直線和平面平行經(jīng)典題目

1、 /11解：由(1)知MN/PE,.MN與平面ABCD所成的角就是PE與平面ABCD所成的角.設(shè)點(diǎn)P在底面ABCD上的射影為O,連結(jié)OE,貝I/PEO為PE與平面ABCD所成的角.由正棱錐的性質(zhì)知PO=、PB2-OB2=蟲(chóng)2.2由(1)知，BE:AD=BN:ND=5:8,.BE=.8在APEB中，上PBE=60,PB=13,BE=65,8根據(jù)余弦定理，得PE=91.8在RtAPOE中，PO=旦三,PE=91,_28/.sin/PEO=PO=疸.PE7故MN與平面ABCD所成的角為arcsin-7【例3】如圖，在直三棱柱ABC-ABC中，AC=3,BC=4,AA=4,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，求證：AC

2、丄BC；(II)求證：AC/平面CDB；(III)求異面直線AC】與BC所成角的余弦值.解析：直三棱柱ABC-A，底面三邊長(zhǎng)AC=3,BC=4,AB=5,.AC丄BC,且BC在平面ABC內(nèi)的射影為BC,.AC丄BC；(II)設(shè)CB與qB的交點(diǎn)為E,連結(jié)DE,VD是AB的中點(diǎn),E是BC】的中點(diǎn)，.DE/AC,/DEu平面CD氣,AC平面CD氣,.AC/平面CDB；(III)VDE/AC/CED為AC與BC所成的角，在ACED中,ED=1AC=ED=1AC=5212CD=2AB=2，CE=2CBi=2cosZCED=一2-2忑-2異面直線AC】與By所成角的余弦值闖關(guān)訓(xùn)練夯實(shí)基礎(chǔ)（07福建理）已知

3、m、n為兩條不同的直線，二為兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是A.mua,nua,m/卩,n/卩na/卩B.a/卩,mua,nua,nmIInC.m丄a,m丄nnn/aD.n/m,n丄anm丄a解析：A中m、n少相交條件，不正確；B中分別在兩個(gè)平行平面的兩條直線不一定平行，不正確；C中n可以在a內(nèi)，不正確，選D（06福建卷）對(duì)于平面a和共面的直線m、n，下列命題中真命題是A.若m丄a，m丄n，則n/aB.若m/a，n/a，則m/NC.若mua，n/a，則milnD.若m、n與a所成的角相等，則N/m解：對(duì)于平面a和共面的直線解：對(duì)于平面a和共面的直線m、n,真命題是“若mua,na，則mn”

4、,選C.（06湖南卷）過(guò)平行六面體ABCD-AiBiCiDi任意兩條棱的中點(diǎn)作直線，其中與平面（06湖南卷）過(guò)平行六面體ABCD-AiBiCiDi任意兩條棱的中點(diǎn)作直線，其中與平面DBBD平行的直線共1有（）A.4條B.6條1c.8條D.12條解：如圖，過(guò)平行六面體ABCDA1B1C1D1任意兩條棱的中點(diǎn)作直線，其中與平面DBB平行的直線共有12條，選D.（06重慶卷）若P是平面a外一點(diǎn)，則下列命題正確的是BiCA.過(guò)P只能作一條直線與平面a相交B.過(guò)p可作無(wú)數(shù)條直線與平面a垂直C.過(guò)P只能作一條直線與平面a平行D.過(guò)P可作無(wú)數(shù)條直線與平面a平行解析：過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行

5、，且這個(gè)平面內(nèi)的任一條直線都與已知平面平行。故選D5如圖，在三棱柱ABCABC中，點(diǎn)E、F、H、K分別為AC、CB、AB、BC的中點(diǎn)，GABC的重心.從K、H、G、B中取一點(diǎn)作為P，使得該棱柱恰有2條棱與平面PEF平行，則P為（C）A.KB.HC.GD.B6已知a、b為不垂直的異面直線，a是一個(gè)平面，則a、b在a上的射影有可能是兩條平行直線；兩條互相垂直的直線；同一條直線；一條直線及其外一點(diǎn).在上面結(jié)論中，正確結(jié)論的編號(hào)是.（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的編號(hào)）解析：A”與Bq在平面ABCD上的射影互相平行；AB與BC在平面ABCD上的射影互相垂直；DD：與BC】在平面ABCD上的射影是一條直線及其外一點(diǎn)

6、.答案：A1BiDC答案：A1BiDC17已知RtABC的直角頂點(diǎn)C在平面a內(nèi)，斜邊AB/a，AB=2.6，AC、BC分別和平面a成45和30角，則AB到平面a的距離為解析：分別過(guò)A、B向平面a引垂線AA、BB，垂足分別為A、B.xC設(shè)AA=BB=x，則AC2=(-)2=2x2,sin45答案：2BC2=()2=4X2.又AC2+BC2=AB2,.6X2=(2j6)2,x答案：2sin30lCC2lB1Ci8（07江西）右圖是一個(gè)直三棱柱（以A】氣q為底面）被一平面所截得到的幾何體，截面為ABC已知AB=BC=l,ZABC=90,AA=4,BB=2,CC=3lCC2lB1Ci（I）設(shè)點(diǎn)O是AB

7、的中點(diǎn)，證明：OC/平面A】氣Cj（II）求二面角BACA的大??；111（皿）求此幾何體的體積；解法一：證明：作ODA交A1B1于D，連CD.則ODBE】Cq因?yàn)镺是AB的中點(diǎn)，所以O(shè)D=-(AA+BB)=3=CC.2111則ODCC是平行四邊形，因此有OCC1D.CDu平面CBA且OC十平面CBA,則OC面ABC111(2)如圖，過(guò)B作截面BAC面ABC，分別交AA,CC于A,C.221111122作BH丄AC于H，連CH22因?yàn)镃C丄面BAC,所以CC丄BH,則BH丄平面AC又因?yàn)锳B=5,BC二湮,ACnAB2二BC2+AC2所以BC丄AC,根據(jù)三垂線定理知CH丄AC，所以ZBCH就是所

8、求二面角的平面角.2BHi因?yàn)锽H二，所以sinZBCH=-，故ZBCH=30,2BC2即：所求二面角的大小為30因?yàn)槿?，所以VB*=1S叱嚴(yán)=梟（1+2）12V=S屮B(niǎo)=A1B1C1-A2BC2AC1所求幾何體體積為V=冬AA2-VA打解法二：(1)如圖，以幷為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,OCxy1則A(0,4),B(0,0,2),C(10,3)，因?yàn)镺是AB的中點(diǎn)，OCxy1易知，n_(，01)是平面Bf的一個(gè)法向量.因?yàn)镺Cf_0，OC也平面ABC,，所以O(shè)C平面ABC._AB=(0,1,2),BC_(101),設(shè)m_(xy,z)是平面ABC的一個(gè)法向量，則則會(huì)_0,吟_0得：:二_取x_z

9、_1,m_(12,1)1+2+02x6結(jié)合圖形可知所求二面角為銳角顯然，11+2+02x6結(jié)合圖形可知所求二面角為銳角P所以二面角BAC一A的大小是30.P1(3_同解法一培養(yǎng)能力9如圖，在底面是菱形的四棱錐PABCD中,ZABC=60o,PA=AC=a,PB=PD=12a,點(diǎn)E在PD上，且PE:ED=2:1.(I)證明PA丄平面ABCD;PEDBAX-H(II)求以AC為棱，EAC與DAC為面的二面角的大小;(皿)在棱PC上是否存在一點(diǎn)F,使BF/平面PEDBAX-H證明你的結(jié)論.(I)證明因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，/ABC=60,所以AB=AD=AC=a,在APAB中，由PA2+AB2=2a

10、2=PB2知PA丄AB.同理，PA丄AD,所以PA丄平面ABCD.(U)解作EG/PA交AD于G,由PA丄平面ABCD.知EG丄平面ABCD.作GH丄AC于H,連結(jié)EH,則EH丄AC,ZEHG即為二面角。的平面角.a.又PE:ED=2:所以EG=3a,AG=2a，GH=AGsin60=a.從而tan=EG=,0=30.GH3（皿）解法一以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AD、AP分別為y軸、z軸，過(guò)A點(diǎn)垂直平面PAD的直線為x軸,建立空間直角坐標(biāo)系如圖.由題設(shè)條件,相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別為一一31設(shè)點(diǎn)F是棱PC上的點(diǎn)，PF=XPC=CaX,aX,-aX),其中0X1,則2231/31BF=BP+PF=(一a,a

11、,a)+(aX，aX,-aX) HYPERLINK l bookmark12 o Current Document 2222 HYPERLINK l bookmark10 o Current Document .31一=(二a(X-1),_a(1+X),a(1-X).令BF=XAC+XAE得2212a(X-1)=上2aX,22i112a(1+X)=aX+aX,2213-a(1-X)=aX.32九一1=X,14即q1+X=X+X,1321-X=、X.3-11解得“刁，人一2,入113即X=時(shí)，BF=-2AC+2AE.AC、AE共面.=3_2亦即，F(xiàn)是PC的中點(diǎn)時(shí)，BF、又BF0平面AEC，所以當(dāng)

12、F是棱PC的中點(diǎn)時(shí),BF/平面AEC.當(dāng)F是棱PC的中點(diǎn)時(shí)，BF/平面AEC，證明如下，取PE的中點(diǎn)M,連結(jié)FM,則FM/CE.1由EM=-PE=ED，知E是MD的中點(diǎn).連結(jié)BM、BD，設(shè)BDcAC=O，貝IO為BD的中點(diǎn).所以BM/OE.由、知，平面BFM/平面AEC.又BFu平面BFM，所以BF/平面AEC.證法二解法二證法一ii因?yàn)锽F二BC+CP二AD+(CD+DP)22313_二AD+CD+DE二AD+(AD-AC)+(AE-AD)22231二AE-AC.22所以BF、AE、AC共面.又BF0平面ABC，從而B(niǎo)F/平面AEC.探究創(chuàng)新10.如下圖，在正四棱柱ABCDABCD中，AA=

13、1AB,點(diǎn)E、111112點(diǎn)A】、B、M三點(diǎn)的平面ABMN交CD_于點(diǎn)N.11M分別為舛日、qC的中點(diǎn)，過(guò)MEBC1A1求證：EM/平面ABCD；求二面角BANB1的正切值；A設(shè)截面ABMN把該正四棱柱截成的兩個(gè)幾何體的體積分別為V、V(VvV),112121)2(3求V:V的值.12(1)證明：設(shè)AlBl的中點(diǎn)為F,連結(jié)EF、FCl.EF上丄BB.21.E為晳的中點(diǎn),CBA1DE又CM上1BB,.EF上MC.1211四邊形EMC”為平行四邊形.EM/FC.Em0平面ABCD11111FCu平面ABCD,.EM/平面ABCD.111111111(2)解：作BH丄AN于H,連結(jié)BH.BB丄平面A

14、LBCD,.BH丄AN.111111-ZBHB為二面角BANB的平面角.EM/平面ABCD,EMu平面ABMN,平面ABMNp平面ABCD=AN,EM/AN.i1又vEM/FC,.An/FC.1111111111又AF/NC，四邊形AFCN是平行四邊形.二NC=AF.設(shè)AA=a，則AB=2a,DN=a.在RtADN中，WAiDi2+Dn2仝a皿AiND廣躲冬TOC o 1-5 h z在RtAABH中，BH=ABsin/_HAB=2aa.1111111亞真在RtABBH中，tanZBHB=JBB_=竺.11BH44iaV5解：延長(zhǎng)AN與BC交于P,貝iP平面ABMN,且P平面BBCC.又.平面A

15、BMNp平面BBCC=BM,.PBM,，即直線AN、BC；BM交于一點(diǎn)P.又平面MNC/平面BAB,幾何體MNC一BAB為棱臺(tái).=2aa=a2,S=aa=a2,TOC o 1-5 h z111AABB2AMNq224棱臺(tái)MNCBAB的高為BC=2a,V=2a(a2+，a2-a2+a2)=a3,1111113446V2717V2717.V=2a2aaa3=-266思悟小結(jié)直線與平面的位置關(guān)系有三種：直線在平面內(nèi)、直線與平面相交、直線與平面平行,后者又統(tǒng)稱為直線在平面外.輔助線(面)是解證線面平行的關(guān)鍵.為了能利用線面平行的判定定理及性質(zhì)定理,往往需要作輔助線(面).教學(xué)點(diǎn)睛必須使學(xué)生理解并掌握直

16、線與平面的位置關(guān)系,以及直線與平面平行的判定定理及性質(zhì)定理；結(jié)合本課時(shí)題目,使學(xué)生掌握解證線面平行的基本方法.證明線面平行是高考中常見(jiàn)的問(wèn)題,常用的方法就是證明這條線與平面內(nèi)的某條直線平.行拓展題例【例1】在直三棱柱ABCABC中，AB丄Bq,AB=CC=a,BC=b.A1CA1C1設(shè)E、F分別為AB】、Bq的中點(diǎn)，求證：EF/平面ABC；求證：AC丄AB；求點(diǎn)B到平面ABC的距離.B證明：；EF分別為AB】、BC1的中點(diǎn)，.EF/AC.AC/AC,.Ef/aC.EF/平面ABC.1111證明：.AB=CC,.AB=BB.又三棱柱為直三棱柱，.四邊形ABBA為正方形連結(jié)AR則A”丄AB】.又A

17、B丄BC：.AB丄平面ABC.Ab丄AC.11111111又AC丄AAAC丄平面AABB.AC丄AB.111111111(3)解：TAB/AB,AB/平面ABC.A到平面aBC的距離等于B1到平面AB的距離.過(guò)A作AG丄AC于點(diǎn)G,11111.AB丄平面ACCA,.AB丄AG.從而AG丄平面ABC，故AG即為所求的距離，即AG=x：b2-a2.11111b評(píng)述：本題(3)也可用等體積變換法求解.2、(07全國(guó)U)如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)棱SD丄底面ABCD,E、F分別是AB、SC的中點(diǎn)。AEzBM(I)求證：EF/平面SAD;(D)設(shè)SD=2CD，求二面角A-EF

18、-D的大小;解法一：(1)作FGDC交SD于點(diǎn)G，則G為SD的中點(diǎn).AEzBM連結(jié)AG,FG絲1CD，又CD/AB，故FG/AE,AEFG為平行四邊形.y2FEFAG，又AGu平面SAD,EFw平面SAD.所以EF平面SAD(2)不妨設(shè)DC=2,則SD=4,DG=ADG為等腰直角三角形.取AG中點(diǎn)H，連結(jié)DH，則DH丄AG.又AB丄平面SAD，所以AB丄DH，而ABAG=A,所以DH丄面AEF.取EF中點(diǎn)M，連結(jié)MH，則HM丄EF連結(jié)DM，則DM丄EF故ZDMH為二面角A-EF-D的平面角BDACtanZDMH=也=連BDACHM1所以二面角A-EF-D的大小為arctanJ2.解法二：(1)如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D-x