游龍板運動分析

1、-. z.2014年數(shù)學建模論文第九套題 目： 二輪滑板的最正確運動方式 專業(yè)、*： 儀126 關(guān)姍 專業(yè)、*： 自122 牛佳偉 專業(yè)、*： 機124 趙茜 二輪滑板的最正確運動方式摘要游龍板是一項新型體育運動，他利用了巧妙的力學原理，借助于兩輪的擺動產(chǎn)生前進的動力。本文主要研究人體扭動角度與平底滑板前進速度的關(guān)系模型；針對問題，由于游龍板有兩個特殊的輪子，可以將板的橫向擺動轉(zhuǎn)化成向前的推動力。首先我們通過分析其中一個輪子的構(gòu)造得出推動力產(chǎn)生的原因：一是支持力對轉(zhuǎn)軸產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩L,二是靜摩擦力F對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)矩L；其次令L=L，得到靜摩擦力F與旋轉(zhuǎn)角度的關(guān)系，進而推出水平方向的分力推動力與旋轉(zhuǎn)角度

2、的關(guān)系；接著我們得出加速度a與旋轉(zhuǎn)角度=sin(t)的關(guān)系，即加速度a與時間t的關(guān)系，畫圖并截取一個周期，通過多元線性回歸和殘差檢驗，得出加速度a與時間t的一元二次方程，加速度a對時間t求積分得到前進速度v與t的關(guān)系；最后我們把t=代回得到前進速度v與旋轉(zhuǎn)角度的關(guān)系：畫出圖像得到：當=57.3時，前進速度v最大為0.898m/s。關(guān)鍵詞：二輪滑板的最正確運動方式 推動力 多元線性回歸和殘差檢驗一、問題重述二輪滑板又稱作為兩輪滑板、陸地沖浪板是一種新型的滑板，和普通的四輪滑板不一樣，它只有兩個輪。因其運動起來像龍和蛇一樣扭動，所以國內(nèi)多大稱為游龍板或活力板。它以人體運動理論和巧妙的力學原理，主要

3、利用身體(腰部及臀部)、雙腳扭動及手的擺動來驅(qū)動活力板前進。使滑板運動得到淋漓盡致的發(fā)揮?，F(xiàn)請建立人身體扭動角度與平底滑板前進速度的關(guān)系模型，并找到最正確扭動角度。二、符號說明 靜摩擦力 F旋轉(zhuǎn)角度支持力對轉(zhuǎn)軸產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩L加速度a時間t靜摩擦力對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)矩L轉(zhuǎn)軸與豎直方向的夾角周期T三、問題假設(shè)游龍板前后兩輪機構(gòu)一樣，人體用力均勻。輪子的旋轉(zhuǎn)角度與時間t成正弦函數(shù)?；寮拜喿拥馁|(zhì)量完好不會隨外界的影響而損壞。四、問題分析本文主要研究人體扭動角度與平底滑板前進速度的關(guān)系模型；針對問題，由于游龍板有兩個特殊的輪子，可以將板的橫向擺動轉(zhuǎn)化成向前的推動力。首先我們通過分析其中一個輪子的構(gòu)造得出推動力產(chǎn)

4、生的原因：一是支持力對轉(zhuǎn)軸產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩L,二是靜摩擦力F對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)矩L；其次令L=L，得到靜摩擦力F與旋轉(zhuǎn)角度的關(guān)系，進而推出水平方向的分力推動力與旋轉(zhuǎn)角度的關(guān)系；接著我們假設(shè)支持力N=,=30，輪子的旋轉(zhuǎn)角速度=2，得出加速度a與旋轉(zhuǎn)角度=sin(t)的關(guān)系，即加速度a與時間t的關(guān)系，畫圖并截取一個周期T=0-1.6，通過多元線性回歸和殘差檢驗，得出加速度a與時間t的一元二次方程，加速度a對時間t求積分得到前進速度v與t的關(guān)系；最后我們把t=代回得到前進速度v與旋轉(zhuǎn)角度的關(guān)系，并得出結(jié)果。五、模型建立與求解5.1建立推動力與旋轉(zhuǎn)角度的關(guān)系模型5.1.1 輪子的構(gòu)造分析由于游龍板前后兩個輪子構(gòu)造

5、一樣，只分析其一即可。輪子是通過輪架和一傾斜的轉(zhuǎn)軸安裝在板上，輪子和輪架可以繞轉(zhuǎn)軸的軸線pp自由轉(zhuǎn)動。如圖1示：圖1中用線段AB和BO代表轉(zhuǎn)軸和輪架，O點為輪子的圓心，D點為輪子的觸地點，C點為AB的延長線與地面的交點。輪子的特殊構(gòu)造表達在兩個地方：一是轉(zhuǎn)軸AB是傾斜的，設(shè)與豎直方向的夾角為；二是C點與D點是不重合的。且落在D點前面。當人站在板上時，地面對后輪D點的支持力設(shè)為N。人的雙腳在板面上與前進方向相垂直的的方向擺動，輪子和輪架就會繞轉(zhuǎn)軸PP擺動進而產(chǎn)生向前的推動力。5.1.2推動力產(chǎn)生原因分析如圖2所示：設(shè)輪架繞轉(zhuǎn)軸PP擺過任意角度，輪子擺過一定角度后，C,D兩點的位置也發(fā)生了變化，設(shè)

6、為C和D。輪子受地面支持力N的方向豎直向上，D點與地面間靜摩擦力設(shè)為F，與水平前進方向夾角為90-，做直線DT/pp，DS與滑板前進方向一致。1支持力N對轉(zhuǎn)軸PP的轉(zhuǎn)矩產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩的力的計算支持力N產(chǎn)生使輪子繞轉(zhuǎn)軸PP回擺的轉(zhuǎn)矩。N在垂直于DT方向的分力N(也垂直于pp)是使輪子繞pp轉(zhuǎn)動的有效力，其大小為Nsin。產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩的力臂的計算將圖2對應的局部放大如圖3所示。做DH垂直于滑板前進方向的水平線CH與H點，則DH垂直于面BCH。由于兩平面TDN和BCH平行，所以DN/平面BCH，則分力N所在直線到轉(zhuǎn)軸pp的距離就等于D點到平面BCH的距離。即DH的長度。由圖可知：DH=CDsin即為N對轉(zhuǎn)軸p

7、p的力臂。則，支持力N對轉(zhuǎn)軸pp的轉(zhuǎn)矩L為：L=NsinDH=NsinCDsin(2)靜摩擦力F對轉(zhuǎn)軸pp的轉(zhuǎn)矩產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩的力的計算如圖4，靜摩擦力F產(chǎn)生阻止輪子回擺的力矩，F(xiàn)在垂直于DT的方向的分力F也垂直于pp為產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩的有效力。做輔助線TSDS于S點，TRDF于R點，連接SR，可證明：SRDF.從而可以求出F與DT的夾角TDR的大小，設(shè)為，可求出：cos=所以sin=則F=Fsin=F產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩的力臂的計算如圖4，轉(zhuǎn)軸pp平行于平面TDF，所以，F(xiàn)對pp傳動力臂為pp到平面TDF的距離、過C點做平面TDF的垂線交平面TDF于點G，連接G、D兩點，CG即為力臂。可以證明：CDG=SRT,設(shè)為，

8、由圖知：tg=所以 sin=則CG=CDsin=可以導出F阻止輪架回擺的力矩L:L=FCG=CDF(3)推動力大小令12中的L=L,可求出：F=在輪子繞轉(zhuǎn)軸擺過任意角度時，滑板受到推動力實際上是F在水平前進方向上的分力。F水平=Fsin=5.2 前進速度v與輪子旋轉(zhuǎn)角度關(guān)系模型5.1.1 加速度與旋轉(zhuǎn)角度關(guān)系假設(shè)支持力N=, 轉(zhuǎn)軸與豎直方向夾角=30，輪子的旋轉(zhuǎn)角速度=2，得出加速度a與旋轉(zhuǎn)角度=sin(2t)的關(guān)系： a=得到加速度a與時間t的關(guān)系式：a=根據(jù)加速度a與時間t的關(guān)系式，我們畫出圖5：圖5加速度a與時間t的關(guān)系由圖可知：加速度a與時間t呈周期性變換，我們?nèi)r間的一個周期T=0-

9、1.6；得到圖6:；由于加速度a與時間t的關(guān)系式過于復雜，我們進展線性回歸分析，并對其進展殘差分析，如圖7，圖8；得出系數(shù)b1的置信區(qū)間為-0.5819 0.0202，系數(shù)b2的置信區(qū)間為4.5273 6.2727,系數(shù)b3的置信區(qū)間為-3.9392 -2.8867；,接近于1，說明回歸方程顯著，F(xiàn)= 96.9017,F越大，方程越顯著，p= 0.0467,小于0.05，說明回歸模型成立。回歸方程為：對加速度關(guān)于時間t積分可得：最后，由=sin2t得t=,將其代回上式，得：用matlab畫出圖9由圖可看出，當=57.3時，v最大為0.898m/s.。即在輪子旋轉(zhuǎn)了一個周期T內(nèi)，前進速度v隨旋轉(zhuǎn)

10、角度的增大而增大，當=57.3時，v最大為0.898m/s.，隨后速度幾乎不變；假設(shè)考慮旋轉(zhuǎn)角度為0時，即，輪子停頓旋轉(zhuǎn)時，前進速度會隨時間的增大而減小，此時的阻力F=六、模型評價使游龍板前進的推動力來源于輪子與地面間的靜摩擦力。輪子的構(gòu)造決定了只要輪子繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)過一個角度，輪子與地面間就會有靜摩擦力F,F沿運動方向的水平方向驅(qū)動游龍板前進，所以在光滑的路面上，靜摩擦力不存在，游龍板無法前進。擦作者的雙腳在板面上要不斷的用力前后擺動，目的是保持一直存在，所以必須依靠外力才能夠保持，即F腳。如圖2，F(xiàn)腳=Fcos所以，系統(tǒng)的動能還是來源于人做功。輪子的構(gòu)造使變化時，會牽扯到系統(tǒng)重心上下變化。=0時

11、，系統(tǒng)重心最低，處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，=180時，系統(tǒng)重心最高，處于不穩(wěn)定平衡狀態(tài)。所以，游龍板只能朝一個方向運動，不能倒滑。4未考慮到游龍板停頓擺動時，前進速度會隨時間的增大而減小。我們僅考慮的是輪子在一個周期內(nèi)速度隨旋轉(zhuǎn)角度的變化關(guān)系。七、參考文獻【1】錢明 創(chuàng)新教材豐富教學資源游龍板案例分析期刊論文中國科教創(chuàng)新導刊201033【2】王占軍 一種群眾的極限運動工程活動板期刊論文運動20099【3】苗英愷 活力板推動力來源分析期刊論文科教文匯200825附錄加速度a與時間t的關(guān)系t=0:0.1:5;a1=2.5*sin(sin(2*t).2;a2=(1-0.25*(sin(sin(2*t).2)

12、/(1+(cos(sin(2*t).2)/3)(0.5);a=a1./a2plot(t,a)一個周期內(nèi)加速度a與時間t的關(guān)系t=0:0.1:1.6;a1=2.5*sin(sin(2*t).2;a2=(1-0.25*(sin(sin(2*t).2)/(1+(cos(sin(2*t).2)/3)(0.5);a=a1./a2plot(t,a)回歸分析與殘差檢驗t=0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6;a=0 0.1124 0.4161 0.8266 1.2476 1.6049 1.8606 2.0056 2.0429 1.9746 1.7974 1.5100 1.1286 0.7015 0.3120 0.0571 0.0098;T=ones(17,