2022年新高考數(shù)學必刷壓軸題專題40圓的“雙切線”問題

1、專題 40圓的“雙線”問題【方法撥】1.涉及從圓外一點向圓引兩條切的相關線段長計算問題對稱性常將雙切線問題 轉化為一條切線問題，抓住“特征直角三角形切點、圓心、圓外點為頂)，向點與圓心 的距離問題轉化.2.圓上存在一點、圓心與圓外一（或圓上存在兩點與圓外一點）的張角有最大值，張 角最大時，直線與圓相切，轉化為點與圓心的距離問.【典型示例】例 （2020新課理11）知M：x y 2 x 直線 l 2 y 0， P 為 l 上的動點，過點 的線 , PB 切點為 A B ，| PM AB |最小時，直線 AB 的程為（ ）A.C.2 x 2 x B.D.2 y 02 x y 【答案D【分析】由題意

2、可判斷直線與圓相離，根據(jù)圓的知識可知，四點A P , M共圓，且AB MP 據(jù)PM PA可知直 MP l 時， PM 最小，求出以 MP 為徑的圓的方程，根據(jù)圓系的知識即可求出線 AB 的方程【 解 析 】 圓 的 方 程 可 化 為 ， 點 M 到 直 線l的 距 離 為 ，所以直線 l 與圓相離依圓的知識可知，四點A P, , M四點共圓，且 MP ，以PM PAM1 AM 2 2，而 MP 當直線 MP l 時，MPmin ， PAmin ，時 PM 最 共 7 頁1 1 12 21 2 1 21 2 1 1 1 12 21 2 1 21 2 1 26 1 2 1 2MP : y 2即

3、1 11 x y x ，由 2 解， 2 y 2 x y 所以以 MP 為徑的圓的方程為，兩圓的方程相減可得：2 x y ，即為直線 AB 的程例 在平面直角坐標系 xOy 中已知直線 y= 上在 過點 作 O: x2 y=4的切線，切點分別為 A(x ， )，(x ， )，且 x x + y y =2，則實數(shù) k 的值范圍為.【案(，5 ，) 2 2642BAC5 10 152【析由 x + y y = 的構聯(lián)想“數(shù)量積”的定義兩次”得ACB04，雙切線問題利用對稱性轉化為特征角易得0故直線 y+6上的點 P 只需滿足 =4 即足題.而點 與線上點間的距離，以垂線段最短，故只需 到線的距離不

4、于 y8【析由 x + y = 得：x x y OA OB cosAOB 1 1 ，則 3，在，APC0，=4，當直線 l上的點 P 滿足 =4 即足意又因為點 C 與線上點間的距離，以垂線段最短，故只需 C 到線的距離不大于 共 7 頁由點到直線的距離公式得： 解之得k 或 所以 k 的值范圍為(，5 5 ， 2 2例 3過點 作圓C:( )2 y 2t )的切線,切分別為A B,則 PA 的最小值為_.【答案】214【分析】為了求出 PA 的最小值，需建立目標函數(shù)，這里選擇使用數(shù)量積的定義作為突破口，選擇線段 PC長為“元”設APCsin 2 ， cos PC，故 PA 2PC) PC2

5、又點 (t t 在直線 ，故 PC 2 即 所以 2 21 8 4故 的最小值為.點評）最值問題要牢固樹立建立目標函數(shù)的意識；（2及圓外一點向圓引兩條切線的相關線段長計算問題將切線問題轉化為一 條切線問題，抓住“特征直角三角形點與圓心的距離問題轉. 共 7 頁1 1 2 2 1 21 2 1 21 21 1 2 2 1 21 2 1 21 2例 已知圓 ：2y， ：3)2a21( 為數(shù)若圓 與 M上分別存在點 P，Q使得OQP30 的值范圍為 【答案】 ，0【分析】雙動點問題先轉化為一點固定不動，另一點.這里，先將 Q 固不動，則點 P 在圓 運時，當 為 O 的線時， 最，滿足題意，需30將

6、角的范圍轉化為 OQ 間距離問題，即需 再固定 不動，易得只需 OM6即可，利用兩點間距離公(a3)(2a)29，解得5a 0.點評：圓上存在一點（或兩點）與圓外一點的張角問題，張角最大時，直線與圓相切，轉化 為點與圓心的距離問.例 5平面直角坐標系 中點 P 在 軸，從點 向 C ：y3)2 引線，切線長為 d ，點 P 向圓 C (2 小值為2 引切線，切線長為 d ， d 的【答案】 2【分析】求切線長問題再利用數(shù)形結合思想解決最值問. 【解析】設點 P(x，d x2 ， (22， 2 x2，幾何意義：點 Px，到 M，N，3)的距離和當 M， 點共線時， 有小值 2，此時 P， 共 7

7、 頁1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 【鞏固練】1.在平面直角坐標系 xOy 中，已知圓 Cxy2，點 A 是 x 軸的一個動點AP， AQ 分切圓 C 于 P， 兩點，則線段 的的取值范圍_2.已知圓 M：x1)y2，直線 x0， 為直線 l 上點若圓 上存在 兩點 ，使得BAC，則點 橫標的取值范圍是x y 23.已橢圓 C ： 2 b2（）圓 ： x22b ，若在橢圓 C 上不存在 4點 P，使得由點 P 所的圓 C 的條切線互相垂直，則橢圓 C 的離心率的取值范圍是 _4.在面直角坐標系 xOy 中已知圓 O x2+ y= r2 與 C: (x2+ (y2=4過圓

8、 O上任意一點 P 作 的切線，切點分別為 ， 為. ，則實數(shù) r 的值范圍5.在平面直角坐標系 xOy 中知圓 C( y 4) 16對于直線 x my 上的任意一點 P ，在圓 C 總存在 Q 使 ，則實數(shù) m 的值范圍為 6.在面直角坐標系 xOy 中已知圓 ：22，線 l：30(，過直線 l 2上一點 P 作 O 的條切線，切點分別為 M，.若M ，正實數(shù) a 的取值范圍3是_7. 過線 l： 上意點 作圓 ：x22 的條切線，切點分別為 A，當切線最短時， 的積為_8. 已圓 C：24) 上在兩點 A， 為直線 x 上的一個動點且滿足 ，那么點 的坐標的取值范圍_ 共 7 頁 1 2

9、2 1 2 2 【答案與提示】21.【答案】 14,2 3【提示】直線與圓相切時，利用所得到的直角三角形，向點與圓心的距離問題轉 2案】，【提示】BAC 最時，直線與圓相切，轉化為點與圓心的距離問.【答案 (0, )【分析】如圖過點 P 的條直線與圓 分切于點 ，N 由兩條切線相互垂直2知 【解析】 6 ，題知 ，得 a 3 ，又 1 即得出結. 如圖，設過點 P 的條直線與圓 C 分切于點 M ，N2，由兩條切線相互垂直，可知 OP 6 ， 2又因為在橢圓 C 上存在點 P，得由點 P 所作的圓 C 的兩條切線互相垂直，所以 OP ，得 b 6 ，所以 ， 所以橢圓 C1 離心率 1 ，又 ，所以 4.【答案】 共 7 頁PO21PO215.【