初三數(shù)學(xué)幾何綜合題

1、1.在ABC中，AB=AC，分別以AB和AC為斜邊，向ABC的外側(cè)作等腰直角三角形，M是BC邊中點(diǎn)中點(diǎn)，連接MD和ME（1）如圖1所示，若AB=AC，則MD和ME的數(shù)量關(guān)系是（2）如圖2所示，若ABAC其他條件不變，則MD和ME擁有怎樣的數(shù)量和地址關(guān)系請(qǐng)給出證明過(guò)程；3）在任意ABC中，仍分別以AB和AC為斜邊，向ABC的內(nèi)側(cè)作等腰直角三角形，M是BC的中點(diǎn)，連接MD和ME，請(qǐng)?jiān)趫D3中補(bǔ)全圖形，并直接判斷MED的形狀A(yù)DADAEBCM圖1EBCBCMM圖2圖31）MD=ME解：ADB和AEC是等腰直角三角形，ABD=DAB=ACE=EAC=45，ADB=AEC=90在ADB和AEC中，ADBA

2、EC（AAS），BD=CE，AD=AE，M是BC的中點(diǎn)，BM=CMAB=AC，ABC=ACB，ABC+ABD=ACB+ACE，即DBM=ECM在DBM和ECM中，DBMECM（SAS），MD=ME2）如圖，作DFAB，EGAC，垂足分別為F、G因?yàn)镈F、EG分別是等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE斜邊上的高，所以F、G分別是AB、AC的中點(diǎn)又M是BC的中點(diǎn)，所以MF、MG是ABC的中位線，MFAC，MGABBFM=BAC，MGC=BACBFM=MGC所以DFM=MGEDF、EG分別是直角三角形ABD和直角三角形ACE斜邊上的中線，MF=EG，DF=MG在DFM與MGE中，DFMMGE（

3、SAS）DM=MEFMD=GEMDME=FMD+FMG+GME=GEM+MGC+GMEEGACEGC=90GEM+MGC+GME+EGC=180DME=90DMEM（3）以下列圖：MDE是等腰直角三角形2如圖1，在ABC中，ACB90BC2，A=30，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段BC，AFAC的中點(diǎn)，連接EF（1）線段BE與AF的地址關(guān)系是_，BE_（2）如圖2，當(dāng)CEF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)（0o180o），連接AF，BE，（1）中的結(jié)論可否依舊成立.若是成立，請(qǐng)證明；若是不成立，請(qǐng)說(shuō)明原由（3）如圖3，當(dāng)CEF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)（0o180o），延長(zhǎng)FC交AB于點(diǎn)D，若是AD623，求旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)AAA

4、DFFEEBCBC圖3BC圖2EF圖1（1）如圖1，線段BE與AF的地址關(guān)系是互相垂直；ACB=90，BC=2，A=30，AC=2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段BC，AC的中點(diǎn)，=；故答案為：互相垂直；（2）（1）中結(jié)論依舊成立證明：如圖2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段BC，AC的中點(diǎn)，EC=BC，F(xiàn)C=AC，=，BCE=ACF=，BECAFC，=，1=2，延長(zhǎng)BE交AC于點(diǎn)O，交AF于點(diǎn)MBOC=AOM，1=2BCO=AMO=90BEAF；3）如圖3，ACB=90，BC=2，A=30AB=4，B=60過(guò)點(diǎn)D作DHBC于HDB=4（62）=22，BH=1，DH=3，又CH=2（1）=3，CH=DH，HCD=45，

5、DCA=45，=18045=1353.（1）如圖1，在四邊形ABCD中，B=C=90，E為BC上一點(diǎn)，且CE=AB，BE=CD，連接AE、DE、AD，則ADE的形狀是_.(2)如圖2，在ABC中，A90，D、E分別為AB、AC上的點(diǎn)，連接BE、CD，兩線交于點(diǎn)P當(dāng)BD=AC，CE=AD時(shí)，在圖中補(bǔ)全圖形，猜想BPD的度數(shù)并恩賜證明當(dāng)BDCEBPD的度數(shù)_AC3時(shí)，ADCDABECBA圖1圖2（1）等腰直角三角形-1分（2）45.-2分證明：過(guò)B點(diǎn)作FBAB,且FB=AD.FBDA90,BD=AC，CFBDDAC.FDB=DCA，ED=DCFDCA+CDA=90，F(xiàn)DB+CDA=90，PECDF

6、=90，F(xiàn)CD=CFD=45AD=CE，BF=CEBDAFBDA90，F(xiàn)BDA180.BFEC.四形BECF是平行四形BEFC.BPDFCD45.-6分（3）60-7分4在ABC中，ABAC，A0，將段BC點(diǎn)B逆旋60獲取段BD，再將段BD平移到EF，使點(diǎn)E在ABAC（1）如1，直接寫出ABD和CFE的度數(shù)；（2）在上，點(diǎn)F在上1中明：；判斷CEF的形狀并加以明ECF（3）如2，接CE，AAFF1）ABD=15，CFE=2分2）明：CD、DF段BC點(diǎn)B逆旋60獲取段BD，DDEEBCBC圖1圖2BDBC，CBD0BCD是等三角形CDBD段BD平移到EF，EFBD，EFBD四形BDFE是平行四形

7、，EFCD3分ABAC，A0，ABCACBABDABCCBDACDDFEABD，AEFABDAEFACD4分CFEA+AEF，CFDCFEDFEACFD5分AEFFCD（AAS）ECF6分3）解：CEF是等腰直角三角形明：點(diǎn)E作EGCF于G，ACFE，F(xiàn)EGA0，AGE，F(xiàn)EGFG1EGAEDG2EBC圖2，EG1122GCF的中點(diǎn)EGCF的垂直均分EFECCEFFEG=9CEF是等腰直角三角形8分5將ABC點(diǎn)A旋獲取ADE，DE的延與BC訂交于點(diǎn)F，接AF（1）如1，若BAC=60，DF2BF，直接寫出AF與BF的數(shù)量關(guān)系；（2）如2，若BAC=60，DF3BF，猜想段AF與BF的數(shù)量關(guān)系，

8、并明你的猜想；（3）如3，若BAC，DFmBF（m常數(shù)），直接寫出AFBF的（用含、m的式子表示）解：DDDAAAEEECFBBFCBFC123解：（1）AF=BF原由以下：在DF上截取DG=BF，連接AG，（如圖1），由旋轉(zhuǎn)得AD=AB，D=B，在ADG和ABF中，ADGABF（SAS），AG=AF，DAG=BAF，GAF=GAB+BAF=GAB+DAG=DAB=60GAF是等邊三角形，又DF=2BF，AF=GF=DFDG=DFBF=BF，即AF=BF；（2）解：猜想：AF=2BF證明：在DF上截取DG=BF，連接AG（如圖2）由旋轉(zhuǎn)得AD=AB，D=B，在ADG和ABF中，ADGABF（S

9、AS），AG=AF，DAG=BAF，GAF=GAB+BAF=GAB+DAG=DAB=60，GAF是等邊三角形，又DF=3BF，AF=GF=DFDG=DFBF=2BF，即AF=2BF；（3）在DF上截取DG=BF，連接AG，（如圖3），由旋轉(zhuǎn)得AD=AB，D=B，在ADG和ABF中，ADGABF（SAS），AG=AF，DAG=BAF，GAF=GAB+BAF=GAB+DAG=DAB=，GAF是等腰三角形，DF=mBF，GF=DFDG=mBFBF=（m1）BF，過(guò)點(diǎn)A作AHDF于H，則FH=GF=（m1）BF，F(xiàn)AH=GAF=，sinFAH=，sin=，=6已知：ABD和CBD關(guān)于直線BD對(duì)稱（點(diǎn)A

10、的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)C），點(diǎn)E、F分別是線段BC和線段BD上的點(diǎn)，且點(diǎn)F在線段EC的垂直均分線上，連接AF、AE，AE交BD于點(diǎn)G（1）如圖l，求證：EAFABD；2）如圖2，當(dāng)ABAD時(shí)，M是線段AG上一點(diǎn)，連接BM、ED、MF，MF的延長(zhǎng)線交ED于點(diǎn)N，MBF1BAF，AF2AD，請(qǐng)你判斷線段FM和FN之間的數(shù)23量關(guān)系，并證明你的判斷是正確的AAMBDBDGFGF證明：（1）如圖1，連接FE、FCNEE點(diǎn)F在線段EC的垂直均分線上FE=FCCCFEC=FCE圖1圖2ABD和CBD關(guān)于直線BD對(duì)稱（點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)C）AB=CB，ABD=CBD在ABF與CBF中AABCBBDGFEABDCBDBF

11、BFABFCBF（SAS）BAF=FCE，F(xiàn)A=FCFE=FA，F(xiàn)EC=BAFEAF=AEFFEC+BEF=180BAF+BEF=180BAF+BEF+AFE+ABE=360AFE+ABE=AFE+ABD+CBD=180又AFE+EAF+AEF=180EAF+AEF=ABD+CBDABDCBD,EAF=AEFEAF=ABD2）FM=7FN2證明：由(1)可知EAF=ABD又AFB=GFAAFGBFAAGF=BAF又MBF=1BAFMBF=1AGF22A又AGF=MBG+BMGMBG=BMGBG=MGMAB=ADADB=ABD=EAF又FGA=AGDAGFDGADBGGFAGAFAF=2ADFN

12、AGGDAD3EGFAG2AGGD3C設(shè)GF=2aAG=3aGD=9a2FD=5aCBD=ABDABD=ADB2CBD=ADBFAAFAABGEGEGAG2FABEEGDAGBGGD3APGQGF2a44488BP5GQQEkk2PQEFDa55999BDCEEB31C2C2B35kMFMQ77DBQDBC1CF3C9FNDQE22DE圖1圖3圖2（2）如圖2，若E是線段AC上的任意一點(diǎn)，其他條件不變，上述線段系可否發(fā)生變化，寫出你的猜想并加以證明（3）如圖3，若E是線段BE、EF的數(shù)量關(guān)AC延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)，其他條件不變，上述線段BE、EF的數(shù)量關(guān)系可否發(fā)生變化，寫出你的猜想并加以證明AA

13、EEBCFBCF圖2圖1（1）答：猜想BE與EF的數(shù)量關(guān)系為：BE=EF；證明：（1）ABC是等邊三角形，E是線段AC的中點(diǎn)，CBE=ABC=30，AE=CE，AE=CF，CE=CF，F(xiàn)=CEF，F(xiàn)+CEF=ACB=60，F(xiàn)=30，CBE=F，BE=EF；（2）答：猜想BE=EF證明以下：如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EGBC，交AB于點(diǎn)G，ABC是等邊三角形，AB=AC，ACB=60，又EGBC，AGE=ABC=60，又BAC=60，AGE是等邊三角形，AG=AE，BG=CE，又CF=AE，GE=CF，在BGE與ECF中，BGEECF（SAS），BE=EF；3）BE=EF證明以下：如圖3，過(guò)點(diǎn)E作EGBC

14、交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，ABC是等邊三角形，AB=AC，ACB=60，又EGBC，AGE=ABC=60，又BAC=60，AGE是等邊三角形，AG=AE，BG=CE，又CF=AE，GE=CF，又BGE=ECF=60，在BGE與ECF中，BGEECF（SAS），BE=EF10如圖1，已知ABC是等腰直角三角形，BAC90,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)作正方形DEFG，使點(diǎn)A、C分別在DG和DE上，連接AE，BG（1）試猜想線段BG和AE的數(shù)量關(guān)系是；（2）將正方形DEFG繞點(diǎn)D逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)(0360)，判斷（1）中的結(jié)論可否依舊成立請(qǐng)利用圖2證明你的結(jié)論；若BCDE4，當(dāng)AE取最大值時(shí)，求AF的值GFFGAAE

15、BDCEBDC圖1圖21）BG=AE原由：如圖1，ABC是等腰直角三角形，BAC=90，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，ADBC，BD=CD，ADB=ADC=90四邊形DEFG是正方形，DE=DG在ADE和BDG中，ADEBDG（SAS），BG=AE故答案為：BG=AE；（2）成立BG=AE原由：如圖2，連接AD，在RtBAC中，D為斜邊BC中點(diǎn)，AD=BD，ADBC，ADG+GDB=90四邊形EFGD為正方形，DE=DG，且GDE=90，ADG+ADE=90，BDG=ADE在BDG和ADE中，BDGADE（SAS），DG=AE；BG=AE，當(dāng)BG獲取最大值時(shí)，AE獲取最大值如圖3，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為270時(shí)，BG

16、=AEBC=DE=4，BG=2+4=6AE=6在RtAEF中，由勾股定理，得AF=，AF=211在ABC中，CACB，在AED中，DADE，點(diǎn)D、E分別在CA、AB上，（1）如圖，若ACBADE90，則CD與BE的數(shù)量關(guān)系是；（2）若ACBADE120，將AED繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至如圖所示的地址，則CD與BE的數(shù)量關(guān)系是；，（3）若ACBADE2（090），將AED繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至如圖所示的地址，研究線段CD與BE的數(shù)量關(guān)系，并加以證明(用含的式子表示)CCDABDEAB圖E圖解：（1）如圖，作DMAB，交BC于點(diǎn)M，ACB=ADE=90，CA=CB，DA=DE，CAB=CBA=DEA=45，DEBC，四

17、邊形EBMD是平行四邊形，DM=BE，DMAB，CDM=45，DM=CD，BE=CD；故答案為：BE=CD；（2）如圖，CA=CB，ACB=120CAB=CBA=30，AB=AC，同理AE=AD，=，CAD=BAE=30+BAD，CADBAE，=BE=CD；故答案為：BE=CD；3）BE=2CDsin，證明：如圖，分別過(guò)點(diǎn)C、D作CMAB于點(diǎn)M，DNAE于點(diǎn)N，CA=CB，DA=DE，ACB=ADE=2，CAB=DAE，ACM=ADN=，AM=AB，AN=AECAD=BAE，RtACM和RtADN中，sinACM=，sinADN=，又CAD=BAE，BAECAD，BE=2DCsin12如圖，正

18、方形ABCD的邊長(zhǎng)是2，M是AD的中點(diǎn)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止連接EM并延長(zhǎng)交射線CD于點(diǎn)F，過(guò)M作EF的垂線交射線BC于點(diǎn)G，連接EG、FG（1）設(shè)AE=x時(shí)，EGF的面積為y求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）P是MG的中點(diǎn)，求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)F解：（1）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，x=0，y=22=2當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合時(shí)，0 x2在正方形ABCD中，A=ADC=90MDF=90，A=MDF在AME和DMF中AMDEPBCG，AMEDMF（ASA）ME=MF在RtAME中，AE=x，AM=1，ME=EF=2ME=2過(guò)M作MNBC，垂足為N（如圖）則MNG=90，AM

19、N=90，MN=AB=AD=2AMAME+EMN=90EMG=90GMN+EMN=90AME=GMNRtAMERtNMG=，即=MG=2ME=2y=EFMG=22=2x2+2y=2x2+2，其中0 x2；2）如圖，PP即為P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的距離；在RtBMG中，MGBG；MBG=GMG=90BMG；tanMBG=2，tanGMG=tanMBG=2；GG=2MG=4；MGG中，P、P分別是MG、MG的中點(diǎn)，PP是MGG的中位線；PP=GG；=2即：點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)為213將等腰RtABC和等腰RtADE按圖1方式放置，A=90，AD邊與AB邊重合，AB2AD4將ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一個(gè)角度（018

20、0），BD的延長(zhǎng)線交直線CE于點(diǎn)P.（1）如圖2，BD與CE的數(shù)量關(guān)系是,地址關(guān)系是；（2）在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)ADBD時(shí)，求出CP的長(zhǎng)；（3）在此旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路線長(zhǎng).BBBDDCEACAAC圖1圖E2備用圖解：（1）BD=EC，BDCE；原由：等腰RtABC和等腰RtADE按圖1方式放置，A=90，AD邊與AB邊重合，AB=2AD=4，D，E分別是AB和AC的中點(diǎn)，故BD=EC=AD=AE，BDCE；故答案為：BD=EC，BDCE；（2）如圖3所示：ABC和ADE都是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，BAC=DAE=90，BAD=CAE，在ABD和ACE中，ABDACE（SAS）

21、，ABD=ACE，1=2，BPCE，ADBP，DAE=90，AD=AE，四邊形ADPE為正方形，AD=PE=2，ADB=90，AD=2，AB=4，ABD=30，BD=CE=2，CP=CEPE=22；3）如圖4，取BC的中點(diǎn)O，連接OP、OA，BPC=BAC=90，OP=OA=BC=2，在此旋轉(zhuǎn)過(guò)程中（0PBA最大，且PBA=30，此時(shí)AOP=60，點(diǎn)+，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路線長(zhǎng)為：L=+=2180），由（2）知，當(dāng)=60時(shí)，P運(yùn)動(dòng)的路線是以O(shè)為圓心，OA長(zhǎng)為半徑的=2=14如圖1，正方形ABCD與正方形AEFG的邊AB、AE（ABAE）在一條直線上，正方形AEFG以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為

22、.在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，兩個(gè)正方形只有點(diǎn)A重合，其他極點(diǎn)均不重合，連接BE、DG.（1）當(dāng)正方形AEFG旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的地址時(shí)，求證：BE=DG；（2）當(dāng)點(diǎn)C在直線BE上時(shí)，連接FC，直接寫出FCD的度數(shù)；（3）如圖3，若是=45，AB=2，AE=42，求點(diǎn)G到BE的距離.GGADGADADFFBCBCBCEFEE圖1圖2圖31）證明：如圖2，四邊形ABCD是正方形，AB=AD，BAE+EAD=90.四邊形AEFG是正方形，AE=AG，EAD+DAG=90.GBAE=DAG.ABEADG(SAS).BE=DG.2）解：45或135.（3）解：如圖3，連接GB、GE.由已知=45，ADF可知BAE=4

23、5.又GE為正方形AEFG的對(duì)角線，HBCE圖3AEG=45.ABGE.AE42,GE=8，SVBEG=SVAEG=1S正方形AEFG16.2過(guò)點(diǎn)B作BHAE于點(diǎn)H.AB=2，BHAH2.HE32.BE25.1BEh1h16.設(shè)點(diǎn)G到BE的距離為h.SVBEG2522h165.即點(diǎn)G到BE的距離為165.5515問(wèn)題：在ABC中，ABAC，A=100，BD為B的A均分線，研究AD、BD、BC之間的數(shù)量關(guān)系.請(qǐng)你完成以下研究過(guò)程：（1）觀察圖形，猜想AD、BD、BC之間的數(shù)量關(guān)系D為.（2）在對(duì)（1）中的猜想進(jìn)行證明時(shí)，當(dāng)推出ABC=C=40后，可進(jìn)一步推出ABD=BCDBC=度.（3）為了使同學(xué)們順利地解答本題（1）中的猜想，小強(qiáng)同學(xué)供應(yīng)了一種研究的思路：在BC上截取BE=BD，連接DE,在此基礎(chǔ)上連續(xù)推理可使問(wèn)題獲取解決.你可以參照小強(qiáng)的思路，畫出圖形，在此基礎(chǔ)上對(duì)（1）中的猜想加以證明.也可以采納其他的方法證明你的猜想.1）AD+BD=BC；2）AB=AC，A=100ABC=C=40BD為B的均分線，ABD=