虛弱的天才黎曼

1、虛弱的天才一黎曼仿佛天妒英才，上帝好像不想讓人類過早地就拆穿了它所有的秘 密。所以，人類中的天才們的生命都很短暫，而且命運崎嶇。黎曼就 是這樣一位天才。1826年9月17日，黎曼生于德國北部漢諾威的布雷塞倫茨村， 父親是一個鄉(xiāng)村的窮苦牧師，母親是法庭顧問的女兒。黎曼有6個兄 妹，他排行第二。漢諾威當時相當落后，農(nóng)村里因為缺少牲口，還普 遍在用人力拉犁。偏僻鄉(xiāng)村小牧師的薪金少得可憐，要維持諾大的八 口之家，不得不顯得捉襟見肘，力不從心。黎曼從小生性膽小、羞怯。他不敢在公眾場合露面，更害怕在大 庭廣眾中講話。可是，在數(shù)學研究上，他卻是出奇地大膽。他是個天 才，他在科學研究中所表現(xiàn)出來的驚人智慧，他

2、對數(shù)學發(fā)展的貢獻之 大、影響之深，難以用語言描述，以至于后人在介紹他時只能采用“對 現(xiàn)代數(shù)學影響最大的數(shù)學家之一”、“19世紀最富有創(chuàng)造性的德國數(shù) 學家、數(shù)學物理學家”等諸如此類的言辭辛含糊表述。除此之外，我們 確實毫無辦法。來看看這個天才的家伙在短短40年的一生中所取得 的不可思議的輝煌成就吧！他是黎曼幾何的創(chuàng)始人。黎曼對數(shù)學最重要的貢獻在于幾何方 面，他開創(chuàng)的高維抽象幾何的研究，處理幾何問題的方法和手段是幾 何史上一場深刻的革命，他建立了一種全新的后來以其名字命名的幾 何體系，對現(xiàn)代幾何乃至數(shù)學和科學各分支的發(fā)展都產(chǎn)生了巨大的影 響。1854年，黎曼在哥廷根大學作了一次歷史性演講，該演講內(nèi)

3、容 在其逝世后的兩年（1868年）以關于作為幾何學基礎的假設為題 出版。演講中，他對所有已知的幾何，包括剛剛誕生的非歐幾何之一 的雙曲幾何作了縱貫古今的概要，并提出一種新的幾何體系，后人稱 為黎曼幾何。后來，黎曼在1861年寫了一篇關于熱傳導的文章，這 篇文章后來被稱為他的“巴黎之作”，文中對他1854年的文章作了技 術性的加工，進一步闡明其幾何思想。黎曼主要研究幾何空間的局部 性質，他采用的是微分幾何的途徑，這同在歐幾里得幾何中或者在高 斯、波爾約和羅巴切夫斯基的非歐幾何中把空間作為一個整體進行考 慮是對立的。黎曼擺脫高斯等前人把幾何對象局限在三維歐幾里得空 間的曲線和曲面的束縛，從維度出發(fā)

4、，建立了更一般的抽象幾何空間。 黎曼引入流形和微分流形的概念，把維空間稱為一個流形，維流形中 的一個點可以用一個可變參數(shù)的一組特定值來表示，而所有這些點的 全體構成流形本身，這個可變參數(shù)稱為流形的坐標，而且是可微分的， 當坐標連續(xù)變化時，對應的點就遍歷這個流形。黎曼仿照傳統(tǒng)的微分 幾何定義流形上兩點之間的距離、流形上的曲線、曲線之間的夾角。 并以這些概念為基礎，展開對維流形幾何性質的研究。在維流形上他 也定義類似于高斯在研究一般曲面時刻劃曲面彎曲程度的曲率。他證 明他在維流形上維數(shù)等于三時，歐幾里得空間的情形與高斯等人得到 的結果是一致的，因而黎曼幾何是傳統(tǒng)微分幾何的推廣。黎曼發(fā)展了 高斯關于

5、一張曲面本身就是一個空間的幾何思想，開展對維流形內(nèi)蘊 性質的研究。黎曼的研究導致另一種非歐幾何橢圓幾何學的誕 生。在黎曼看來，有三種不同的幾何學。它們的差別在于通過給定一 點做關于定直線所作平行線的條數(shù)。如果只能作一條平行線，即為歐 幾里得幾何學；如果一條都不能作，則為橢圓幾何學；如果存在一組 平行線，就得到第三種幾何學，即羅巴切夫斯基幾何學。黎曼因此繼 羅巴切夫斯基以后發(fā)展了空間的理論，使得一千多年來關于歐幾里得 平行公理的討論宣告結束。他斷言，客觀空間是一種特殊的流形，預 見具有某種特定性質的流形的存在性。這些逐漸被后人一一予以證 實。由于黎曼考慮的對象是任意維數(shù)的幾何空間，對復雜的客觀空

6、間 有更深層的實用價值。所以在高維幾何中，由于多變量微分的復雜性， 黎曼采取了一些異于前人的手段使表述更簡潔，并最終導致張量、外 微分及聯(lián)絡等現(xiàn)代幾何工具的誕生。愛因斯坦就是成功地以黎曼幾何 為工具，才將廣義相對論幾何化?，F(xiàn)在，黎曼幾何已成為現(xiàn)代理論物 理必備的數(shù)學基礎。他是復變函數(shù)論的奠基人。19世紀數(shù)學最獨特的創(chuàng)造是復變函 數(shù)理論的創(chuàng)立，它是18世紀人們對復數(shù)及復函數(shù)理論研究的延續(xù)。 1850年以前，柯西、雅可比、高斯、阿貝爾、維爾斯特拉斯已對單 值解析函數(shù)的理論進行了系統(tǒng)的研究，而對于多值函數(shù)僅有柯西和皮 瑟有些孤立的結論。1851年，25歲的黎曼完成題為單復變函數(shù)的 一般理論的基礎的博

7、士論文，后來又在數(shù)學雜志上發(fā)表了四篇 重要文章，對其博士論文中思想的做了進一步的闡述，一方面總結前 人關于單值解析函數(shù)的成果，并用新的工具予以處理，同時創(chuàng)立多值 解析函數(shù)的理論基礎，并由此為幾個不同方向的進展鋪平了道路?？?西、黎曼和維爾斯特拉斯是公認的復變函數(shù)論的主要奠基人，而且后 來證明在處理復函數(shù)理論的方法上黎曼的方法是本質的，柯西和黎曼 的思想被融合起來，維爾斯特拉斯的思想可以從柯西一黎曼的觀點推 導出來。在黎曼對多值函數(shù)的處理中，最關鍵的是他引入了被后人稱“黎曼面”的概念。通過黎曼面給多值函數(shù)以幾何直觀，且在黎曼面 上表示的多值函數(shù)是單值的。他在黎曼面上引入支點、橫剖線、定義 連通性

8、，開展對函數(shù)性質的研究獲得一系列成果。經(jīng)黎曼處理的單值 函數(shù)是多值函數(shù)的待例，他把單值函數(shù)的一些已知結論推廣到多值函 數(shù)中，尤其他按連通性對函數(shù)分類的方法，極大地推動了拓撲學的初 期發(fā)展。他研究了阿貝爾函數(shù)和阿貝爾積分及阿貝爾積分的反演，得 到著名的黎曼一羅赫定理，首創(chuàng)的雙有理變換構成19世紀后期發(fā)展 起來的代數(shù)幾何的主要內(nèi)容。黎曼為完善其博士論文，在結束時給出 其函數(shù)論在保形映射的幾個應用，將高斯在1825年關于平面到平面 的保形映射的結論推廣到任意黎曼面上，并在文字的結尾給出著名的 黎曼映射定理。他是解析數(shù)論的先驅。19世紀數(shù)論中的一個重要發(fā)展是由狄利 克萊開創(chuàng)的解析方法和解析成果的導入，

9、而黎曼開創(chuàng)了用復數(shù)解析函 數(shù)研究數(shù)論問題的先例，取得跨世紀的成果。1859年，黎曼發(fā)表了 在給定大小之下的素數(shù)個數(shù)的論文。這是一篇不到十頁的內(nèi)容極 其深到的論文，他將素數(shù)的分布的問題歸結為函數(shù)的問題，現(xiàn)在稱為 黎曼函數(shù)。黎曼證明了函數(shù)的一些重要性質，并簡要地斷言了其它的 性質而未予證明。在黎曼死后的一百多年中，世界上許多最優(yōu)秀的數(shù) 學家盡了最大的努力想證明他的這些斷言，并在作出這些努力的過程 中為分析創(chuàng)立了新的內(nèi)容豐富的新分支。如今，除了他的一個斷言外， 其余都按黎曼所期望的那樣得到了解決。那個未解決的問題現(xiàn)稱為 “黎曼猜想”，即：在帶形區(qū)域中的一切零點都位于去這條線上（希爾 伯特23個問題中

10、的第8個問題），這個問題迄今沒有人證明。對于某 些其它的域，布爾巴基學派的成員已證明相應的黎曼猜想。數(shù)論中很 多問題的解決有賴于這個猜想的解決。黎曼的這一工作既是對解析數(shù) 論理論的貢獻，也極大地豐富了復變函數(shù)論的內(nèi)容。他是組合拓撲的開拓者。在黎曼博士論文發(fā)表以前，已有一些組 合拓撲的零散結果，其中著名的如歐拉關于閉凸多面體的頂點、棱、 面數(shù)關系的歐拉定理。還有一些看起來簡單又長期得不到解決的問 題：如哥尼斯堡七橋問題、四色問題，這些促使了人們對組合拓撲學 （當時被人們稱為位置幾何學或位置分析學）的研究。但拓撲研究的最 大推動力來自黎曼的復變函數(shù)論的工作。黎曼在1851年他的博士論 文中，以及在

11、他的阿貝爾函數(shù)的研究里都強調(diào)說，要研究函數(shù)，就不 可避免地需要位置分析學的一些定理。按現(xiàn)代拓撲學術語來說，黎曼 事實上已經(jīng)對閉曲面按虧格分類。值得提到的是，在其學位論文中， 他說到某些函數(shù)的全體組成（空間點的）連通閉區(qū)域的思想是最早的 泛函思想。比薩大學的數(shù)學教授貝蒂曾在意大利與黎曼相會，黎曼由 于當時病魔纏身，自身已無能力繼續(xù)發(fā)展其思想，把方法傳授給了貝 蒂。貝蒂把黎曼面的拓撲分類推廣到高維圖形的連通性，并在拓撲學 的其他領域作出杰出的貢獻。黎曼是當之無愧的組合拓撲的先期開拓 者。以上任何一項成就加在任何一個人身上都足以令其名垂青史，而 黎曼卻集諸般大成如一身。不僅僅如此，黎曼不但對純數(shù)學做出了劃 時代的貢獻，他也十分關心物理及數(shù)學與物理世界的關系，他寫了一 些關于熱、光、磁、氣體理論、流體力學及聲學方面的有關論文。他 是對沖擊波作數(shù)學處理的第一個人，他試圖將引力與光統(tǒng)一起來，并 研究人耳的數(shù)學結構。他將物理問題抽象出的常微分方程、偏微分方 程進行定論研究得到一系列豐碩成果黎曼的工作影響了整個現(xiàn)代數(shù)學的發(fā)展，許多杰出的數(shù)學家通過 重新論證黎曼斷言過的定理而取得了巨大成就，在黎曼思想的影響下 數(shù)學、物理學的許多分支均獲得了長足發(fā)展。但是這位天才的身體卻 是如此的脆弱，以至于他那短短的一生中大部分時間都被病魔纏身。 186