北京版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)專(zhuān)題4.1三角函數(shù)的概念、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式（講解練）教學(xué)講練

1、專(zhuān)題四三角函數(shù)4.1三角函數(shù)的概念、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式數(shù)學(xué) 北京專(zhuān)用考點(diǎn)一三角函數(shù)的概念以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系考點(diǎn)清單考向基礎(chǔ)1.象限角第一象限角的集合第二象限角的集合第三象限角的集合第四象限角的集合終邊落在x軸上的角的集合|=k,kZ終邊落在y軸上的角的集合終邊落在坐標(biāo)軸上的角的集合終邊與角終邊相同的角的集合|=+2k,kZ2.終邊相同的角3.弧度制(1)角度制與弧度制的互化1= rad;1 rad=.(2)弧長(zhǎng)及扇形面積公式弧長(zhǎng)公式:l=|r.扇形面積公式:S=lr=|r2,其中|為圓心角弧度數(shù)的絕對(duì)值,r為扇形半徑.4.任意角的三角函數(shù)的定義設(shè)角終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為(

2、x,y),它與原點(diǎn)的距離為r,則sin =,cos =, tan = .5.三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)上述符號(hào)可簡(jiǎn)記為:一全正,二正弦,三正切,四余弦.6.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系:sin2+cos2=1;(2)商數(shù)關(guān)系:tan =.【知識(shí)拓展】(1)利用平方關(guān)系求三角函數(shù)值,在進(jìn)行開(kāi)方時(shí),要根據(jù)角的象限或范圍判斷符號(hào)后,正確取舍.(2)三角求值、化簡(jiǎn)是三角函數(shù)的基礎(chǔ),在求值與化簡(jiǎn)時(shí),常用方法有:弦切互化法:利用公式tan x=進(jìn)行轉(zhuǎn)化;和積轉(zhuǎn)換法:如利用(sin cos )2=12sin cos 進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化;巧用“1”的變換:1=sin2+cos2=cos2(1+tan2)=s

3、in2.注意求值與化簡(jiǎn)后的結(jié)果要盡可能有理化、整式化.(3)已知tan =m,求解關(guān)于sin 、cos 的齊次式問(wèn)題必須注意以下幾點(diǎn):一定是關(guān)于sin 、cos 的齊次式(或能化為關(guān)于sin 、cos 齊次式的三角函數(shù)式).因?yàn)閏os 0,所以可用cosn(nN*)除之,這樣可以將被求式化為關(guān)于tan 的表達(dá)式,進(jìn)而將tan =m代入,從而完成被求式的求值運(yùn)算.注意1=sin2+cos2的應(yīng)用.(4)半角的“八卦圖”在平面直角坐標(biāo)系中作一個(gè)單位圓,作出四個(gè)象限的角平分線,把單位圓分成八等份,如圖,按逆時(shí)針?lè)较蛞来螛?biāo)上1,2,3,4,1,2,3,4,其含義為:如果是第一象限的角,則為圖中1和它的

4、對(duì)頂部分,即第一或第三象限的角;如果是第二象限的角,則為圖中2和它的對(duì)頂部分,即第一或第三象限的角;如果是第三象限的角,則為圖中3和它的對(duì)頂部分,即第二或第四象限的角;如果是第四象限的角,則為圖中4和它的對(duì)頂部分,即第二或第四象限的角.考向突破考向利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系求三角函數(shù)值例1(2018北京順義二模,13)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,角與角均以O(shè)x為始邊,它們的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),若cos =,則cos(-)=.解析由三角函數(shù)的定義可得cos =.若為第一象限角,則為第四象限角,sin =,sin =-;若為第四象限角,則為第一象限角,sin =-,sin =.sin sin =-.co

5、s(-)=cos cos +sin sin =-.答案- 考點(diǎn)二三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式考向基礎(chǔ)1.三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式角“(kZ)”的三角函數(shù)的記憶口訣:“奇變偶不變,符號(hào)看象限”.公式一二三四五六角2k+(kZ)+-+正弦sin -sin -sin sin cos cos 余弦cos -cos cos -cos sin -sin 正切tan tan -tan -tan 口訣函數(shù)名不變,符號(hào)看象限函數(shù)名改變,符號(hào)看象限2.正確理解“奇變偶不變,符號(hào)看象限”“奇”“偶”指的是k+(kZ)中的整數(shù)k是奇數(shù)還是偶數(shù).“變”與“不變”是相對(duì)于奇偶關(guān)系而言的,sin 與cos 對(duì)偶.“符號(hào)看象限”指的是在k+

6、(kZ)中,將看成銳角時(shí),k+(kZ)的終邊所在的象限.考向突破考向利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值例2(2016四川,11,5分)sin 750=.解析sin 750=sin(720+30)=sin 30=.答案 方法1同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用技巧1.已知sin ,cos 與tan 三者中的一個(gè)求另外兩個(gè),可利用平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系構(gòu)造方程組求解.2.已知tan 的值,求關(guān)于sin 與cos 的齊n次分式的值,可將分子、分母同除以cosn,轉(zhuǎn)化為關(guān)于tan 的式子求解.3.“1”的代換問(wèn)題:含有sin2,cos2及sin cos 的整式求值問(wèn)題,可將所求式子的分母看作“1”,利用“sin2+cos

7、2=1”代換后轉(zhuǎn)化為“切”,然后求解.特別提醒:對(duì)于sin +cos ,sin cos ,sin -cos 這三個(gè)式子,已知其中一個(gè)式子的值,可求其余兩個(gè)式子的值.轉(zhuǎn)化的公式為(sin cos )2=12sin cos方法技巧 .例1已知,且+=35,則tan 2=()A.B.C.D.解題導(dǎo)引 解析依題意,知12(sin +cos )=35sin cos ,令sin +cos =t,t(1,兩邊平方并整理得sin cos =,原式化為12t=35,解得t=,故sin +cos =,sin cos =,即=,即=,即12tan2-25tan +12=0,解得tan =或tan =,由tan 2=可得tan 2=或tan 2=-,故選D.答案D方法2誘導(dǎo)公式及其應(yīng)用利用誘導(dǎo)公式求解問(wèn)題時(shí),應(yīng)先觀察角,后看函數(shù)名.一般是先將負(fù)角化成正角,再化為0360的角,最后化成銳角求其函數(shù)值.在化簡(jiǎn)過(guò)程中應(yīng)牢記“奇變偶不變,符號(hào)看象限”的原則.例2sin(-1 200)cos 1 290+cos(-1 020)sin(-1 050)=()A.-1B.1C.D.-解題導(dǎo)引 解析原式=-sin 1 200cos 1 290-cos 1 020sin 1 050=-sin(3360+120)cos(3360+210)-cos(2360+300)sin(2360+330)=-sin 1