股票有、無賣空限制下有效前沿的計(jì)算

1、股票有、無賣空限制下有效前沿 的計(jì)算（doc 9頁(yè)）有、無賣空限制下有效前沿的計(jì)算基于股票案例的研究摘要在豐富的金融投資理論中，投資組合 理論占有非常重要的地位，金融產(chǎn)品本質(zhì)上市各種 金融工具的組合?，F(xiàn)代投資組合理論試圖解釋獲得 最大投資收益與避免過風(fēng)險(xiǎn)之間的基本權(quán)衡關(guān)系， 也就是說投資者將不同的投資品種按一定的比例 組合在一起作為投資對(duì)象，以達(dá)到在保證預(yù)訂收益 的前提下把風(fēng)險(xiǎn)降到最小或者在一定風(fēng)險(xiǎn)的前提 下使收益率最大。在中國(guó)股市上運(yùn)用馬科維茨模型 研究投資有限前沿組合，探索風(fēng)險(xiǎn)變動(dòng)規(guī)律，從而 知道各股票投資組合在達(dá)到最佳時(shí)所占的比例。關(guān)鍵詞馬科維茨模型投資組合有效前 沿投資者很早就認(rèn)識(shí)到了

2、分散的將資金進(jìn)行投 資可以降低投資風(fēng)險(xiǎn)，擴(kuò)大投資收益。但在第一個(gè) 對(duì)此問題做出實(shí)質(zhì)性分析的是美國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬科 維茨。1952年馬科維茨發(fā)表了證券投資組合選 擇，標(biāo)志著證券組合理論的正式誕生。馬科維茨 根據(jù)每一張證券的預(yù)期收益率、方差和所有證券間 的協(xié)方差矩陣，得到證券組合的有效邊界，再根據(jù)投資者的效用無差異曲線，確定最佳投資組合。馬 科維茨的證券組合理論在計(jì)算投資組合的收益和 方差時(shí)非常精確。本文通過對(duì)在上交所上市的六只 股票運(yùn)用馬科維茨模型進(jìn)行分析，找到給定風(fēng)險(xiǎn)下 的最佳投資組合。一、模型理論一、模型理論經(jīng)典馬科維茨均值-方差模型為:其中（R 其中（R = R ,R ,R12,工，,工min

3、。 2 = X t * Xmax E (r ) = X t R，V n-iS . t . * X = 1.R =虱5是第i種資產(chǎn)的預(yù)期收益率;是投資組合的權(quán)重向量；*=()是n中E(r血2分別是投資組合的期PpX =資產(chǎn)間的協(xié)方差矩陣； 望回報(bào)率和方差。馬科維茨模型以期望收益率期望度量收益，以收 益率方差度量風(fēng)險(xiǎn)。在本文中以股票的歷史收益率 的句子作為期望收益率，可能會(huì)造成“追漲的效 果”，在實(shí)際中這些收益率可能會(huì)不一樣；在計(jì)算 組合風(fēng)險(xiǎn)值時(shí)協(xié)方差對(duì)結(jié)果影響較大，在本文中以 股票的歷史收益率的協(xié)方差度量資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)與相關(guān) 性，可能會(huì)與實(shí)際協(xié)方差矩陣存在一定的偏差。前沿的計(jì)算馬科維茨均值-方差模型為

4、典型的帶約束的二次 規(guī)劃問題，在給定的期望收益時(shí)，方差最小解唯一， 函數(shù)如下：min b 2? = x， X X T R = e sv _ iI ，= i給定弓計(jì)算相應(yīng)風(fēng)險(xiǎn)最小的組合，即得到有效前沿上 一點(diǎn)（有效組合），給定一系列弓可以有效描繪出有效前 沿。有效邊界是組合證券資產(chǎn)選擇的重要基礎(chǔ)。根據(jù) Markwitz創(chuàng)立的現(xiàn)代證券投資組合理論，理性的投資者 應(yīng)具有“非滿足性”和“風(fēng)險(xiǎn)回避”兩個(gè)特征，即一定風(fēng) 險(xiǎn)下的期望收益率最大化和一定收益下風(fēng)險(xiǎn)最小化。在 馬科維茨的均值-方差模型中，對(duì)于每一個(gè)給定的收益 率水平，得到的對(duì)應(yīng)投資組合的方差（或標(biāo)準(zhǔn)差）比在同 樣收益水平的任何組合的方差（或標(biāo)準(zhǔn)差

5、）要小,稱為有 效前沿。在標(biāo)準(zhǔn)差-均值坐標(biāo)系中，則是一條雙曲線。收 益率高于最小方差組合所對(duì)應(yīng)的收益率的組合，位于組 合前沿的上半部分，被稱為有效前沿，它是前沿投資組合 和有效投資組合的交集部分。前沿投資組合（Envelope Portfolio）是指對(duì)于任意給定的期望收益水平，所具有 最小方差的投資組合構(gòu)成的集合，即在圖-1中位于包絡(luò) 線線上的投資組合。有效投資組合（EfficientPortfolio）是 指對(duì)于任意給定的方差或標(biāo)準(zhǔn)差水 平,具有最大收益率的投資組合。5 5 5 555555550 9 8 76543210 5 5 5 555555550 9 8 76543210 L福喜鯽

6、跋霍用20 x = 1i0. 20 x = 1i組合標(biāo)準(zhǔn)差可行投資組合:滿足投資比例之和為1,即才i=1的組合，如上圖中的A、B、C組合。可行集：由所有可行投資組合構(gòu)成的集合，為上圖曲線內(nèi)部以陰影表示的區(qū)域。前沿投資組合：對(duì)于任意給定的期望收益水平，所有具有最小方差的投資組合構(gòu)成的集合，即 為途中包絡(luò)線上的投資組合。以組合D為例，在所有期望收益為57%的組合中，組合D具有最小方差 .30.24%。有效投資組合：對(duì)于任意給定的方差或標(biāo)準(zhǔn)差 水平，具有最大收益率的投資組合。有效前沿：有所有有效投資組合構(gòu)成的集合。 任何一個(gè)位于該曲線下方的投資組合，其期望收益 都小于對(duì)應(yīng)在有效邊界上的組合，為標(biāo)準(zhǔn)差

7、卻相 等。條件下計(jì)算有效前沿1=11=1w記列向量J=e (r ) 一c, E(r ) 一c,.,E(r ) F,如果向量Z 為線性方程組夫c戰(zhàn)的解&是方差協(xié)方差矩陣)， R C = Sz1=11=1w則Z-S1(R c)那么/ =(.X ) T為前沿投資組合，其中一1 ( C),x (x , x , , x )1八二1ii =1x = Z / &，即x八二1ii =1i IJiJ =1i =1何前沿投資組合都滿足以上條件。任何兩個(gè)前沿投資組合的線性組合仍為前沿 投資組合；反之，所有前沿投資組合均可由任意兩 個(gè)不同的前沿組合產(chǎn)生。限制下的有效前沿計(jì)算在賣空限制下求解投資組合類似于求大化問 題，

8、只是對(duì)投資組合增加了一個(gè)投資比例非負(fù)性約 束條件： = 1其中x,. 0,i = 1,.,N i=1在有賣空限制下，前沿投資組合的求解可用規(guī) 劃問題表示：Max E d。bxSubject _ to Z x = 1, x 0i = 1有效前沿的計(jì)算基于六只股票從大智慧證券分析軟件提取工商銀行、三一重 工、中國(guó)石化、上海汽車、上海機(jī)場(chǎng)、中國(guó)移動(dòng)六 只股票的收盤價(jià)（向前除權(quán)后提取月K線數(shù)據(jù)）2010 年5月31日至2011年5月31日收盤價(jià)數(shù)據(jù)如下:日期收盤價(jià)三一重 工上海機(jī) 場(chǎng)中國(guó)石 化工商銀 行中國(guó)移 動(dòng)上海汽 車2010-5-315.6213.328.434.2173.714.462010-

9、6-305.7211.847.744.0178.212.752010-7-307.2113.238.824.2578.5512.272010-8-318.6413.268.154.0379.1515.332010-9-309.2112.58.23.9979.4516.412010-10-2914.0714.18.914.378.9516.852010-11-3014.3912.168.134.277.4520.022010-12-3114.3812.398.064.2477.217.122011-1-3114.8414.0494.2576.614.682011-2-2816.7614.558.

10、524.2673.0517.382011-3-3118.5713.568.534.4771.6518.452011-4-2918.3414.198.644.5671.418.222011-5-3116.813.368.064.5671.0516.551.收益率的計(jì)算本文中提取的股票收盤價(jià)為除權(quán)以后的 數(shù)據(jù)，故不需考慮股利分紅等因素。股票A在 第t月的收益率為在第t月末與第（t-1）月 月末價(jià)格之比的自然對(duì)數(shù)，計(jì)算公式為：r = ln（ t）AtPA , t - 1六只股票的月收益率日期收益率三一重 工上海機(jī) 場(chǎng)中國(guó)石 化工商銀 行中國(guó)移 動(dòng)上海汽 車2010-5-312010-6-301.76

11、%-11.78%-8.54%-4.87%5.93%-12.59%日期超額收益率三一重 工上海機(jī) 場(chǎng)中國(guó)石 化工商銀 行中國(guó)移 動(dòng)上海汽 車2010-5-312010-6-30-7.36%-11.80%-8.17%-5.53%6.23%-13.71%2010-7-3014.02%11.08%13.44%5.15%0.75%-4.96%2010-8-318.97%0.20%-7.53%-5.98%1.07%21.14%2010-9-30-2.74%-5.93%0.99%-1.66%0.68%5.68%2010-10-2933.25%12.02%8.68%6.82%-0.33%1.52%2010-1

12、1-30-6.88%-14.83%-8.79%-3.02%-1.61%16.11%2010-12-31-9.19%1.85%-0.49%0.28%-0.02%-16.77%2011-1-31-5.98%12.48%11.41%-0.43%-0.48%-16.50%2011-2-283.04%3.54%-5.11%-0.43%-4.44%15.76%2011-3-311.13%-7.07%0.49%4.15%-1.63%4.85%2011-4-29-10.37%4.52%1.66%1.33%-0.04%-2.38%2011-5-31mrvr-r一17；90%-6.05%-6.57%-0.67%-

13、0.19%-10.74%2010-7-3023.15%11.10%13.06%5.81%2010-7-3023.15%11.10%13.06%5.81%0.45%-3.84%2010-8-3118.09%0.23%-7.90%-5.32%0.76%22.27%2010-9-306.39%-5.90%0.61%-1.00%0.38%6.81%2010-10-2942.38%12.04%8.30%7.48%-0.63%2.65%2010-11-302.25%-14.80%-9.16%-2.35%-1.92%17.24%2010-12-31-0.07%1.87%-0.86%0.95%-0.32%-1

14、5.65%2011-1-313.15%12.50%11.03%0.24%-0.78%-15.38%2011-2-2812.17%3.57%-5.48%0.24%-4.75%16.88%2011-3-3110.26%-7.05%0.12%4.81%-1.94%5.97%2011-4-29-1.25%4.54%1.28%1.99%-0.35%-1.25%2011-5-31-8.77%-6.03%-6.95%0.00%-0.49%-9.61%月期望收益9.13%0.02%-0.37%0.67%-0.31%1.12%年期望收益109.50%0.30%-4.49%7.99%-3.66%13.50%方差（

15、月）1.71%0.78%0.55%0.14%0.06%1.58%標(biāo)準(zhǔn)差（月）13.07%8.85%7.42%3.78%2.35%12.58%方差（年）20.50%9.40%6.60%1.71%0.66%19.00%標(biāo)準(zhǔn)差（年）多?30.66%25.69%13.08%8.15%43.59%2.運(yùn)用超額收益矩陣計(jì)算方差-協(xié)方差矩陣六只股票的超額收益計(jì)算r - E (r )r 一 E (r )r - E (r )r- E C ) TOC o 1-5 h z 2112nm:- -r- E (r )r - E (r )ml1mnm3.計(jì)算方差-協(xié)方差矩陣 協(xié)方差定義為：Cov(r , r )=丈 r -

16、 E(r )* r - E(r )A B M A t A B tBt=1根據(jù)協(xié)方差公式計(jì)算六只股票的方差協(xié)方差矩 陣為：根據(jù)上證指數(shù)求得rf上證指數(shù)日期收盤2010-6-302398.372010-7-302637.52010-8-312638.82010-9-302655.662010-10-292978.842010-11-302820.182010-12-312808.082011-1-312790.692011-2-282905.052011-3-312928.112011-4-292911.512011-5-312743.47rf0.143889, 無賣空限制下有效前沿的計(jì)算計(jì)算前沿

17、組合。根據(jù)無賣空限制計(jì)算有效前沿 性質(zhì)一，需要假設(shè)兩個(gè)不同的常數(shù)烏通過 R-c=Sz求解z,然后根據(jù)性質(zhì)二就可以求得前沿組 合。兩個(gè)前沿組合的計(jì)算兩個(gè)相關(guān)指標(biāo)的計(jì)算期望收益（X）-0.013344596期望收益（M）-0.00732115方差(X)9.43283E-05方差(M)4.97682E-05標(biāo)準(zhǔn)差(X)0.009712277協(xié)方差(M)0.007054655協(xié)方差5.17507E-05liiJ計(jì)算有效前沿。根據(jù)無賣空限制有效前沿計(jì)算的性 質(zhì)二，通過上一步計(jì)算得到的兩個(gè)前沿組合x和 y的線性組合，可以求出整個(gè)可行域的包絡(luò)線，當(dāng) 然有效邊界也包含在內(nèi)。假設(shè)對(duì)組合x的投資比 例為a,對(duì)組合

18、y的比例為(1-a)的組合為p,通過 下面的公式，可以得到組合p的期望收益和標(biāo)準(zhǔn)liiJ差：E(R)=aE(R)+(1-a)E(R) pxyq =aq +(1-a)22 +2a(1-a)Cov(x,y) p xy令a=0.3，可以得到組合p的期望收益和標(biāo)準(zhǔn)差。 此外，使用Excel的模擬運(yùn)算表功能，計(jì)算對(duì) 組合x和y不同投資比例下的期望收益和標(biāo)準(zhǔn) 差，即可得到無賣空限制下有效前沿曲線組合x的投資比例30%組合p的期望收益-0.9128%組合p的標(biāo)準(zhǔn)差5.65733E-05不同組合比例下組合的期望收益和標(biāo)準(zhǔn)差組合x的投資比例 a標(biāo)準(zhǔn)差期望收益0.0057%-0.9128%-40.0000%0.0

19、012%-0.4912%-30.0000%0.0024%-0.5514%-20.0000%0.0035%-0.6116%-10.0000%0.0043%-0.6719%0.0000%0.0050%-0.7321%10.0000%0.0054%-0.7923%20.0000%0.0056%-0.8526%30.0000%0.0057%-0.9128%40.0000%0.0055%-0.9731%50.0000%0.0051%-1.0333%60.0000%0.0045%-1.0935%70.0000%0.0037%-1.1538%80.0000%0.0027%-1.2140%90.0000%0.

20、0014%-1.2742%100.0000%0.0000%-1.3345%110.0000%-0.0006%-1.3947%120.0000%-0.0015%-1.4549%130.0000%-0.0025%-1.5152%140.0000%-0.0038%-1.5754%150.0000%-0.0053%-1.6356%160.0000%-0.0069%-1.6959%無賣空限制的有效前沿曲線-0.組合標(biāo)準(zhǔn)差無賣空限制下有效前沿益收望期合組-0.組合標(biāo)準(zhǔn)差無賣空限制下有效前沿益收望期合組有效前沿曲線呈現(xiàn)出這樣的趨勢(shì)主要是因?yàn)榱?股票的收益率都低于大盤的平均收益率。二、有賣空限制下有效前沿計(jì)

21、算在實(shí)際構(gòu)建投資組合時(shí)要考慮到合規(guī)、合法或5：者分先管理等限制條件，這樣會(huì)給組合構(gòu)建帶來約5：者分先管理等限制條件，這樣會(huì)給組合構(gòu)建帶來約束，例如基金“雙百分之十規(guī)則”；基金投資于某 一證券的市值不能超過基金資產(chǎn)的10%，投資于某 一上市公司的股票不能超過該公司市值的10%。如要求六只股票的最大配置分別為：三一重工最大配置50%，上海機(jī)場(chǎng)最大配置60%，中國(guó)石=i最大配置50%，上海機(jī)場(chǎng)最大配置60%，中國(guó)石=i化最大配置80%，工商銀行最大配置55%，中國(guó) 移動(dòng)最大配置79%，上海汽車最大配置30%； 一重工、上海機(jī)場(chǎng)、中國(guó)石化組成資產(chǎn)集合A； 工商銀行、中國(guó)移動(dòng)、上海汽車組成資產(chǎn)計(jì)劃集合B

22、；其中集合A的最大配置為50%，集合B的最大配置為80%，集合A的配置不能超過集合B的配置 的1.5備，并且有賣空限制的條件下如何配置？六只股票的收益率均值、收益率標(biāo)準(zhǔn)差及超額 收益率協(xié)方差矩陣收益率均 值收益率標(biāo) 準(zhǔn)差（超額收益）方差協(xié)方差矩陣收益率均 值收益率標(biāo) 準(zhǔn)差（超額收益）方差協(xié)方差矩陣三一重 工0.09130.13070.01860.00670.005 00.0028-0.00 030.0061上海機(jī) 場(chǎng)0.00020.08850.00670.00850.00580.0021-0.00 05-0.0028中國(guó)石 化-0.00370.07420.005 00.00580.006 00

23、.0023-0.0002-0.0039工商銀 行0.00670.03780.00280.00210.00230.0016-0.00 04-0.0009中國(guó)移 動(dòng)-0.00310.0235-0.00 03-0.00 05-0.0002-0.00 040.0006-0.0014上海汽 車0.01120.12580.0061-0.0028-0.0039-0.0009-0.00140.0173應(yīng)用二次規(guī)劃問題求解得到: 有效前沿組合組合風(fēng) 險(xiǎn)組合期望收 益六只股票投資比例三一重 工上海機(jī) 場(chǎng)中國(guó)石 化工商銀 行中國(guó)移 動(dòng)上海汽 車1.24%0.08%0.00%1.04%0.00%28.27%63.06

24、%7.63%1.42%0.29%1.85%0.00%0.00%31.89%58.63%7.64%1.65%0.49%4.31%0.00%0.00%30.07%58.58%7.03%1.89%0.70%6.78%0.00%0.00%28.26%58.53%6.43%2.14%0.91%9.25%0.00%0.00%26.45%58.48%5.83%2.40%1.11%11.71%0.00%0.00%24.64%58.43%5.22%2.66%1.32%14.18%0.00%0.00%22.83%58.37%4.62%2.93%1.52%16.65%0.00%0.00%21.01%58.32%4.

25、01%3.20%1.73%19.11%0.00%0.00%19.20%58.27%3.41%3.47%1.94%21.58%0.00%0.00%17.39%58.22%2.81%3.74%2.14%24.05%0.00%0.00%15.58%58.17%2.20%4.02%2.35%26.51%0.00%0.00%13.77%58.12%1.60%4.29%2.56%28.98%0.00%0.00%11.96%58.07%1.00%4.57%2.76%31.45%0.00%0.00%10.14%58.02%0.39%4.85%2.97%33.89%0.00%0.00%8.30%57.81%0.00%5.13%3.18%36.27%0.00%0.00%6.41%57.32%0.00%5.41%3.38%38.65%0.00%0.00%4.52%56.83%0.00%5.69%3.59%41.04%0.00%0.00%2.62%56.34%0.00%5.97%3.80%43.42%0.00%0.00%0.73%55.85%0.00%6.25%4.00%45.68%0.00%0.00%0.00%54.32%0.00%6.54%4.21%47.87%0.00%0.00%0.00%52.13