材料非線性有限元法

1、第四章材料非線性有限元法以上三章分別研究了線性彈性有限元法，材料非線性本構(gòu)方程和非線性方程組解法，本章就可以研究材料非線性有限元法了。在材料非線性基本方程中，除第二章所述的本構(gòu)方程外，與線性彈性一樣，而非線性有限元法又歸結(jié)為一系列線性彈性問(wèn)題。因此，只要在第一章中改用第二章的本構(gòu)方程，就可建立材料非線性有限元法的基本內(nèi)容。4-1非線性彈性有限元法第二章提到，非線性彈性本構(gòu)方程與形變理論彈塑性本構(gòu)方程在形式上相同，所以與第章一樣，這里也按塑性力學(xué)形變理論，研究非線性彈性有限元法，以便把二者統(tǒng)一起來(lái)。1非線性彈性基本方程為了便于以后直接引用，這里列出全量形式的非線性彈性(或形變理論彈塑性)基本方程

2、，并用矩矩陣表示。幾何方程：本構(gòu)方程：=D(2.13)pSH1+心平衡方程：在0內(nèi)邊界條件：=u(在上)utp(在上)U虛功方程：-J&ty+1ud0+1EutpldA=000A位能變分方程：n其中0=fW(eld/Q-ftp0-JtpdAaw(J)2非線性方程組的建立由于虛功方程本身不涉及材料性質(zhì)，所以第一章由虛功方程得到的單元平衡方程(1.4)式8和總體平衡方程(1.1)0式9完全適用于非線性彈性(或形變理論彈塑性）問(wèn)題?？梢?jiàn)，只要把非線性彈性（或形變理論彈塑性）本構(gòu)方程代入單元或總體的平衡方程，就可以建立非線性方程組。）1式3后，再把1）割線剛度方程仿照線性彈性有限元法，把（1.）1式3

3、后，再把1）31）3代入（1.）4式8便得單元割線剛度方程，即其中單元割線剛度矩陣k（.）1ttJbl/vseps而割線本構(gòu)矩陣Dep）1式而割線本構(gòu)矩陣Dep）1式3的推導(dǎo)，同樣可得總體割線剛度方程IkK（u）1U=p仿照（即其中總體割線剛度矩陣，如（s1）式4所示。剛度矩陣ku)正td兒.)1LJe=1而總體節(jié)點(diǎn)載荷仍如（1）1式0所示。而總體節(jié)點(diǎn)載荷仍如（由（）式可知，總體割線剛度矩陣K）取決于各單元的等效應(yīng)變；又由（s式可知，等效應(yīng)變是由應(yīng)變計(jì)算出來(lái)的；再由（3和（）式可知，應(yīng)變與總體節(jié)點(diǎn)位移有關(guān)?？梢?jiàn)，總體割線剛度矩陣K）是總體節(jié)點(diǎn)位移的函數(shù)，所s以總體割線剛度方程（）式是一個(gè)非線性

4、方程組。必須指出，建立非線性方程組（）式，只是為了說(shuō)明非線性彈性（或形變理論彈塑性）有限元方程的非線性性質(zhì)。實(shí)際求解時(shí)并不用（4.）4式。因?yàn)榍蠼猓?.）4式要用直接迭代法，而正如3指-出2，直接迭代法不但計(jì)算量太大，而且常常不收斂。（2）切線剛度矩陣由3-2-可-知3，-在6求解非線性方程組時(shí)，除上述直接迭代法外，都要用到切線剛度矩陣（至少要用到初始切線剛度矩陣e和）。為此，這0T0T里討論一下建立非線性彈性（或形變理論彈塑性）有限元方程中的切線剛度矩陣問(wèn)題。由（1.1）0和9（3.）1式1可知沁）=遲1力ee=1于是由（3.）1和0（4.）6式可得e=ldiddUdUdV由于由（e=ldi

5、ddUdUdV由于由（2.1），（61.）3和6（分別是d和8,有dj甬=）式，并考慮到符號(hào)o和8Id(&)Tepd,=b命=血所以把（）7式便得總體割線剛度矩陣，即所以把（）7式便得總體割線剛度矩陣，即K(u)T0式代入式e=l其中單元切線剛度矩陣1k（8）1=J時(shí)Id（JbI/v其中單元切線剛度矩陣1k（8）1=J時(shí)Id（JbI/vT8pe3）具有初應(yīng)變理論或初應(yīng)力的剛度方程仿照線性彈性有限元法，把形式上相同的（式便得單兀剛度方程，即0T）0式1代入（2.1）3式，0再,把（2.）1式3代入（qelk03=fe其中單元?jiǎng)偠染仃噆1和初應(yīng)變，初應(yīng)力節(jié)點(diǎn)載荷fe,0T8o,e仍分別如（o5）0

6、和）式所示。但要強(qiáng)調(diào)，這里0的含義是單元初始切線剛度矩陣;e8中的初應(yīng)變80或fe中的初應(yīng)力0隨迭代過(guò)程而變。o仿照線性彈性有限元法/樣可得總體剛度方程，即TOC o 1-5 h z0Tkb=p-!f0Ta其中總體剛度矩陣K和總體初應(yīng)變、初應(yīng)力節(jié)點(diǎn)載荷FF在形式上均與線性0Ta彈性有限元法相同。3等效應(yīng)力、等效應(yīng)變關(guān)系由（4.）1-1-（-4.）1式6可知，要建立并求解非線性彈性（或形變理論彈塑性）有限元方程，關(guān)鍵是要具體知道材料的本構(gòu)矩陣。而由（2.）1和（）式可知，只要（）和（）式中的函數(shù)關(guān)系b=（）是已知的，那么本構(gòu)矩陣就是顯式的。根據(jù)單一曲線假設(shè)，彳和列勺關(guān)系與單向拉伸時(shí)相同a三1丿=

7、E11一&再考慮體積不可壓縮條件（V訐/2），則/1a三）=3G1-匕b其中eG）取決于所采用的簡(jiǎn)化模型。理想塑性（見(jiàn)圖）：廠0eG）1-s1+See圖4-1線性強(qiáng)化塑性（見(jiàn)圖4-2）：圖4-23（）=0,（）E（E+E）+（E-硃s,（_）s（4.20）E冪次強(qiáng)化塑性（見(jiàn)圖4-3）：ee圖4-3G)=1&n-1E(0n14.2)eeee4迭代公式的具體化由于非線性彈性（或形變理論彈塑性）有限元方程一般都寫(xiě)成全量形式，所以這里只相應(yīng)的列出幾種迭代類(lèi)型解法的具體迭代公式。（）-法由（3、（）和（）式以及（3）和（3）式，有4.2)234e=BA4.2)234nn=i()2+6(2+2+2)2n3

8、iijj122331ni，j1k()e=BTD()BdVnTepnTeK(u)丄(Ae)Tk()eAenTnTe=14.2)R(u)=瓦(Ae)tJBt()dV4.2)nne=1TOC o 1-5 h zu=K(u)-1(PR(u)(4)nnTn2)初應(yīng)變迭代法由(2.)1、(02.)1和3(3.9)、9(3.1)0式1可知=Dt(4)epee=D-1s(4.2)所以仿照E0=，D-!p法，并考慮到()和(F二(Ae)tBtDe0dVen所以仿照E0=，D-!p法，并考慮到()和(F二(Ae)tBtDe0dVen，1 HYPERLINK l bookmark16e=1e HYPERLINK l

9、 bookmark39U=K-1(P+F)n0Ten-1）1式0，有n，1e=BAeUnnE=2(E-E)2+6(E2+E2+E2)n3iijj1223i,j=31E0=-D(E)-!npnn3)初應(yīng)力迭代法由(2.)1、(02和3（）1、（83.1）2式0可知所以仿照=DEeps=De0=DEp法，并考慮到（和6（）2式7，有F二(Ae)Ten，1e=1dVn，1Un=K0,1(P-Fn-i)E=BAeUnnC-E)+6(iijji,j=12+E2+E2/122331=-D(E)Enpnn非線性彈性手算例題為了熟悉非線性彈性（或形變理論彈塑性）有限元法及其非線性方程組的求解過(guò)程,這里以圖所示

10、的彈塑性拉壓超靜定問(wèn)題為例，用法、初應(yīng)變迭代法、初應(yīng)力迭代法進(jìn)行手算。其中用法的求解作較詳細(xì)的敘述，以便了解非線性彈性所或形變理論彈塑性的有限元分析的全過(guò)程，而用其他方法的求解只給出主要計(jì)算過(guò)程和計(jì)算結(jié)果。在該拉壓超靜定桿中劃分的節(jié)點(diǎn)和單元如圖（）中所示。單元和分別由線性強(qiáng)化材料和線性彈性材料制成，如圖（）和（）所示。兩個(gè)單元的截面積均為1212a，長(zhǎng)度均為l，彈性模量均為E，單元的強(qiáng)化模量為EE/2。節(jié)點(diǎn)所受集中載荷P3A,，其中,為單元的屈服極限。2ss用-法求解用-法求解（）非線性有限元方程的形成首先去掉兩固定端約束，用其約束反力P和P代替,13所以p=pppy（）123由于u=uuuT

11、123u=uuy（b）12u=uuy2所以100Ay1010010Ay21000設(shè)單元e內(nèi)任意一點(diǎn)位移為u=a+xdu二a+xk所以e=b=冬二=Bubx-xji其中幾何矩陣B=1-11l單元節(jié)點(diǎn)位移向量ue=UU1ij這里的單元都是單向應(yīng)力狀態(tài)，即J1=Q1J2=Q2)s)sDD1=E1epTT1尹所以由（2tGdV,(所以由（2tGdV,(A2)tfBtq2dVi）把（）（）式代入（）和（）式，并考慮到JdV=JdV=Al,有E1E10,ATTE1E1+E2E2TTTT0E2E2TT710R(u)二A(-1+210V丿1V丿l并考慮到)K（叫二式代入（3.）1式7，_110AE200_11

12、0AE2000110+T1011000011AE1T把（）、（）和（）Du=Du1E1E10,uATT1E1E1+E2E2”u1TTTT20E2E2uTT丿3P10、Du2DuT，有31P一A(-1”1+-2”一1)2(1)12121處理后的非線性有限元方程E2T3(1處理后的非線性有限元方程E2T3(1一2)E1+E2sT2)切線剛度迭代公式的建立Eu1-1二E1=r(111E2u12T由于1)P3最后由邊界條件DU=Du3=0和P2=3A，用第一章所述的消行降階法便得約束-二Ess所以無(wú)量綱迭代公式為C1nCs1(u)C1nCs(u)(1)佗2n18八(u)1)2n1)1811J1+7(u

13、)(2182nsC2nCs18(u)2nRC1G2n=nnACC11J1+7(u)(2182nsC2nCs18(u)2nRC1G2n=nnACCssE1TE2T(u)1(72n1)181(us)1)(2-n1)218s(u)2n18s(ET1(3nE2)+1AC(u)_(u)(u)/、181818sss()節(jié)點(diǎn)位移和單元應(yīng)力的求解按迭代公式()()式，求節(jié)點(diǎn)位移(u2)n+118仿照用)0式仿照用)0式3有和單元應(yīng)力Cn+1CC；+1C的迭代過(guò)程和計(jì)算結(jié)果如表所示：ss表%C)s(u)/2/(18)s(役)n%sCn/sC2/n拎s用初應(yīng)變迭代法求解若令()式中E=E=E，則TT110AEK0

14、T-1121011法的求解，由(ssssssssr1-r1-10uPFae11E1121u_P+F,l22E2011uPF1133JE3丿約束處理后可得AE2u二3A+Fl2se2因?yàn)橹挥袉卧哂兴苄运猿鯌?yīng)變節(jié)點(diǎn)載荷2只有由單元提供。由于F_(Ai)tBtE(e0)1dVe10-1、101,E(e0)1Al_1，001J0_1E(e0)1A_i-1所以由圖4）可知Fe2二由圖4）可知Fe2二E(eo)iA2(i一)E2iEssssssssssssssss因此(e0)(e0)1=E11ee1一Es于是由（）、（）于是由（）、（）（）和（）0式9可得無(wú)量綱迭代公式，即(E(E0)1n1Es1ns

15、n12An12As(E0)1n12esssssssssssssssssTOC o 1-5 h z(U)_3丄(F)lE22Ass_1(1+也)2lE2(u)n_一2nlE00按迭代公式（）（）式，求節(jié)點(diǎn)位移（U2）n（倫）和單元應(yīng)力，n,，：,的迭代過(guò)sss程和計(jì)算結(jié)果如表所示：表30)1/nKs(F)/e2y(2A,)s叫）ss,2/n，s用初應(yīng)力迭代法求解仿照用初應(yīng)變迭代法求解，有1-1-10uPFAE11，1121VuP-F卜l22，20-11uPF1133，300約束處理后可得AE2u(,1-,i)Ae所以F，(1-1)A()2e于是由()、()、()和()式可得無(wú)量綱迭代公式，即11

16、門(mén)丄(u)n-1，(12n1)TOC o 1-5 h z24lEss(1)(u)cn12n1()22lEss(F)1(1)2n1n1c_n1(2A2ss(u)_3(F),、lE22Ass按迭代公式()()式，求節(jié)點(diǎn)位移(u)/(lc)和單元應(yīng)力s/s、s/s的迭2nsnsns代過(guò)程和計(jì)算結(jié)果如表4-所3示：表(F)/2咲2A)s(u)/2/(lE)ss2/(U)/(2n(ie)ss4-3彈塑性有限元法在4-中1討論了基于形變理論的彈塑性有限元法。這里將討論基于流動(dòng)理論的彈塑性有限元法。為了跟蹤加載歷史求出位移、應(yīng)變和應(yīng)力的全量，基于流動(dòng)理論彈塑性有限元方程只能取增量形式。00同非線性彈性(或形

17、變理論彈塑性)問(wèn)題一樣，第一章由虛功方程得到的平衡方程也完全適用于流動(dòng)理論的彈塑性問(wèn)題。所以由(完全適用于流動(dòng)理論的彈塑性問(wèn)題。所以由(1)和1(3.)59式便得總體增量0000剛度方程，即K(u)dU=dPT其中總體切線剛度矩陣(參考(4.)1式1)K(u)區(qū)(Ae)Tk(G)eAe(TTe1單元切線剛度矩陣(參考(4.1)2式)k(G)e=JBTD(g)BdV(TepTe(4式中的切線彈塑性矩陣D(G)，按()式(正則屈服面)或(epT和(2.)8式8(非正則屈服面)計(jì)算。幾種常見(jiàn)材料模型的切線彈塑性矩陣已在2-中給出顯示形式。由于流動(dòng)理論彈塑性有限元方程只能取增量形式，所以在第三章所述的

18、解法中，只有增量類(lèi)型的解法才能用來(lái)對(duì)它進(jìn)行求解，其中常用的是法、一次迭代增量類(lèi)型的解法才能用來(lái)對(duì)它進(jìn)行求解，其中常用的是法、一次迭代0000法、初應(yīng)變?cè)隽糠ê统鯌?yīng)力增量法。i逐步求解公式的具體化這里列出一求得G的第增量步的具體公式。i)4式6，并仿照非法對(duì)比()4式6，并仿照非法對(duì)比(線性彈塑性有限元法，l法逐步求解公式為:k(g)e=BTD(g)BdViTepiTeK(U)遲(Ae)Tk(G)eAeiTiTe1UK(u)-iAPiiTi門(mén)+i門(mén)+卩一次迭代法:同樣，仿照非線性彈塑性有限元法，一次迭代法:同樣，仿照非線性彈塑性有限元法，一次迭代法逐步求解公0000式為:式為:伙Qi)t=JBt

19、D(g)BdVepiTK(U)區(qū)(Ae)Tk(G)eAeiTiTe1R(u)二,(Ae)tJBtgdViie1TOC o 1-5 h z，U=K(u)_1(PR(u)()iiTi+1i=+,()i+1ii()初應(yīng)變?cè)隽糠ǚ抡罩械某鯌?yīng)變迭代法，并考慮到()和()3.11式6，有( HYPERLINK l bookmark37,F=瓦(Ae)tJBtD,0dV(5ei1i1e=1e，U=K-i(AP+,F)()i0Tiei1UUi+i=Ui+，Ui0000As0=-D()-i,ipii對(duì)于限增量形式，則由（模型，若把塑性應(yīng)變?cè)隽繉?duì)于限增量形式，則由（模型，若把塑性應(yīng)變?cè)隽縟s直接看作是初應(yīng)變?cè)隽縟

20、s0，并寫(xiě)成有p）3和5（2.1）3式6可得：）、2（60000AsoAso=As=iLr1）Gr1）T，piHQiQiii初應(yīng)變?cè)隽糠ǎ悍抡帐?，有：（?的初應(yīng)力迭代法，并考慮到（3.1）2初應(yīng)變?cè)隽糠ǎ悍抡帐?，有：?F=區(qū)(Ae)tJBt,0dVi-1i-1e=1，Ui=K0-1（，鬥廠，尸丄1）Ui+i=Ui+，Ui,0=,-D,siii2模型和1）單元彈、塑性狀態(tài)的確定（模型由于同一增量步的不同單元可能處于不同的狀態(tài)一彈性或塑性，而不同狀態(tài)下單元的應(yīng)力增量應(yīng)按不同公式計(jì)算，所以要計(jì)算（）（6式中的單元應(yīng)力增量，必須參照中的加卸載準(zhǔn)則，確定第增量步單元的i彈、塑性狀態(tài)。為了確定第增量步

21、單元的狀態(tài)，可先假定該單元在此增量步內(nèi)不產(chǎn)生新的塑性變形彈性、卸載或中性變載），于是有：=+，=+D，sei+1ieiii據(jù)此可以計(jì)算第步終了時(shí)的加載函數(shù)值(f*)或屈服函數(shù)值(f)。為了計(jì)算方便，可TOC o 1-5 h zi+1i+1把加載函數(shù)寫(xiě)成另一種形式。由()、()和()式可知，等向強(qiáng)化加載函數(shù)值為：11(f*)，(S2S2S22S22S22S2)-(Q)2()i12112233122331i13si1隨動(dòng)強(qiáng)化(線性)加載函數(shù)值為：11(f*)，-(S2S2S22S22S22S2)-Q2()i12112233122331i13S理想塑性加載函數(shù)(即屈服函數(shù))值為：(f*)，(s2s2

22、s2)2(s22s22S2)i12112233i1122331i1(4.6)-92)26k(q)-k21i11i1參照2-中2的加卸載準(zhǔn)則，若(f*)0i1則應(yīng)力s在加載面內(nèi)(彈性或卸載)或在加載面上(中性變載)，說(shuō)明上述假定是正確ei+1的。我們把這種單元簡(jiǎn)稱(chēng)為彈性單元。若(f*)0i+1則應(yīng)力Q在加載面外，這當(dāng)然是不可能的，說(shuō)明上述假定是錯(cuò)誤的。但這種情況下的ei1單元只有兩種可能狀態(tài)：全塑性或彈塑性，而單元的確切狀態(tài)又取決于第步終了時(shí)(或第步開(kāi)始時(shí))的單元狀態(tài)。若第步終了時(shí)單元是塑性的，即(f*)，0i則第步單元是全塑性的(有一種塑性狀態(tài)進(jìn)入另一種塑性狀態(tài)，即完全加載狀態(tài))，我們把這種單

23、元簡(jiǎn)稱(chēng)為塑性單元。若第步終了時(shí)單元是彈性的，即(f*)0i則第步單元是彈塑性的(有彈性狀態(tài)進(jìn)入塑性狀態(tài)，即部分加載狀態(tài))，我們把這種單元簡(jiǎn)稱(chēng)為彈塑性單元(或過(guò)度單元)。()單元應(yīng)力增量Ac的計(jì)算對(duì)于彈性單元，顯然有：iAc，DAs(6ii對(duì)于塑性單元，當(dāng)單元應(yīng)變?cè)隽緼e較小時(shí)，有：iAc，D(Q)As()iepiTi當(dāng)單元應(yīng)變?cè)隽緼較大時(shí)，單元應(yīng)力增量應(yīng)當(dāng)用切線模量按增量法求下列積分的近似i值：Aj=,AsiD()d()i0ep對(duì)于彈塑性單元，單元應(yīng)力增量由彈性和塑性?xún)刹糠纸M成。若用表示彈性應(yīng)力增量與總應(yīng)力增量A之比參看圖()和相應(yīng)的一維問(wèn)題圖()則可通過(guò)滿足加i載條件確定這個(gè)比例因子。確定出

24、以后，當(dāng)單元應(yīng)變?cè)隽緿e較小時(shí)，有iTOC o 1-5 h z=+rDAs()iiiA二rD+(1-r)D()As(7iepiTi當(dāng)單元應(yīng)變?cè)隽緼s較大時(shí)，單元應(yīng)力增量應(yīng)當(dāng)用切線模量按增量法求下列積分的近似.值：顯然，當(dāng)A顯然，當(dāng)A二JrAsi|.0二rDAs+.時(shí)0，此式即為(Dds+JAeiD()dsrAs.印丁,AiD()dsrAs.ep丁7式。()比例因子的確定假定用A()比例因子的確定假定用ASe或ASe表示彈性應(yīng)力偏張量，于是把(.jij6式中的S或S換(a)(a)為sij+rse或s+r為sij+rse或s+re，并令其值為零便得ijijijrA其中A、B和C,Mises模型等向

25、強(qiáng)化材料為T(mén)OC o 1-5 h zA(3訂)2+(s；?)2+(s#3)2+2sf2)2+(s；3)2+()21Bse(s)+se(s)+se(s)+2se(s)+se(s)+se(s)11111i2222i3333i1212i2323i3131i2C(s2+s2+s2)+2(s2+s2+s2)一()2112233i122313i3siMises模型隨動(dòng)強(qiáng)化(線化)材料為A(e)2+(e)2+(e)2+2e)2+(e)2+(e)21112233122331Be()+e()+e()+2e()+e()+e()11111i2222i3333i1212i2323i3131i2C(2+2+2)+2(2

26、+2+2)Q2112233i122313i3（4.75）（4.76（4.75）（4.76）（4.77）（4.78）（4.79）（4.80）（4.81）（4.82）4.83）（4.84）A(s)2+(s?)2+(s#3)2+2(As(2)2+(sg)2+(s#)2118。2(Qe)2BAse(s)+Ase(s)+Ase(s)+se(s)+Ase(s)+Ase(s)11111i2222i3333i1212i2323i3131i+aAqeQk-18a(Q)1i1iC(s2+s2+s2)+2(s2+s2+s2)+a(q)12k18a(Q)bk2112233i122313i1i1i（4）積分近似值的計(jì)算

27、（4.71）和（4.74）式中的積分很難積得顯式。為此，我們可以把積妥對(duì)應(yīng)的塑性變形部分再分為若干子增量，用分段線性的計(jì)算結(jié)果去逼近積分結(jié)果。由于（4.71）式是（4.74）的r=0的特殊情況，所以這里只討論（4.74）式中積分的近似計(jì)算問(wèn)題。若把（1-廠）么，,或（1-r）aq）再分為N個(gè)相等的子增量，（例如圖4i-6中N=5）,則有4.85)圖4-6由于初始子增量步開(kāi)始時(shí)的單元應(yīng)力為y=+r4.85)圖4-6由于初始子增量步開(kāi)始時(shí)的單元應(yīng)力為y=+rdKa,.t4.86)第j子增量步開(kāi)始時(shí)的單元應(yīng)力為yj=+IdQj-ij亞epT4.87)所以ac=rbh,+“tQj)5，.epj=1T=

28、rb+r“tQj)，Nepj=1（5）第i增量步的單元計(jì)算過(guò)程在第I增量步,已知的是ii4.88)要計(jì)算的00是&和耳+1。若用0表示判定單元應(yīng)變?cè)隽縜,.大小的標(biāo)準(zhǔn)則計(jì)算過(guò)程如圖4-7所示。3.Tresca模型由于Tresca模型的屈服面比較復(fù)雜，所以這里只限于平面應(yīng)力問(wèn)題的Euler-Cauchy解法。epTepT由25中的和tj可知，Tresca模型彈塑性矩陣各元素均與主應(yīng)力方向epTepT00關(guān)。當(dāng)單元開(kāi)始進(jìn)入塑性狀態(tài)以后，主方向隨載荷的增加而改變，因而每一增量步都要重新對(duì)它進(jìn)行計(jì)算。為了使應(yīng)力滿足加載條件，可以按下述插值方法對(duì)它進(jìn)行計(jì)算第i增量步的主方向,+1值。(1)按計(jì)算主應(yīng)力和

29、塑性功用t()(塑性單元)和b(彈性單元)以iepiT及它們的組合(彈塑性單元)形成Ik(u)，求得位移增量AU以后，有iTias=IbIaAu/tAg二()As.tepiTig=j+Agtitg，=1G，+g)+2(g，)(sc)1i21122i21122ii12ii+g，)一1(a，-g22i21122i1“，=arctgi2)c2-s2)+2S)(sc)i12ii2L)12L-L丿n22iW二W二AWpipipi2）按計(jì)算主應(yīng)力和塑性功仿照（1）中的計(jì)算，有iA訃Ag”.=b(，)as”.IIiepiTi”g.=5+Ag.IG二1(L+g)+丄(L_g)c2-S2)+2(a)sc)1i2

30、1122i21122ii12ii-G，)C2-S2)+20，)(sc)22iii21122i2c”二-G+)-G2i21122i21112ii4.89)4.90)4.91)4.92)4.93)4.94)4.95)4.96)4.97)4.98)4.99)4.100)Wpi=W=AWpipi4.101)3）按插值方法計(jì)算主方向由i、；、Q1），、Q2）、Q1）、(G)、G(W)2spi和（W）按一種插值方法求，使得用它求得的應(yīng)力滿足加載條件。spi邊6，有i+1i+1W，)_(g)-g一pi1t丄一一gy一g)-gW，)+gW，)對(duì)于圖26中的，gW，)gy.spi1，4.102)pipi0000

31、44彈塑性手算例題我們?nèi)砸?2中的彈塑性拉壓?jiǎn)栴}為例，用Euler-Cauchy法、Euler一次迭代法、初應(yīng)變?cè)隽糠ê统鯌?yīng)力增量法進(jìn)行手算。為了反映應(yīng)力與加載歷史的相關(guān)性，除Euler-Cauchy法外，均用敘述方式。1)用Euler-Cauchy法求解仿照42中用Newton-Raphson法的求解，約束處理后可得E(1)E(1)0fAuAP、AT-E(1)TE(1)+E(2)E(2)約束處理后可得E(1)E(1)0=1AP，lT0TT-ETTET2Au32AP3(1)+E(2)kulTTR)=AP222若以總載荷丁3A“s為參考載荷并按兩個(gè)增量步取A”廣3，A”則有i=1:ET(1)=E

32、T(2)=E,(AP2)i=2A“S,(Au)2-=1Ssi=2:TE比“E(1)=當(dāng)一-2(“(AP)=A“2i(Au)佗s于是無(wú)量綱逐步求解公式為(Au)2/(i二1)(i二2)T)er=0s0r=0f*S+仏)=0，r=-B+亍圖一（）(u)(u)+(A0r=0f*S+仏)=0，r=-B+亍圖一（）(u)(u)+(Au)2ill=2-i2illssU）O(1)illOs(u)2illl2”1ls(u)2_i!l丿(i二1)(i二2)V）ill=2illOlssW）(l)和單元應(yīng)力O(1)O、O(2)Osi+1si+1s按逐步求解公式（W）(l)和單元應(yīng)力O(1)O、O(2)Osi+1si

33、+1sssssssss00表44iAi(u)/(l,)2rs(u)/(l,)2i+1s61)/、i+1s(2)/、i+1s1231.0001.0001.000-1.0002130.6671.6671.333-1.667（2）用Euler一次迭代法求解參照（只）和（S）式，由（4.51）（4.55）式可得Euler一次迭代法的逐步求解公式，即(p2)ij(p)+(AP)(Au)2(Au)2il，s(E+E(2)TTi(P)2i+1As(一(2)issssssss00ssssssss00(u)(u)(Au)2_i+12_i+2_il，l，l，sss若以總載荷P3A2解過(guò)程和計(jì)算結(jié)果如下。i1:為參

34、考載荷，并按兩個(gè)增量步取Ai若以總載荷P3A2解過(guò)程和計(jì)算結(jié)果如下。i1:為參考載荷，并按兩個(gè)增量步取Ai3,A23,則逐步求(u)2i0,(P)0,(AP)=AP2Al，212112s(P)(P)+(AP)2A，222121s(1)1s(2)010s（ET1）（ET2）E（按線性彈性計(jì)算）(Au)-1l,(E+E(2)ATT1(P)(61)(2)22一11ssssssss00ssssssss001l,s(u)(u)(Au)1l,s2_22_1-+l,l,ss由于單元的屈服條件為1而此時(shí)單元的應(yīng)力為(1)(1)(u)22l,1ssssssss00ssssssss00可見(jiàn)恰好滿足屈服條件，所以在第1增量步單元處于彈性狀態(tài)。-1,-1,ssssssssssss00i2:(AP)A,PAg2222s(P)i2:(AP)A,PAg2222s(P)(P)(AP)3Ag232222(G(1)2(uAi,(G(2)(u)2_2-2lsET(1)ET(2)E按線性彈性計(jì)算）(Au)22ls(P)(G一G(2)22(ET1)eT2)2