLINK l bookmark10 V;(1Bk2)(xx)24xx1212 HYPERLINK l bookmark12 或者ABq(xx)2(yy)2：(1xB1x)2(yy)2：(1.4)(yy)21212k1k212k212j(11)(yy)24yy)

3、1k21212一，直線與橢圓的位置關(guān)系x2y2例題1、判斷直線kxy30與橢圓-1的位置關(guān)系164ykx3解：由ix2y2可得(4k21)x224kx20016(16k25)IB彳1TOC o 1-5 h z(1)當(dāng)16(16k25)0即k亙或kHBl1時，直線kxy30與橢圓x2丁21相交44164(2)當(dāng)16(16k25)0即k亙或k上!時，直線kxy30與橢圓x2y21相切44164當(dāng)16(16k25)0即gk時，直線ky30與橢圓x2-y2-1相離x2y2例題2、若直線ykx1(kR)與橢圓一1恒有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍5m解法一：ykx1由i2-y21可得(5k2m)x210kx

4、55m0，m5k210即m5k21115mm1且m5解法二：直線恒過一定點(diǎn)(0,1)當(dāng)m5時，橢圓焦點(diǎn)在x軸上，短半軸長b4m，要使直線與橢圓恒有交點(diǎn)則4m1即1m5當(dāng)m5時，橢圓焦點(diǎn)在y軸上，長半軸長a石可保證直線與橢圓恒有交點(diǎn)即m5綜述：m1且m5解法三：直線恒過一定點(diǎn)(0,1)0212要使直線與橢圓恒有交點(diǎn)，即要保證定點(diǎn)(0,1)在橢圓內(nèi)部U1即m15mm1且m5評述由直線方程與橢圓方程聯(lián)立的方程組解的情況直接導(dǎo)致兩曲線的交點(diǎn)狀況，而方程解的情況由判別式來決定，直線與橢圓有相交、相切、相離三種關(guān)系，直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y或x得到關(guān)于x或y的一元二次方程，則(1)直線與橢圓相交0(

5、2)直線與橢圓相切0(3)直線與橢圓相離0，所以判定直線與橢圓的位置關(guān)系，方程及其判別式是最基本的工具?；蛘呖墒紫扰袛嘀本€是否過定點(diǎn)，并且初定定點(diǎn)在橢圓內(nèi)、外還是干脆就在橢圓上，然后借助曲線特征判斷：如例2中法二是根據(jù)兩曲線的特征觀察所至；法x2y2三則緊抓定點(diǎn)在橢圓內(nèi)部這一特征：點(diǎn)M(x,y)在橢圓內(nèi)部或在橢圓上則一+1ooa2b2二、弦長問題x2yx2y2例3、已知橢圓1的左右焦點(diǎn)分別為21F1，F(xiàn)2,若過點(diǎn)理0，-2DD”直線交橢圓于A,B兩點(diǎn)，求力ABF的面積解法一：由題可知：直線Jb方程為2xy204、104、109由e2y2可得9y214y40,yy%.(yy)24yy112112

6、122145解法二：F到直線AB的距離h2510V29即x10V29由i2y2,可得9x216x60，又AB31k2xH1121SS1ABh24v109評述在利用弦長公式ABJ1k2|x1評述在利用弦長公式ABJ1k2|x1x2(k為直線斜率)或焦(左)半徑公式ABPFPFaexaex2a2e(xx)時，應(yīng)結(jié)合韋達(dá)定理解決問題。121212例題4、已知長軸為12,短軸長為6,焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，過它對的左焦點(diǎn)F作傾斜解為1A,B兩點(diǎn)，求弦AB的長口分析：可以利用弦長公式AB1k2x小J(1k2)(x%)24xx求得，12、1212也可以利用橢圓定義及余弦定理，還可以利用焦點(diǎn)半徑來求解：(法1)

7、利用直線與橢圓相交的弦長公式求解-00000003AB11k2x小J(1k2)(xBx)24xx.因?yàn)閍6,b3，所以c3J3.因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上，12、1212所以橢圓方程為x2y21,左焦點(diǎn)F(73,0),從而直線方程為yv3x9.36972v;3由直線方程與橢圓方程聯(lián)立得：13x2x36i0.設(shè)x1,x2為方程兩根，所以x1巴.丁，xx3618,k；3,1213-、/一、一_48從而AB&k2xJ(1k2)(xHx)24xx一.12、121213(法2)利用橢圓的定義及余弦定理求解x2yx2y2由題意可知橢圓方程為36:1,設(shè)AF1mBFn,貝ijAF12m,BF12Bn.122在BAFF

8、中，AF2AF2FF22AFFFcos，即(12m)2m2362m634；TOC o 1-5 h z12211211232;所以m6.同理在IBFF中，用余弦定理得n6-，所以ABmn48.4、：3124y313一、求中點(diǎn)弦所在直線方程問題%2y2）引一條弦，使弦被點(diǎn)平分，求這條弦所在的直線方程。，代入橢圓方程并整理得:例過橢圓一一1內(nèi)一點(diǎn)）引一條弦，使弦被點(diǎn)平分，求這條弦所在的直線方程。，代入橢圓方程并整理得:164解法一：設(shè)所求直線方程為(4k21)%28(2k2k)x4(2k1)2160又設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為8(2k2k又設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為8(2k2k)%124k21（%,y），則%,

9、%是方程的兩個根，于是2212%又為的中點(diǎn)，所以一1%24(2k2k).224k21解得k1,解得k1,故所求直線方程為%2y40。解法二：設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為、（%,y11所以%4，yy2，1212(%2,y2)，）為的中點(diǎn)，兩點(diǎn)在橢圓上，則%24y216兩式相減得(%2兩式相減得(%2%2)4(y2y2)0,yy所以1.%1%11212%11212，即k,4(yy)21AB212故所求直線方程為%2y40。解法三：設(shè)所求直線與橢圓的一個交點(diǎn)為（,y,由于中點(diǎn)為（，）,則另一個交點(diǎn)為4,2y,%24y216因?yàn)?、兩點(diǎn)在橢圓上，所以有_、_,.41%)2I4(2y)216兩式相減得%2y40,

10、由于過、的直線只有一條，故所求直線方程為%2y40。、求弦中點(diǎn)的軌跡方程問題%2y2例過橢圓二三1上一點(diǎn)（，）作直線交橢圓于點(diǎn)，求中點(diǎn)的軌跡方程。6436解法一：設(shè)弦中點(diǎn)（%,y），弦端點(diǎn)（%,y）,（%,y）,11229%216y2576則有11，兩式相減得9（%2%2）16（y2y2）0,9%216y2576121222又因?yàn)閤x2x,12y1y22y，所以9X(xix2)16y(又因?yàn)閤x2x,12yy9yy9x所以A2xx16y12而kPQy0 x(IB)9xy故面公。化簡可得9x272x16y20(x)。y&可得xy&可得x2x8，y2y，211解法二：設(shè)弦中點(diǎn)（x,y），（x,y）

11、，由x7r-112一，_一_x2y24（x4）24y2,又因?yàn)樵跈E圓上，所以立立-1，即6436-1，（x4）2y2.所以中點(diǎn)的軌跡方程為1J二1（x）。169三、弦中點(diǎn)的坐標(biāo)問題B（x2,y2），其中點(diǎn)P（B（x2,y2），其中點(diǎn)P（x0，y0），由題意解：解法一：設(shè)直線yx1與拋物線y24x交于A（x,y），11xH1得y24x消去得(xH1)24x，即x26x10，所以x。:3，y0 x0-1-2，即中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2)。解法二：設(shè)直線yx1解法二：設(shè)直線yx1與拋物線y24x交于A（xyJ，B(x2,y2)其中點(diǎn)P（x0,y0），由題意得yy124x1，y24x22兩式相減得y22y1

12、2-4(x2x1)，(yy)(yy)所以一2124，xx21所以yy4，即y2，xy13，即中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2)。12000 x2y2例題5、已知P（4,2）是直線l被橢圓1所截得的線段的中點(diǎn)，求直線l的方程口369分析：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系問題.通常將直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去y（或x），得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程，再由根與系數(shù)的關(guān)系，直接求出X2,X2（或y2，yj2）的值代入計(jì)算即得.并不需要求出直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，這種“設(shè)而不求”的方法，在解析幾何中是經(jīng)常采用的解：方法一：設(shè)所求直線方程為y2k（X4）.代入橢圓方程，整理得(4k2Hl)x2B8k(4k2)x4(4k2

13、)23608k(4k2)設(shè)直線與橢圓的父點(diǎn)為A(x,y),B(x,y)，則x、x是的兩根，xxll22l2l24k2lP(4,2)為AB中點(diǎn)，4824k(4k12),k1.所求直線方程為x2y80.TOC o 1-5 h z24k2l2方法二：設(shè)直線與橢圓交點(diǎn)A(x,y),B(x,y).:P(4,2)為AB中點(diǎn)，xx8,yy4.11221212B在橢圓上，x24y236,x24y236兩式相減得(x2x2)4(y2y2)0,11221212說明：處理有關(guān)直線與橢圓的位置關(guān)系問題及有關(guān)弦長問題，采用的方法與處理直線和圓的有所區(qū)別這里解決直線與橢圓的交點(diǎn)問題，一般考慮判別式;解決弦長問題，一般應(yīng)用

14、弦長公式.用弦長公式，若能合理運(yùn)用韋達(dá)定理（即根與系數(shù)的關(guān)系），可大大簡化運(yùn)算過程即(xx)(xx)4(yy)(yy)0.1212121即(xx)(xx)4(yy)(yy)0.12121212.yy(XX)1,1212xx4(yy)21212,直線方程為X2y80.方法三：設(shè)所求直線與橢圓的一個交點(diǎn)為A（x,y），另一個交點(diǎn)B（8X,4y）.A、B在橢圓上，,X24y236。(8X)24(4y)236從而A,B在方程一的圖形X2y80上，而過A、B的直線只有一條，.直線方程為X2y80.說明：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是重點(diǎn)考查的解析幾何問題，“設(shè)而不求”的方法是處理此類問題的有效方法.若已知焦點(diǎn)是（33,0）、（*、；3,0）的橢圓截直線x2y80所得弦中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是4,則如何求橢圓