2023中考總復(fù)習(xí)圓的切線專題

1、題型專項(xiàng)(八)與切線有關(guān)的證明與計(jì)算類型1與全等三角形有關(guān)1(2023梧州)如圖，過O上的兩點(diǎn)A，B分別作切線，交于BO，AO的延長線于點(diǎn)C，D，連接CD，交O于點(diǎn)E，F(xiàn)，過圓心O作OMCD，垂足為點(diǎn)M.求證：(1)ACOBDO；(2)CEDF.證明：(1)AC，BD分別是O的切線，AB90.又AOBO，AOCBOD，ACOBDO.(2)ACOBDO，OCOD.又OMCD，CMDM.又OMEF，點(diǎn)O是圓心，EMFM.CMEMDMFM.CEDF.2(2023玉林模擬)如圖，AB是O的直徑，BAC60，P是OB上一點(diǎn)，過P作AB的垂線與AC的延長線交于點(diǎn)Q，過點(diǎn)C的切線CD交PQ于點(diǎn)D，連接OC.

2、(1)求證：CDQ是等腰三角形；(2)如果CDQCOB，求BPPO的值解：(1)證明：由得ACB90，ABC30.Q30，BCOABC30.CD是O的切線，CO是半徑，CDCO.DCQBCO30.DCQQ.故CDQ是等腰三角形(2)設(shè)O的半徑為1，那么AB2，OC1，BCeq r(3).等腰三角形CDQ與等腰三角形COB全等，CQCBeq r(3).AQACCQ1eq r(3).APeq f(1,2)AQeq f(1r(3),2).BPABAPeq f(3r(3),2).POAPAOeq f(r(3)1,2).BPPOeq r(3).3(2023柳州)如圖，AB為ABC外接圓O的直徑，點(diǎn)P是線

3、段CA的延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在弧上且滿足PE2PAPC，連接CE，AE，OE交CA于點(diǎn)D.(1)求證：PAEPEC；(2)求證：PE為O的切線；(3)假設(shè)B30，APeq f(1,2)AC，求證：DODP.證明：(1)PE2PAPC，eq f(PE,PC)eq f(PA,PE).又APEEPC，PAEPEC.(2)PAEPEC，PEAPCE.PCEeq f(1,2)AOE，PEAeq f(1,2)AOE.OAOE，OAEOEA.AOEOEAOAE180，AOE2OEA180，即2PEA2OEA180.PEAOEA90.PE為O的切線(3)設(shè)O的半徑為r，那么AB2r.B30，PCB90，ACr，

4、BCeq r(3)r.過點(diǎn)O作OFAC于點(diǎn)F，OFeq f(r(3),2)r.APeq f(1,2)AC，APeq f(r,2).PE2PAPC，PEeq f(r(3),2)r.在ODF與PDE中，eq blc(avs4alco1(ODFPDE，,OFDPED，,OFPE，)ODFPDE.DODP.類型2與相似三角形有關(guān)4(2023泰州)如圖，在ABC中，ACB90，在D為AB上一點(diǎn)，以CD為直徑的O交BC于點(diǎn)E，連接AE交CD于點(diǎn)P，交O于點(diǎn)F，連接DF，CAEADF.(1)判斷AB與O的位置關(guān)系，并說明理由；(2)假設(shè)PFPC12，AF5，求CP的長解：(1)AB是O切線理由：ACB90，

5、CAECEA90.CAEADF，CDFCEA，ADFCDF90.AB是O切線(2)連接CF.ADFCDF90，PCFCDF90，ADFPCF.PCFPAC.又CPFAPC，PCFPAC.eq f(PC,PA)eq f(PF,PC).PC2PFPA.設(shè)PFa，那么PC2a.4a2a(a5)aeq f(5,3).PC2aeq f(10,3).5(2023北海)如圖，AB，CD為O的直徑，弦AECD，連接BE交CD于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作直線EP與CD的延長線交于點(diǎn)P，使PEDC.(1)求證：PE是O的切線；(2)求證：ED平分BEP；(3)假設(shè)O的半徑為5，CF2EF，求PD的長解：(1)證明：連接OE.

6、CD是圓O的直徑，CED90.OCOE，COEC.又PEDC，PEDOEC.PEDOEDOECOED90，即OEP90.OEEP.又點(diǎn)E在圓上，PE是O的切線(2)證明：AB，CD為O的直徑，AEBCED90.AECDEB(同角的余角相等)又PEDC，AECD，PEDDEB，即ED平分BEP.(3)設(shè)EFx，那么CF2x.O的半徑為5，OF2x5.在RtOEF中，OE2EF2OF2，即52x2(2x5)2，解得x4，EF4.BE2EF8，CF2EF8.DFCDCF1082.AB為O的直徑，AEB90.AB10，BE8，AE6.BEPA，EFPAEB90，EFPAEB.eq f(PF,BE)eq

7、 f(EF,AE)，即eq f(PF,8)eq f(4,6).PFeq f(16,3).PDPFDFeq f(16,3)2eq f(10,3).6(2023桂林)如圖，ABC為O的內(nèi)接三角形，P為BC延長線上一點(diǎn)，PACB，AD為O的直徑，過點(diǎn)C作CGAD于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，交O于點(diǎn)G.(1)判斷直線PA與O的位置關(guān)系，并說明理由；(2)求證：AG2AFAB；(3)假設(shè)O的直徑為10，AC2eq r(5)，AB4eq r(5)，求AFG的面積解：(1)PA與O相切理由：連接CD.AD為O的直徑，ACD90.DCAD90.BD，PACB，PACD.PACCAD90，即DAPA.點(diǎn)A在圓上，PA

8、與O相切(2)證明：連接BG.AD為O的直徑，CGAD，eq o(AC,sup8()eq o(AG,sup8().AGFABG.GAFBAG，AGFABG.AGABAFAG.AG2AFAB.(3)連接BD.AD是直徑，ABD90.AG2AFAB，AGAC2eq r(5)，AB4eq r(5)，AFeq f(AG2,AB)eq r(5).CGAD，AEFABD90.EAFBAD，AEFABD.eq f(AE,AB)eq f(AF,AD)，即eq f(AE,4r(5)eq f(r(5),10)，解得AE2.EFeq r(AF2AE2)1.EGeq r(AG2AE2)4，F(xiàn)GEGEF413.SAFG

9、eq f(1,2)FGAEeq f(1,2)323.類型3與銳角三角函數(shù)有關(guān)7(2023梧州)如圖，O是以BC為直徑的ABC的外接圓，OPAC，且與BC的垂線交于點(diǎn)P，OP交AB于點(diǎn)D，BC，PA的延長線交于點(diǎn)E.(1)求證：PA是O的切線；(2)假設(shè)sinEeq f(3,5)，PA6，求AC的長解：(1)證明：連接OA.ACOP，AOPOAC，BOPOCA.OAOC，OCAOAC.AOPBOP.又OAOB，OPOP，AOPBOP.OAPOBP.BPCB，OAPOBP90.OAPA.PA是O的切線(2)PBCB，PB是O的切線又PA是O的切線，PAPB6.又sinEeq f(PB,EP)eq

10、f(AO,EO)eq f(3,5)，AO3.在RtOPB中，OPeq r(6232)3eq r(5).BC為O直徑，CAB90.CABOBP90，OCABOP.ACBBOP.eq f(AC,BO)eq f(CB,OP).ACeq f(CBBO,OP)eq f(18,3r(5)eq f(6r(5),5).8(2023來賓)O是以AB為直徑的ABC的外接圓，ODBC交O于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，連接AD，BD，BD交AC于點(diǎn)F.(1)求證：BD平分ABC；(2)延長AC到點(diǎn)P，使PFPB，求證：PB是O的切線；(3)如果AB10，cosABCeq f(3,5)，求AD.解：(1)證明：ODBC，ODB

11、CBD.OBOD，OBDODB.CBDOBD.BD平分ABC.(2)證明：O是以AB為直徑的ABC的外接圓，ACB90.CFBCBF90.PFPB，PBFCFB.由(1)知OBDCBF，PBFOBD90.OBP90.PB是O的切線(3)在RtABC中，ACB90，AB10，cosABCeq f(BC,AB)eq f(BC,10)eq f(3,5).BC6，ACeq r(AB2BC2)8.ODBC，AOEABC，AEDOEC180ACB90.eq f(AE,AC)eq f(OE,BC)eq f(AO,AB)，eq f(AE,8)eq f(OE,6)eq f(5,10).AE4，OE3.DEODO

12、E532.ADeq r(AE2DE2)eq r(4222)2eq r(5).9(2023柳州模擬)如圖，：AC是O的直徑，PAAC，連接OP，弦CBOP，直線PB交直線AC于點(diǎn)D，BD2PA.(1)證明：直線PB是O的切線；(2)探究線段PO與線段BC之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；(3)求sinOPA的值解：(1)證明：連接OB.BCOP，OBOC，BCOPOA，CBOPOB，BCOCBO.POAPOB.又POPO，OBOA，POBPOA.PBOPAO90.PB是O的切線(2)2PO3BC.(寫POeq f(3,2)BC亦可)證明：POBPOA，PBPA.BD2PA，BD2PB.BCPO，DBC

13、DPO.eq f(BC,PO)eq f(BD,PD)eq f(2,3).2PO3BC.(3)CBOP，DBCDPO.eq f(DC,DO)eq f(BD,PD)eq f(2,3)，即DCeq f(2,3)OD.OCeq f(1,3)OD.DC2OC.設(shè)OAx，PAy.那么OD3x，OBx，BD2y.在RtOBD中，由勾股定理得(3x)2x2(2y)2，即2x2y2.x0，y0，yeq r(2)x，OPeq r(x2y2)eq r(3)x.sinOPAeq f(OA,OP)eq f(x,r(3)x)eq f(1,r(3)eq f(r(3),3).類型4與特殊四邊形有關(guān)10(2023玉林)如圖，A

14、B是O的直徑，點(diǎn)C，D在圓上，且四邊形AOCD是平行四邊形，過點(diǎn)D作O的切線，分別交OA延長線與OC延長線于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接BF.(1)求證：BF是O的切線；(2)圓的半徑為1，求EF的長解：(1)證明：連接OD.EF為O的切線，ODF90.四邊形AOCD為平行四邊形，AODC，AODC.又DOOCOA，DOOCDC.DOC為等邊三角形DOCODC60.DCAO，AODODC60.BOF180CODAOD60.在DOF和BCF中，eq blc(avs4alco1(DOBO，,DOFBOF，,OFOF，)DOFBOF.ODFOBF90.BF是O的切線(2)DOF60，ODF90，OFD30.BOF

15、60，BOFCFDE，EOFD30.OFOE.又ODEF，DEDF.在RtODF中，OFD30.OF2OD.DFeq r(OF2OD2)eq r(2212)eq r(3).EF2DF2eq r(3).11(2023寧波)如圖，O的直徑AB10，弦AC6，BAC的平分線交O于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DEAC交AC的延長線于點(diǎn)E.(1)求證：DE是O的切線；(2)求DE的長解：(1)證明：連接OD.AD平分BAC，DAEDAB.OAOD，ODADAO.ODADAE.ODAE.DEAC，ODDE.DE是O切線(2)過點(diǎn)O作OFAC于點(diǎn)F.AFCF3.OFeq r(OA2AF2)eq r(5232)4.OFED

16、EFODE90，四邊形OFED是矩形DEOF4.12(2023桂林)如圖，四邊形ABCD是O的內(nèi)接正方形，AB4，PC，PD是O的兩條切線，C，D為切點(diǎn)(1)如圖1，求O的半徑；(2)如圖1，假設(shè)點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，連接PE，求PE的長度；(3)如圖2，假設(shè)點(diǎn)M是BC邊上任意一點(diǎn)(不含B，C)，以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)，在BC的上方作AMN90，交直線CP于點(diǎn)N，求證：AMMN.解：(1)連接OD，OC.PC，PD是O的兩條切線，C，D為切點(diǎn)，ODPOCP90.四邊形ABCD是O的內(nèi)接正方形，DOC90，ODOC.四邊形DOCP是正方形AB4，ODCOCD45，DOCODCsin454eq f(r(2),2)2eq r(2).(2)連接EO