GPS水準擬合方法探討

1、GPS水準擬合方法探討1-引言GPS定位技術相對于常規(guī)測量技術具有全天候、高精度、測站之間不需要通視等特點， 因而在測繪領域得到廣泛的應用。但是GPS定位成果中點的高程是人地高，即點沿著法線 方向到橢球球面的距離，而我們通常使用的多是正常高，是以似人地水準面為基準面的高程 系統(tǒng)。同一點處正常高和人地高的差值叫做高程異常，因此要將GPS定位成果中的犬地高 轉為正常高，還需要知道每一個點處的高程異常值。利用GPS技術獲取點的正常高需要做 一下三個工作：1 利用GPS定位獲取點的人地高；建立一個高程異常值分布模型；利用人地高和高程異常分布模型獲取點的水準高程。2基本概念高程是用來確定一個點在地面上的

2、高低程度的，常用的高程系統(tǒng)有人地高系統(tǒng)、正常高 系統(tǒng)、正高系統(tǒng)。2. 1大地高高程系統(tǒng)人地高高程系統(tǒng)是以橢球面為基準面的高程系統(tǒng)，地面某點的人地高高程H定義為由地 面點沿橢球面法線到橢球面的距離。GPS定位測屋獲取的是恥S84橢球人地坐標系中的成呆， 也就是說GPS測屋求得的是相對于WGS84橢球的大地高程。由人地高高程的定義可知，它是 一個幾何向量，不具有物理意義。不難理解，不同定義的橢球大地坐標系構成不同的犬地高 程系統(tǒng)，在將人地高轉換為正常高之前首先需要明確到底是基于哪個橢球的人地高。2. 2正高高程系統(tǒng)正高高程系統(tǒng)是以人地水準面為基準面的高程系統(tǒng)。地面上任一點的正高系統(tǒng)即該點沿 垂線方

3、向到大地水準面的距離。3正常高高程系統(tǒng)正常高高程系統(tǒng)是以似人地水準面為基準面的高程系統(tǒng)。在實際應用的高程測量中，地 面點的高程采用正常高系統(tǒng)。地面點的正常高H是該點至似大地水準面的鉛垂距離；而GPS 所測高程是地面點沿通過該點的橢球法線至橢球面的距離。兩者之間存在一個高程異常N, 二者關系為：H iew=H-N 式中：H為人地高，N為高程異常。GPS水準高程計算方法GPS高程轉換到正常高的方法很多，如GPS三角高程、GPS重力高程、曲面擬合法、繪 等值線圖法、解析內插法等一系列方法。它們的轉換方法不同，所能達到的精度也有差異。 在實際工程應用中最常用的是GPS水準，即利用已知幾何水準點或達到水

4、準等級精度的高程 控制點和GPS點聯(lián)測，然后通過高程擬合實現(xiàn)GPS高程到正常高的轉換，或通過這些數(shù)據(jù)擬 合出測區(qū)所在區(qū)域的似大地水準面。GPS水準測屋的高程轉換方法有繪制等值線圖法、解析 內插法、曲線擬合法、曲面擬合法等。這些方法各有不同的轉換思想、轉換條件、數(shù)學模型 和難易程度決定了適合應用于哪一類工程和所能達到的轉換精度。3. 1 GPS水準多項式曲面擬合法多項式曲面擬合常用的做法是首先根據(jù)測區(qū)的概略高程異常圖，選取一定的多項式模 型，然后取全部已知點中的部分已知點作為結點進行模型參數(shù)的求解，剩余已知點作為檢核點。這種方法用于評價擬合精度的數(shù)值標準通常有兩種，一種是內符合精度，即:內符合精

5、度：“二 7vTV/(i】-t)(3-1)另一種是由檢核點得到的外符合精度，即：8- = A/AA/nz (3-2)式中，t為必要觀測數(shù)，n為結點個數(shù)，(為檢核點個數(shù)：為檢核點的已知高程異常 與其擬合值之差。在小區(qū)域且較為平坦的地區(qū)，可以考慮用平面逼近局部似大地水準面。設某公共點的高 程異常與該點的平面坐標關系式為： TOC o 1-5 h z g 廣 ai+ax+asyi(3_3)式中，ara3為模型參數(shù)，需要通過公共點來解算。如果公共點個數(shù)人于3個，則可以列出相應的誤差方程為：M = a】+ a 2 & + a 3 X _ ? ( 口, 2,3，,n)(3-4)寫成矩陣形式為：V=BX-L

6、式中Vi1 & y/ Hiv =v；B =1 Xa y2 ；x =32:L = _33_vn_kJ TOC o 1-5 h z 依最小二乘法可得到 HYPERLINK l bookmark10 o Current Document x = (btB)_1BTl3-5)可以用式(3-3)來計算該區(qū)域內任意一點的高程異常值。根據(jù)以往實驗數(shù)據(jù)，該方法 在120KM1的平原地區(qū)，擬合精度可以達到3CM-4CM。對于相對復雜的地區(qū)，則可以使用二次曲面模型，即地面點高程異常與其平面坐標之間, 有如下函數(shù)關系：& = ao+a】x+a?y+a3xf+a4yi +a5xiyi (3_6)式中：ar ，為模型參

7、數(shù)，要確定式3-4),至少需要6個公共點。當公共點多于6個時，可得誤差方程M = ao+aiX + a2y+a3xf+a4yi(37)寫成矩陣形式為：V二BX-L式中Vi1Vi1 &v =v2；B =1 X2 vn_1百y2Xiy/ y；x =ai3233:L= t(3-9)nxl nXt txl nxl同理可以求出式（3-8）系數(shù)，然后計算任意點的高程異常值。同時可以根據(jù)式（3-1） （3-2）對此方法進行精度評定：已有很多文獻討論過結點選取問題。顯然，結點選取不同時會得到不同的內、外符合精 度值，理想的情況是二者均盡可能地小。實際上，外符合精度數(shù)值小，表示的檢核點與所選模型的符合程度，而內

8、符合精度數(shù)值 小，表明的是結點與所選模型的符合程度。不難理解，如果測區(qū)高程異常呈單一多項式曲面 而所選模型又正確，無疑內、外符合精度數(shù)值都會很??；如果測區(qū)高程異常較為復雜不呈單 一多項式曲面，無論怎么選取結點、檢核點，都不可能做到使二者均很小，除非GPS水準點 數(shù)很少而又位于特殊位置。通過人量實驗會發(fā)現(xiàn)，多項式曲面擬合法結點選取不同時，一般會得到不同的擬合值和 內外符合精度估計值；當測區(qū)不斷有新已知點加入時，往往需要重新計算，計算的自適應程 度較低；當測區(qū)呈馬鞍形甚至波浪形時，整體擬合的效呆將很差，分片擬合不好處理銜接問 題。3.2移動曲面法“移動曲面”指的是用戶所規(guī)定的一個有限區(qū)域，該區(qū)域的

9、位置將隨著未知點的位置變化 而移動。移動曲面擬合法是一種按點逼近的方法，從這個意義上講，實際上包括了前述的整 體擬合與分片擬合的思想。選擇這種模式的主要原因是，這么做可以更好的模擬人地水準面, 而不至于遠離已知點的負面效應損害其精度。實踐和有關文獻表明，移動曲面法在GPS水 準擬合中具有計算簡單、精度較高等特點。當測區(qū)不斷有新的已知點加入時，所得模型的精 度還會不斷提高。此外，因為沒有結點選取問題，該法的自適應計算程度較高。下面分三步說明移動曲面法。y.)(戸 1,2,3,相應坐1）y.)(戸 1,2,3,相應坐標系的數(shù)據(jù)點為（爼，乂）（ 1=1,2,3,.,n對于內插點（&，y.）做:(3-

10、10)Xj = xrXj(3-10)的變換，形成新的坐標（x；，y；）為移動坐標。移動坐標是為了簡化計算而引入的，卞面 可以看到使用移動坐標的優(yōu)點。2）任一數(shù)據(jù)點（&，北）假設距離d的遞減函數(shù)：(3-11)(3-11)將w（d）作為權函數(shù)，權的引入時為了在移動時根據(jù)內插點到數(shù)據(jù)點的距離給出各數(shù)據(jù) 點的不同影響程度，兩點約近影響程度越大。它并不像測量中的權是由誤差定義的。目前在 DTM中廣泛使用的權函數(shù)有：w(d) = exp)w(d) = exp)a(3-12)w(d)=（百Q+w(d)=（百Q+（y廠刃(3-14)(3-13)式中：&為常數(shù)，可由試驗給定，一般應取數(shù)據(jù)點平均間距的兩倍。DTM

11、 k量內插計算表明，權的組織使得內插精度會有明顯改善。當然權函數(shù)的選取， 可根據(jù)具體的情況選取不同形式，或同時利用其他的一些信息，以利于內插。因此它使得移 動法比多項式內插、樣條函數(shù)內插更加靈活。3）一般以某一內插點（x）y.若數(shù)據(jù)點（Xi，y）中滿足：可用這些數(shù)據(jù)點參加內插，則稱為（Xj，y；）為圓心，半徑為r的圓形移動窗11曲面內插。移動曲面法的基本原理與多項式擬合是類似的，為了進一步理解移動法原理，我們以 移動多項式進行公式推導。設移動到第j個內插點（Xj，y：）時，欲利用落入該點移動窗I I內的m個數(shù)據(jù)點（爼，乂）上的測值（1=1,2,. ,m），以下列多項式：&二ao+a】x +a?

12、y +a3X2+a4y+a5x y （3-15）計算第j個內插點函數(shù)值。在m個數(shù)據(jù)點上建立如下誤差方程：v = ao+a1x+a2yi+a3xf+a4y+a5XYr(3_16)其中：pi = wpi = w(d1)=(3-17)令:HoV11 x % y；為 y】ai V3;B =1 x2 y2 x； y； x2y2:x =a2；L =a3Vn_-1 x. yn X； y； X.yn_34H5利用最小二乘原理可得:(3-18) II當使用移動坐標時,丹 II當使用移動坐標時,丹(3-19)代入式(3-15)可得到：由此看出使用移動坐標時，移動多項式的常數(shù)項即為內插點的內插值，這樣就給計算帶 來

13、了很人的方便。解算時可把a排在最后，然后形成下角陣，最后的元素便等于a。使 用移動坐標的另一個優(yōu)點是由于計算中心化，移動坐標(x；，y：)相對較小，形成的法方 程矩陣各元素人小相差不太懸殊，對改善法方程的數(shù)值穩(wěn)定性和提高解算精度有一定作用。移動曲面法可以給出可靠地精度估計信息。將每個數(shù)據(jù)點作為內插點，用周I制的數(shù)據(jù)點 按移動法計算該點的內插值，這樣對每個數(shù)據(jù)點來說，由于本點未參加內插得出的誤差具有 類似真誤差的性質，所以，最后精度評定比較客觀，可信程度高。令Mi為1點觀測值為點內插計算值，觀測值減計算值得：(3-20)則可用卞式進行精度估計：(3-21)11(3-21)11式中：n為數(shù)據(jù)點總個

14、數(shù)。通過人量實驗數(shù)據(jù)，會發(fā)現(xiàn)GPS水準移動曲面法適合復雜形狀的似人地水準面曲面, 擬合函數(shù)和定權半徑不好選取，需要人量試算。3.3 Hardy多面函數(shù)法美國Hardy在1971年給出了多面函數(shù)擬合法，1976年建議將此法應用于大地測量，擬 合重力異常、大地水準面差距、垂線偏差等，1978年又提出將此法用于地殼形變。多面函 數(shù)法的基本思想是，任何數(shù)學表面和任何不規(guī)則的圓滑表面，總可用一系列有規(guī)則的數(shù)學曲 面的總和，以任意精度逼近。根據(jù)這一思想，高程異常函數(shù)可以表示為：怒滬土 CQ(x,y,兀,yj(3-22)i=l式中：Cl為待定系數(shù)；k為顯著數(shù)據(jù)點或結點個數(shù)；Q(兀y,兀,yj是X和y的二次核 函數(shù)，其中核心在(xyj處，歹可由二次式的和確定，故稱為多面函數(shù)。常用的簡單核函數(shù)，一般采用具有對稱性的距離型一般取為正、倒雙曲函數(shù)，即：Q(xy，Xi，yJ = (x-xj3 + (y-yx)2 + 問Q(xy,x,yJ = (x-xj2 + (yyj2 +滬“(3-23)式中：d為平滑因子，用來對核函數(shù)進行調整：將公式(3-22)寫成誤差方程的矩陣形式：V = QC-待定系數(shù)C可以根據(jù)公共點上的已知高程異常值，按最小二乘法計算：c = (QtQ