課標(biāo)版高考文科數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)專(zhuān)題專(zhuān)題十五 不等式選講（講解練）教學(xué)講練

1、專(zhuān)題十五不等式選講高考文數(shù)考點(diǎn)一含絕對(duì)值不等式的解法考點(diǎn)清單考向基礎(chǔ)1.|ax+b|c,|ax+b|c型不等式的解法(1)若c0,則|ax+b|c等價(jià)于-cax+bc,|ax+b|c等價(jià)于ax+bc或ax+b-c,然后根據(jù)a,b的值解出即可.(2)若c0),|x-a|+|x-b|c(c0)型不等式的解法(1)零點(diǎn)分區(qū)間法零點(diǎn)分區(qū)間法的一般步驟:令每個(gè)絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)的代數(shù)式為零,并求出相應(yīng)的根;將這些根按從小到大的順序排列,把實(shí)數(shù)集分為若干個(gè)區(qū)間;在所分區(qū)間內(nèi)去掉絕對(duì)值符號(hào)得若干個(gè)不等式,解這些不等式,求出解集;取各個(gè)不等式解集的并集就是原不等式的解集.(2)利用絕對(duì)值的幾何意義求解由于|x-a|

2、+|x-b|與|x-a|-|x-b|分別表示數(shù)軸上與x表示的數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到a,b表示的數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離之和與距離之差,因此對(duì)形如|x-a|+|x-b|0)或|x-a|-|x-b|c(c0)的不等式,利用絕對(duì)值的幾何意義求解更直觀.3.|f(x)|g(x),|f(x)|0)型不等式的解法(1)|f(x)|g(x)f(x)g(x)或f(x)-g(x).(2)|f(x)|g(x)-g(x)f(x)0,b0時(shí),a+b2(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”).考點(diǎn)二不等式的證明考向不等式的證明考向突破例2(2018百校聯(lián)盟TOP20三月聯(lián)考,23)已知函數(shù)f(x)=|2x-3|+|2x-1|的最小值為M.(1)若m

3、,n-M,M,求證:2|m+n|4+mn|;(2)若a,b(0,+),a+2b=M,求+的最小值.解析(1)證明:f(x)=|2x-3|+|2x-1|2x-3-(2x-1)|=2,M=2.要證明2|m+n|4+mn|,只需證明4(m+n)2(4+mn)2,4(m+n)2-(4+mn)2=4(m2+2mn+n2)-(16+8mn+m2n2)=(m2-4)(4-n2),m,n-2,2,m2,n20,4,(m2-4)(4-n2)0,4(m+n)2-(4+mn)20,4(m+n)2(4+mn)2,可得2|m+n|4+mn|.(2)由(1)得,a+2b=2,a,b(0,+),+=(a+2b)=4,當(dāng)且僅

4、當(dāng)a=1,b=時(shí),等號(hào)成立.+的最小值為4.方法1含絕對(duì)值不等式的解法解法一:利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解.解法二:利用“零點(diǎn)分段法”求解.解法三:通過(guò)構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的圖象求解.方法技巧例1(2018東北三省三校第一次模擬,23)已知不等式|2x-5|+|2x+1|ax-1.(1)當(dāng)a=1時(shí),求不等式的解集;(2)若不等式的解集為R,求a的取值范圍.(1)利用零點(diǎn)分段法解不等式;(2)利用數(shù)形結(jié)合法求出直線的斜率,從而求得a的取值范圍.解題導(dǎo)引解析(1)令f(x)=|2x-5|+|2x+1|,則f(x)=|2x-5|+|2x+1|=因?yàn)閍=1,所以當(dāng)x-時(shí),由-4x+4x-1,解得x1,

5、所以x-;當(dāng)-x-1,解得x7,所以-時(shí),由4x-4x-1,解得x1,所以x.綜上,所求不等式的解集為R.(2)由(1)作函數(shù)f(x)的圖象,點(diǎn)A,令y=ax-1,則y=ax-1的圖象過(guò)定點(diǎn)P(0,-1),如圖所示,由不等式|2x-5|+|2x+1|ax-1的解集為R,可得-4a,即-4a.所以,實(shí)數(shù)a的取值范圍為. 方法2與絕對(duì)值不等式有關(guān)的最值問(wèn)題的求解方法求含絕對(duì)值的函數(shù)的最值時(shí),常用的方法:(1)利用絕對(duì)值的幾何意義;(2)利用絕對(duì)值三角不等式,即|a|+|b|ab|a|-|b|;(3)利用零點(diǎn)分區(qū)間法;(4)數(shù)形結(jié)合法;(5)利用基本不等式及柯西不等式.例2已知函數(shù)f(x)=|x-1

6、|-2|x+1|的最大值為k.(1)求k的值;(2)若a,b,cR,+b2=k,求b(a+c)的最大值.解析(1)由題意知f(x)=其圖象如圖,由圖可知f(x)的最大值k=2.(2)由(1)知+b2=2,即(a2+b2)+(b2+c2)=4,因?yàn)閍2+b22ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)),b2+c22bc(當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號(hào)),所以(a2+b2)+(b2+c2)=42(ab+bc),即ab+bc2,故b(a+c)的最大值為2.方法3不等式的證明與應(yīng)用的解題方法證明不等式的常用方法:(1)比較法;(2)綜合法;(3)分析法;(4)反證法和放縮法.例3(2019湖南五市十校教研教改共同體聯(lián)考,

7、23)已知函數(shù)f(x)=|x+1|.(1)求不等式f(x)f(a)-f(-b)成立.(1)由零點(diǎn)分段法解不等式.(2)f(a)-f(-b)=|a+1|-|-b+1|a+1-(-b+1)|=|a+b|即證|ab+1|2|a+b|2 用作差法證明解題導(dǎo)引解析(1)f(x)|2x+1|-1,|x+1|-|2x+1|+10.當(dāng)x-1時(shí),不等式可化為-x-1+(2x+1)+10,解得x-1,x-1;當(dāng)-1x-時(shí),不等式可化為x+1+(2x+1)+10,解得x-時(shí),不等式可化為x+1-(2x+1)+11,x1.綜上所述,A=x|x1.(2)證明:f(a)-f(-b)=|a+1|-|-b+1|a+1-(-b+1)|=|a+b|,要證f(ab)f(a)-f(-b)成立,只需證|ab+1|a+b|,即證|ab+1|