AHP(層次分析法)示例說明之歐陽歌谷創(chuàng)編

1、設(shè) A ， 使設(shè) A ， 使得 (1)g 一.歐陽歌谷創(chuàng)編 2021 年 AHP（層分析）例說歐陽歌谷（2021.02.01） Analgtic Hierarachy Process-AHP)AHP 備知識為了更好地理解 ，要備一些陣方面的知識，以下知 識都可以從線性代數(shù)找到。1.1特征根與特征向量ij m n 方 陣 ， 存 在 常 數(shù) 和 非 零 n 維 向 量g , g , g 1 則稱， 矩 的征（特值），非零向量 是陣 A 關(guān)特根 征向量。1.2特征根的求法 A 0由(得，這是一個(gè) 元一線性齊次方程組，該方程組如果有零解，則其充分必要條件為：系數(shù)行 列式為零，即 (2)稱(式矩 的征

2、程它一一元 次程，由線 性代數(shù)基本定理知，該方有且只有 個(gè)。1.3重量模型設(shè)u , u ,1 un為 n 個(gè)體，量分別是g g ,1 n。但是，我們并不知道物體的重量，只兩兩之間重量比的比值： 設(shè)準(zhǔn)則 C 為較重量，問題是：已知a (1 i j n ) ij，在準(zhǔn)則 下元素u , u , , u 1 n排序，也就是按其重量大小排序已知。對于以下三個(gè)特性：（） ij（2）jiij0歐陽歌谷創(chuàng)編2021 年 1ij g ngija g g ij g ngija g g , 2021 年 1（3）a ijij 顯滿足（）與2，但是，（）式通常不被滿足（因 為統(tǒng)計(jì)或構(gòu)造這么完整的據(jù)很難），滿足）、（）

3、的矩陣 A 為互反矩陣 滿足）、（）并且（）也成立時(shí)的陣 A 稱為致性判斷矩陣 。題是：已知判斷矩陣 ，準(zhǔn)則 下 n 個(gè)體序。即按重量大小排序。 i如果， j 是 i ， j 是量的精確值，此時(shí)（3式必定 成立，即 A 一致性判斷矩陣。令則帶入計(jì)算， 顯 n 方陣 A 的征根， 是 與 應(yīng)的特征向量；事實(shí)上此時(shí)不難驗(yàn)證： 方陣 a ) 最大特征根，其余 -1 特征根全為零，而 的最大特征 根 應(yīng)的特征向量（證明見附錄） 的 n 分量是物體的相對重量，因此，可按此對u , u ,1 un排序。如果對矩陣 有個(gè)小的擾動(dòng)，即 ij 不是真實(shí)重量的比 值，這時(shí)顯然 滿足一致性條件，此時(shí) A 的大特征根

4、 m 不 再是 n因擾動(dòng)很小，自然 m ax 離 n 不，這時(shí) m 對的征向 量雖然不會是 個(gè)物體的真實(shí)重量 1 n 但是，變動(dòng) 也不會太大。我們設(shè)想：果擾動(dòng)不大，則 m 離 n 就不遠(yuǎn)此 時(shí) 對的特征向量 與 差多，如果 改變 的分的大小次序，則 同給出 物體u , u ,1 , un按重量大小的真實(shí)排序。這樣，對不滿足一致性的互反矩陣A ) ij n，我們求其最大特征根 再求與 對應(yīng)的特征向量 ，則可按 物體u , u ,1 un按重量大小排序。但是，一番理論有幾個(gè)疑點(diǎn)：當(dāng)A 不足致性時(shí)， 有沒有最大正的特征根；既使 A 有 大特征根，那么，這個(gè)最特征根 m 應(yīng)的特征向量的全部分量能否還是

5、正數(shù)（重量不能為負(fù)數(shù)）？這兩個(gè)問題可以用矩陣 代數(shù)中 Perro 定理 答。 定理正矩陣存在重?cái)?shù)為 重的正特征根，其它特征根的模均小于這 個(gè)正特征根，該正特征根對應(yīng)的特征向量可全部由正分量組歐陽歌谷創(chuàng)編2021 年 1 2021 年 1成，經(jīng)“歸一化”處理后該特征向量是惟一。（證明見 itac 平臺文檔庫中 ） 定明白地告訴我們，對互反矩陣 ，既使它不滿足 一致性，也一定存在最大的實(shí)特征根，它對應(yīng)的特征向量的各 個(gè)分量都可以是正數(shù)，并“歸一化”后是惟一的。但是，我們 能否按這個(gè)“歸一化”后惟一的特征向量對 個(gè)體重大 小排序呢？或說這個(gè)“歸化”后的特征向量是否會改變擾動(dòng)前的一致性矩陣 最大特征根

6、 m ax =n 對的特征向量的各分間 大小的排序呢？這個(gè)問題難了，人們簡直難于正面明確地回 答，而只能給出一個(gè)并不十分令人滿意的簡接回答。那就是對 判斷矩陣 ij 的致性滿意程度進(jìn)行檢驗(yàn)：我們說過，由于對 A 不的擾動(dòng)，最大特征根離 應(yīng)太遠(yuǎn)， 所以一致性檢驗(yàn)自然與 n 關(guān)。我們可以明：只要 的致性 不被滿足，那么 最大特征根 一定比 n ，即 m 。 （對于正互反矩陣最大特根隨擾動(dòng)的變大而變大的證明沒有找 到，忘補(bǔ)充）令 I n 顯然，我們希望CI.盡量?。坏?，CI.小到什么程度，才能使 m ax n 應(yīng)的特征向“歸一化”后各分量大小次序不被破壞呢？這仍是一個(gè)非常非困難的問題，可以說，人們

7、難以正面回答這個(gè)問題。為此， 發(fā)明者 出了平一致性檢驗(yàn)值 .I 。們復(fù) ，對隨機(jī)判斷陣 A 的大征根進(jìn)行計(jì)算后求取算術(shù)平均值得如下平均隨機(jī)一致性檢驗(yàn)指標(biāo)如下：階數(shù). 4 5 6 8 9 10 12 13 14 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.58 令CR CI .RI .當(dāng).R. 時(shí)，認(rèn)為判斷矩陣 A 一致性是可以被接受的。亦即當(dāng)C.R. 即 I 0.1RI 歐陽歌谷創(chuàng)編時(shí)，就是說，當(dāng)給定的判矩陣2021 年 1A ( ) ij AA c AA c c2021 年 1的一致性指標(biāo) .I.不過平均機(jī)一致性指標(biāo) R.I. 倍，為判斷矩陣A ( ) ij的一致性是可以被接受的言

8、外之意：此時(shí)的A 的 m ax 對的特向量“歸一化”后，能給出 n 個(gè)體u , u , u 1 n按重量大小的真實(shí)排序。顯看出這個(gè)回答不是正面的，也有些令人難以置信。但是，這是目前為止最好的回答了，這也是 A 理論上夠嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膯栴}。不過，從應(yīng)用角度講，當(dāng) C.R.0.1時(shí)， AHP 不再用，這時(shí)，只能回頭考慮，變更遞階層次結(jié)， 或?qū)ε袛嗑仃?新賦值。二.AHP 本步驟用 決問題，有四個(gè)步驟： 建立問題的遞階層次結(jié)構(gòu)； 構(gòu)造兩兩比較判斷矩陣； 由判斷矩陣計(jì)算被比較元素相對權(quán)重； 計(jì)算各層元素組合權(quán)重，并進(jìn)行一致性檢驗(yàn)。下面通過一個(gè)應(yīng)用實(shí)例說 AHP 的個(gè)驟的實(shí)施。例：某鬧市區(qū)一商場附近交通擁擠。目

9、標(biāo)G ：善該街區(qū)交通環(huán)境。有三種方案可供選擇： ：天橋或修高架橋； ：修 地道； 商場搬遷。選擇方案的準(zhǔn)則有 5 ： 通車能力； 2 方便市民； 3 改造費(fèi)用； ：安全性 5 ：市容美觀。決策步驟：歐陽歌谷創(chuàng)編2021 年 1 a u歐陽 a u2021 年 1建立問題的遞階層次結(jié)構(gòu)： 目標(biāo)層最高層：目標(biāo)層 G改變交通環(huán)境 準(zhǔn)則層1：通車能力c2：方便市民c：改造費(fèi)用c4：安全性c：市容美觀 方案層方案1方案A2方案A3遞階層次結(jié)構(gòu)中，每一層每一個(gè)元素均是下一層中每個(gè)元素 的準(zhǔn)則。構(gòu)造兩兩比較判斷矩陣構(gòu)造判斷矩陣A ) ijn，在單準(zhǔn)則下分別構(gòu)造，在 下對 c c 1 2 4 ，構(gòu)造判斷矩陣；

10、分別在 c c c 1 下對 A A1 3構(gòu)造判斷矩陣。在單一準(zhǔn)則下，如何具體造兩兩比較判斷矩陣A ( ) ij呢？即如何具體確定比值ij呢？在 AHP 中較常的是1-9 比標(biāo)度法關(guān)于 比例標(biāo)度法的說明: ( n n 個(gè)素u , u , u 1 n，兩兩比較其重要性共要較次。第i 個(gè)素 i 與 j 個(gè)素 j 要性之為 ij 。過使用標(biāo)度比重， 確定 ij ，一下是標(biāo)度值： ij1表示 i uj重量相同，或重要性相同 ij3表示 i j 稍；歐陽歌谷創(chuàng)編2021 年 1 a 歐陽歌谷 a 2021 年 1a ija ij57表示 i j 顯重； 表示 i j 烈重；a ij9表示 i j極端重；

11、數(shù) 24、 則上述判斷的中值。兩兩比較兩個(gè)元素的重要，總是在某種準(zhǔn)則（準(zhǔn)則層比較是以總目標(biāo) G 為則，方案層比較，分別以準(zhǔn)層中各元素為準(zhǔn)則）下進(jìn)行的。至于為什取 1-9 例標(biāo)度，不別，因?yàn)槿藗冎庇X最多只能判斷 9 個(gè)等級的差異，再細(xì)的差異，人的直覺是分辨不出來的，而兩比較判斷矩陣是領(lǐng)域?qū)＜铱扛杏X去分辨和構(gòu)造的。從理論上，用 例標(biāo)度也未嘗不，只是人的直覺分辨不出。對 物體，兩兩比較其重要性得判斷矩陣A ) ij ，顯然 ij 足： 0ij， ijji， ii共計(jì) n 個(gè)判斷，所以 A 是正的互反矩陣，且對角上元素為 1這樣的 n 矩陣可表示為上三角或下三角矩。但 元素aij通常不具有傳遞性，即:

12、這是由事物的復(fù)雜性和人認(rèn)識的局限性造成的。如果式：成立，則稱 A 是一致性矩陣從斷矩陣 A 發(fā)到導(dǎo)出元素在某種準(zhǔn)則 下重要性大小的排序，矩陣 的致起著至關(guān) 重要的作用。按著 1 比標(biāo)的上述說明，具體構(gòu)造應(yīng)用舉例的六個(gè)準(zhǔn)則 下的兩兩比較判斷矩陣分為：歐陽歌谷創(chuàng)編2021 年 1歐陽歌谷創(chuàng)編2021 年 1通方費(fèi)安市G車便用全容cc2c通 車方 便費(fèi) 用c11/31/5311/3c531311/3c533c安 全市 容1/31/511/331/311/331能力1A2通 車1天 橋地 道111A211A355便橋道方c2天1地A2/3111A231A352A3搬 遷費(fèi)用c天 橋1/5 /5111A

13、241A37遷全橋搬A3安c4天11/5 /211/21A21/31A31A2地 道/4114道地211A3搬 遷1/7 /411遷搬A3311市容c1A2A31A2A3天 橋地 道搬 遷123/2111/3111由判斷矩陣計(jì)算被比較元素相對權(quán)重對給出的共 個(gè)正互反矩陣，分別求:（1m 歐陽歌谷創(chuàng)編2021 年 11 2 *,*,*T ， ， 1 2 *,*,*T ， ， 2021 年 1（2與 m ax 對的特征向量并歸一化得排序相對權(quán)重向量 （3每個(gè)矩陣求 m ax ，都要進(jìn)行一致性檢驗(yàn)。例如以 作準(zhǔn)則的判斷矩陣為：因階數(shù)低，可直接求出最特征根。由于A 一致的，知 ax其它的特征根均為 。

14、下面來驗(yàn)證這點(diǎn)：再例如以準(zhǔn)則 的判斷矩陣為：顯然 滿足一致性，因?yàn)閍 12 23 。由于 現(xiàn)一個(gè)小的動(dòng)而不滿足一致性，此時(shí)不能再有 ax ax=3 ，是 3 。時(shí)，通常迭代算法（乘冪法）求解出 與對應(yīng)的特征向量，關(guān)于冪法可 baidu 下。計(jì)算各層元素組合權(quán)重，并進(jìn)行一致性驗(yàn)（1設(shè)準(zhǔn)則層元素 C 對于總標(biāo) 排序權(quán)重向量：a( a , , am)T（本例中 ）（2方案層各方案 A 對則層各元素 j 的序量為： 2 2 , , , b j 1 j j j j1,2, , )（本例中 n，m=5令B(b , b, , m)(則方案層的 n(n方案相對于總目標(biāo)的組合權(quán)重向量為aB：最后得到的 是方 A、C 在目標(biāo) 下排序 向量。（3對于遞階層次組合判斷的一致性驗(yàn)我們要逐層計(jì)算CI .，設(shè)得到準(zhǔn)則層針對目標(biāo)的計(jì)算結(jié)果為：CI R.I . CR. 1 1 歐陽歌谷創(chuàng)編2021 年 1C I . RI i i ijC I . RI i i ijI iiI 方案層針對目標(biāo)層的相應(yīng)標(biāo)為：2021 年 1本例中 m=5則 .R .R. 2 1 I .R.I 22（為什么使用加法）上面 和 2 分別是方案層針對準(zhǔn)則層的第 i 準(zhǔn)則下判