(通用版)高考數(shù)學(文數(shù))一輪復習考點梳理與過關(guān)練習38《拋物線》(含詳解)

1、考點38 拋物線（1）了解拋物線的實際背景，了解拋物線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用.（2）掌握拋物線的定義、幾何圖形、標準方程及簡單性質(zhì).一、拋物線的定義和標準方程1拋物線的定義平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F) 距離相等的點的軌跡叫做拋物線點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線拋物線關(guān)于過焦點F與準線垂直的直線對稱，這條直線叫拋物線的對稱軸，簡稱拋物線的軸注意：直線l不經(jīng)過點F，若l經(jīng)過F點，則軌跡為過定點F且垂直于定直線l的一條直線2拋物線的標準方程（1）頂點在坐標原點，焦點在x軸正半軸上的拋物線的標準方程為 SKIPIF 1 0 ；（2）頂點在坐標原點，焦點在

2、x軸負半軸上的拋物線的標準方程為 SKIPIF 1 0 ；（3）頂點在坐標原點，焦點在y軸正半軸上的拋物線的標準方程為 SKIPIF 1 0 ；（4）頂點在坐標原點，焦點在y軸負半軸上的拋物線的標準方程為 SKIPIF 1 0 .注意：拋物線標準方程中參數(shù)p的幾何意義是拋物線的焦點到準線的距離，所以p的值永遠大于0，當拋物線標準方程中一次項的系數(shù)為負值時，不要出現(xiàn)p0的錯誤.二、拋物線的幾何性質(zhì)1拋物線的幾何性質(zhì)標準方程 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 圖 形 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF

3、 1 0 幾何性質(zhì)范 圍 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 對稱性關(guān)于x軸對稱關(guān)于x軸對稱關(guān)于y軸對稱關(guān)于y軸對稱焦點 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 準線方程 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 頂 點坐標原點(0，0)離心率 SKIPIF 1 0 2拋物線的焦半徑拋物線上任意一點 SKIPIF 1 0 與拋物線焦點F的連線段，叫做拋物線的焦半徑根據(jù)拋物線的定義可得焦半徑公式如下表：拋物線方程 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1

4、 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 焦半徑公式 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 3拋物線的焦點弦拋物線的焦點弦即過焦點F的直線與拋物線所成的相交弦焦點弦公式既可以運用兩次焦半徑公式得到，也可以由數(shù)形結(jié)合的方法求出直線與拋物線的兩交點坐標，再利用兩點間的距離公式得到，設(shè)AB為焦點弦， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，則拋物線方程 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 焦點弦公式 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1

5、 0 其中，通過拋物線的焦點作垂直于對稱軸而交拋物線于A，B兩點的線段AB，稱為拋物線的通徑對于拋物線 SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 ，故拋物線的通徑長為2p4必記結(jié)論直線AB過拋物線 SKIPIF 1 0 的焦點，交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，如圖：（1）y1y2p2，x1x2eq f(p2,4).（2）|AB|x1x2p，x1x2 SKIPIF 1 0 p，即當x1x2時，弦長最短為2p.（3）eq f(1,|AF|)eq f(1,|BF|)為定值eq f(2,p).（4）弦長ABeq f(2p

6、,sin2)(為AB的傾斜角)（5）以AB為直徑的圓與準線相切（6）焦點F對A，B在準線上射影的張角為90.考向一 拋物線的定義和標準方程1拋物線定義的實質(zhì)可歸結(jié)為“一動三定”：一個動點M，一個定點F（拋物線的焦點），一條定直線l（拋物線的準線），一個定值 1（拋物線的離心率）.2拋物線的離心率e1，體現(xiàn)了拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離，因此，涉及拋物線的焦半徑、焦點弦的問題，可以優(yōu)先考慮利用拋物線的定義將點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為點到準線的距離，即 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 ，使問題簡化典例1 設(shè)定點 SKIPIF 1 0 ，動圓 SKIPIF 1 0 過點 SKI

7、PIF 1 0 且與直線 SKIPIF 1 0 相切，則動圓圓心 SKIPIF 1 0 的軌跡方程為A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【答案】A【解析】由題意知，動圓圓心到定點 SKIPIF 1 0 與到定直線 SKIPIF 1 0 的距離相等，所以動圓圓心的軌跡是以 SKIPIF 1 0 為焦點的拋物線，則方程為 SKIPIF 1 0 .故選A.【名師點睛】本題考查拋物線的定義，屬于簡單題.由題意，動圓圓心的軌跡是以 SKIPIF 1 0 為焦點的拋物線，求得 SKIPIF 1 0 ，即可得到答案.典例2 已知拋物線y22

8、px（p0）上的點到準線的最小距離為 SKIPIF 1 0 ，則拋物線的焦點坐標為A（ SKIPIF 1 0 ）B（0， SKIPIF 1 0 ）C（2 SKIPIF 1 0 ）D（0，2 SKIPIF 1 0 ）【答案】A【解析】拋物線y22px（p0）上的點到準線的最小距離為 SKIPIF 1 0 ，就是頂點到焦點的距離是 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，則拋物線的焦點坐標為（ SKIPIF 1 0 ，0）故選A【名師點睛】本題主要考查拋物線的定義和準線方程，屬于基礎(chǔ)題拋物線上的點到準線的最小距離即為頂點到焦點的距離，進而列方程求解即可.1已知 SKIPIF 1 0 ，

9、拋物線 SKIPIF 1 0 ： SKIPIF 1 0 的焦點為 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 與拋物線 SKIPIF 1 0 在第一象限的交點為 SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 _考向二 求拋物線的標準方程1求拋物線標準方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點的位置、開口方向，在方程的類型已經(jīng)確定的前提下，由于標準方程只有一個參數(shù) SKIPIF 1 0)上,O是坐標原點,若正三角形OAB的面積為43,則該拋物線的方程是Ay2= SKIPIF 1 0 x By2=3xCy2=23x Dy2= SKIPIF 1 0 x【答案】A

10、【解析】根據(jù)對稱性,可知ABx軸,由于正三角形OAB的面積是43,故 SKIPIF 1 0 AB2=43,故AB=4,正三角形OAB的高為23,故可設(shè)點A的坐標為(23,2),代入拋物線方程得4=43p,解得p= SKIPIF 1 0 ,故所求拋物線的方程為y2= SKIPIF 1 0 x.典例4 求滿足下列條件的拋物線的標準方程，并求出對應(yīng)拋物線的準線方程（1）過點 SKIPIF 1 0 ；（2）焦點在直線 SKIPIF 1 0 上【解析】（1）設(shè)所求拋物線的方程為 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 過點 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0

11、 ， SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 .故所求拋物線的方程為 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 ，對應(yīng)的準線方程分別是 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 .（2）令 SKIPIF 1 0 得 SKIPIF 1 0 ；令 SKIPIF 1 0 得 SKIPIF 1 0 ，拋物線的焦點為 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 當焦點為 SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，此時拋物線的方程為 SKIPIF 1 0 ；當焦點為 SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，此

12、時拋物線的方程為 SKIPIF 1 0 .故所求拋物線的方程為 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 ，對應(yīng)的準線方程分別是 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 .2已知直線l過點 SKIPIF 1 0 且與x軸垂直，則以直線l為準線、頂點在原點的拋物線的方程是A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 考向三 拋物線的簡單幾何性質(zhì)及其應(yīng)用確定及應(yīng)用拋物線性質(zhì)的關(guān)鍵與技巧：(1)關(guān)鍵：利用拋物線方程確定及應(yīng)用其焦點、準線等性質(zhì)時，關(guān)鍵是將拋物線方程化成標準方程(2)技巧：要結(jié)合圖形分析，靈活運用平面幾何的性質(zhì)以圖

13、助解.典例5 已知等腰三角形OPM中，OPMP，O為拋物線 SKIPIF 1 0)的頂點，點M在拋物線的對稱軸上，點P在拋物線上，則點P與拋物線的焦點F之間的距離是A2 SKIPIF 1 0 p B SKIPIF 1 0 pC2p D SKIPIF 1 0 p【答案】B【解析】由題意得 SKIPIF 1 0 因此點P與拋物線的焦點F之間的距離為 SKIPIF 1 0 ，選B.【名師點睛】（1）凡涉及拋物線上的點到焦點距離時，一般運用定義轉(zhuǎn)化為到準線距離處理（2）解答本題的關(guān)鍵是畫出圖形，利用拋物線的簡單幾何性質(zhì)轉(zhuǎn)化求解即可3拋線 SKIPIF 1 0 的焦點為 SKIPIF 1 0 ，準線為

14、SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 軸的交點為 SKIPIF 1 0 ，點 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上，直線 SKIPIF 1 0 的傾斜角為 SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 的面積為A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 考向四 焦點弦問題與拋物線的焦點弦長有關(guān)的問題，可直接應(yīng)用公式求解.解題時，需依據(jù)拋物線的標準方程，確定弦長公式是由交點橫坐標定還是由交點縱坐標定，是p與交點橫（縱）坐標的和還是與交點橫（縱）坐標的差，這

15、是正確解題的關(guān)鍵.典例6 過拋物線y2=4x的焦點作直線交拋物線于點A(x1,y1)，B(x2，y2)，若|AB|=7，求AB的中點M到拋物線準線的距離.【解析】拋物線的焦點為F(1,0),準線方程為x=1.由拋物線的定義知|AB|=|AF|+|BF|=x1于是弦AB的中點M的橫坐標為 SKIPIF 1 0 ,因此點M到拋物線準線的距離為 SKIPIF 1 0)的焦點,斜率為22的直線交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2)兩點,且|AB|=9.（1）求該拋物線的方程;（2）O為坐標原點,C為拋物線上一點,若OC=OA+OB,求【解析】（1）直線AB的方程是y=22(x- SK

16、IPIF 1 0 ),與y2=2px聯(lián)立,從而有4x2-5px+p2=0,所以x1+x2= SKIPIF 1 0 .由拋物線的定義,得|AB|=x1+x2+p=9,所以p=4,從而拋物線的方程是y2=8x.（2）因為p=4,所以4x2-5px+p2=0，可簡化為x2-5x+4=0,從而x1=1,x2=4,y1=-22,y2=42,從而A(1,-22),B(4,42).設(shè)C(x3,y3),則OC=(x3,y3)=(1,-22)+(4,42)=(4+1,42-22).又y32=8x所以22(2-1)2=8(4+1),即(2-1)2=4+1,解得=0或=2.4過拋物線 SKIPIF 1 0 的焦點F

17、作直線交拋物線于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 兩點，如果 SKIPIF 1 0 ，那么 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 考向五 拋物線中的最值問題1.拋物線中經(jīng)常根據(jù)定義把點到焦點的距離和點到準線的距離進行互相轉(zhuǎn)化，從而求解.2.有關(guān)拋物線上一點M到拋物線焦點F和到已知點E（E在拋物線內(nèi)）的距離之和的最小值問題，可依據(jù)拋物線的圖形，過點E作準線l的垂線，其與拋物線的交點到拋物線焦點F和到已知點E的距離之和是最小值.典例8 如圖,已知點Q(22,0)及拋物線 SKIPIF 1 0 上

18、的動點(x,y),則y+|Q|的最小值是A2B3C4D2【答案】A【解析】如圖,作Bx軸于A點,并與準線相交于B點.拋物線x2=4y的焦點為F(0,1),準線為由拋物線的幾何意義可得B=F,所以y+|Q|= |A|+|Q|=| B|+|Q|1故選A.典例9 已知拋物線的方程為x2=8y,F是焦點,點 A(-2,4),在此拋物線上求一點P,使|PF|+|PA|的值最小.【解析】(-2)284,點A(-2,4)在拋物線x2=8y的內(nèi)部.如圖所示,設(shè)拋物線的準線為l,過點P作PQl于點Q,過點A作ABl于點B,連接AQ.由拋物線的定義可知,|PF|+|PA|=|PQ|+|PA|AQ|AB|,當且僅當

19、P,Q,A三點共線時,|PF|+|PA|取得最小值,即|AB|.A(-2,4),不妨設(shè)|PF|+|PA|的值最小時,點P的坐標為(-2, y0),代入拋物線方程x2=8y得y0= SKIPIF 1 0 .使|PF|+|PA|的值最小的拋物線上的點P的坐標為(-2, SKIPIF 1 0 ).5已知點 SKIPIF 1 0 是拋物線 SKIPIF 1 0 上的一動點， SKIPIF 1 0 為拋物線的焦點， SKIPIF 1 0 是圓 SKIPIF 1 0 ： SKIPIF 1 0 上一動點，則 SKIPIF 1 0 的最小值為A3B4C5D61拋物線 SKIPIF 1 0 的焦點為A SKIP

20、IF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 2已知 SKIPIF 1 0 ，則“ SKIPIF 1 0 ”是“拋物線 SKIPIF 1 0 的焦點在 SKIPIF 1 0 軸正半軸上”的A充分不必要條件 B必要不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件3已知拋物線y24x上一點M與該拋物線的焦點F的距離|MF|4，則點M的橫坐標xA0 B3C2 D44已知直線 SKIPIF 1 0 是拋物線 SKIPIF 1 0 的準線，半徑為3的圓過拋物線頂點 SKIPIF 1 0 和焦點 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 相切，則拋物線的

21、方程為A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 5已知點M(-3,2)是坐標平面內(nèi)一定點,若拋物線y2=2x的焦點為F,點Q是該拋物線上的一動點,則|MQ|-|QF|的最小值是A SKIPIF 1 0 B3C SKIPIF 1 0 D26設(shè) SKIPIF 1 0 為拋物線 SKIPIF 1 0 ： SKIPIF 1 0 的焦點， SKIPIF 1 0 為拋物線 SKIPIF 1 0 上的一點， SKIPIF 1 0 為原點，若 SKIPIF 1 0 為等腰三角形，則 SKIPIF 1 0 的周長為A SKIPIF 1 0 B SKI

22、PIF 1 0 C SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 7曲線 SKIPIF 1 0 上兩點 SKIPIF 1 0 關(guān)于直線 SKIPIF 1 0 對稱，且 SKIPIF 1 0 ，則m的值為A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 8平面直角坐標系 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 是拋物線 SKIPIF 1 0 的焦點，點 SKIPIF 1 0 在拋物線 SKIPIF 1 0 上，滿足 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，則 SKIPI

23、F 1 0 為A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 9已知拋物線 SKIPIF 1 0 ： SKIPIF 1 0 的焦點為 SKIPIF 1 0 ，準線為 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 軸的交點為 SKIPIF 1 0 ，點 SKIPIF 1 0 在拋物線 SKIPIF 1 0 上，過點 SKIPIF 1 0 作 SKIPIF 1 0 ，垂足為 SKIPIF 1 0 .若四邊形 SKIPIF 1 0 的面積為14，且 SKIPIF 1 0 ，則拋物線 SKIPIF 1 0 的方程為A

24、SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 10已知拋物線 SKIPIF 1 0 ： SKIPIF 1 0 的焦點為 SKIPIF 1 0 ，點 SKIPIF 1 0 ，直線 SKIPIF 1 0 與拋物線 SKIPIF 1 0 交于點 SKIPIF 1 0 （ SKIPIF 1 0 在第一象限內(nèi))，與其準線交于點 SKIPIF 1 0 ，若 SKIPIF 1 0 ，則點 SKIPIF 1 0 到 SKIPIF 1 0 軸距離為A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 11若拋

25、物線 SKIPIF 1 0 的焦點與橢圓 SKIPIF 1 0 的右焦點重合，則 SKIPIF 1 0 _.12已知點 SKIPIF 1 0 是拋物線 SKIPIF 1 0 上的兩點， SKIPIF 1 0 ，點 SKIPIF 1 0 是它的焦點，若 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 的值為_13以拋物線 SKIPIF 1 0 ： SKIPIF 1 0 的頂點為圓心的圓交 SKIPIF 1 0 于 SKIPIF 1 0 兩點，交 SKIPIF 1 0 的準線于 SKIPIF 1 0 兩點.已知 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0)的焦點為

26、F,點A(0,1),射線FA與拋物線C相交于點M,與其準線相交于點N,若|FM|MN|=13,則實數(shù)a的值為_.15已知拋物線 SKIPIF 1 0 的焦點為 SKIPIF 1 0 ，直線 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 交于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 兩點， SKIPIF 1 0 ，線段 SKIPIF 1 0 的中點為 SKIPIF 1 0 ，過點 SKIPIF 1 0 作拋物線 SKIPIF 1 0 的準線的垂線，垂足為 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 的最小值為_.16已知拋物線y2=2px（p（1）求此拋物線的方程;（2）設(shè)點M在

27、此拋物線上,且|MF|=3,若O為坐標原點,求 SKIPIF 1 0 的面積.17已知M,N是焦點為F的拋物線 SKIPIF 1 0 上兩個不同的點,線段MN的中點A的橫坐標為 SKIPIF 1 0 .（1）求|MF|+|NF|的值;（2）若p=2,直線MN與x軸交于點B,求點B的橫坐標的取值范圍.18已知拋物線 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 的焦點分別為 SKIPIF 1 0 ，點 SKIPIF 1 0 且 SKIPIF 1 0 為坐標原點）（1）求拋物線 SKIPIF 1 0 的方程；（2）過點 SKIPIF 1 0 的直線交 SKIPIF 1 0 的下半部分于點 SKI

28、PIF 1 0 ，交 SKIPIF 1 0 的左半部分于點 SKIPIF 1 0 ，求 SKIPIF 1 0）的焦點是橢圓 SKIPIF 1 0 的一個焦點，則p=A2B3C4D82（2017年高考全國卷文數(shù)）過拋物線 SKIPIF 1 0 的焦點 SKIPIF 1 0 ，且斜率為 SKIPIF 1 0 的直線交 SKIPIF 1 0 于點 SKIPIF 1 0 （ SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 的軸上方）， SKIPIF 1 0 為 SKIPIF 1 0 的準線，點 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上且 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 到直

29、線 SKIPIF 1 0 的距離為 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 3（2019年高考北京卷文數(shù)）設(shè)拋物線y2=4x的焦點為F，準線為l則以F為圓心，且與l相切的圓的方程為_4（2018年高考北京卷文數(shù)）已知直線l過點（1，0）且垂直于軸，若l被拋物線 SKIPIF 1 0 截得的線段長為4，則拋物線的焦點坐標為_.5（2017年高考天津卷文數(shù)）設(shè)拋物線 SKIPIF 1 0 的焦點為F，準線為l已知點C在l上，以C為圓心的圓與y軸的正半軸相切于點A若 SKIPIF 1 0 ，則圓的方程為_6（2019年高考浙江卷）如圖，

30、已知點 SKIPIF 1 0 為拋物線 SKIPIF 1 0 的焦點，過點F的直線交拋物線于A、B兩點，點C在拋物線上，使得 SKIPIF 1 0 的重心G在x軸上，直線AC交x軸于點Q，且Q在點F的右側(cè)記 SKIPIF 1 0 的面積分別為 SKIPIF 1 0 （1）求p的值及拋物線的準線方程；（2）求 SKIPIF 1 0 的最小值及此時點G的坐標7（2018年高考全國文數(shù)）設(shè)拋物線 SKIPIF 1 0 ，點 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，過點 SKIPIF 1 0 的直線 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 交于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF

31、 1 0 兩點（1）當 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 軸垂直時，求直線 SKIPIF 1 0 的方程；（2）證明： SKIPIF 1 0 8（2018年高考全國卷文數(shù)）設(shè)拋物線 SKIPIF 1 0 的焦點為 SKIPIF 1 0 ，過 SKIPIF 1 0 且斜率為 SKIPIF 1 0 的直線 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 交于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 兩點， SKIPIF 1 0 （1）求 SKIPIF 1 0 的方程；（2）求過點 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 且與 SKIPIF 1 0 的準線相切的圓的方程

32、9（2017年高考全國卷文數(shù)）設(shè)A，B為曲線C：y= SKIPIF 1 0 上兩點，A與B的橫坐標之和為4（1）求直線AB的斜率；（2）設(shè)M為曲線C上一點，C在M處的切線與直線AB平行，且AM SKIPIF 1 0 BM，求直線AB的方程變式拓展變式拓展1【答案】1【解析】由題意，拋物線 SKIPIF 1 0 ： SKIPIF 1 0 的焦點為 SKIPIF 1 0 ，準線方程為 SKIPIF 1 0 ，聯(lián)立方程得 SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 ，根據(jù)拋物線的定義可得 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 【名師點睛】本題主要考查了拋物線的定義、標準方程及其

33、簡單的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中聯(lián)立方程，求得點 SKIPIF 1 0 的坐標，合理利用拋物線的定義列出方程是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題2【答案】B【解析】依題意，設(shè)拋物線的方程為： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 準線方程為 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 拋物線的方程是 SKIPIF 1 0 故選B【名師點睛】本題考查了拋物線的定義，拋物線方程的求法，屬于基礎(chǔ)題.利用拋物線的性質(zhì)可知該拋物線的形式為： SKIPIF 1 0 ，依題意可求p的值，從而可得答案3【答案】B【解析】由直線 S

34、KIPIF 1 0 的傾斜角為 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 . SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 =2，故 SKIPIF 1 0 的面積為 SKIPIF 1 0 .故選B.【名師點睛】本題考查了拋物線的性質(zhì)，向量數(shù)量積，三角形面積公式，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題4【答案】B【解析】拋物線 SKIPIF 1 0 的準線方程是 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，故選B.【名師點睛】本題主要考查拋物線定義的應(yīng)用以及過焦點弦的弦長求法.依據(jù)拋物線的定義，可以求出點A，B到

35、準線距離，即可求得 SKIPIF 1 0 的長.5【答案】B【解析】如圖所示，利用拋物線的定義知： SKIPIF 1 0 ，當 SKIPIF 1 0 三點共線時， SKIPIF 1 0 的值最小，且最小值為 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 拋物線的準線方程： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 .本題正確選項為B.【名師點睛】本題考查線段距離之和的最值的求解，涉及拋物線定義、圓的性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠找到取得最值時的點的位置，從而利用拋物線和圓的性質(zhì)來進行求解.考點沖關(guān)考點沖關(guān)1【答案】A【解析】由拋物線方程可知：

36、 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 焦點坐標為： SKIPIF 1 0 .本題正確選項為A.【名師點睛】本題考查根據(jù)拋物線方程求解焦點坐標，屬于基礎(chǔ)題.2【答案】C【解析】若“ SKIPIF 1 0 ”，則 SKIPIF 1 0 中的 SKIPIF 1 0 ，所以“拋物線 SKIPIF 1 0 的焦點在 SKIPIF 1 0 軸正半軸上”成立，是充分條件；反之，若“拋物線 SKIPIF 1 0 的焦點在 SKIPIF 1 0 軸正半軸上”，則 SKIPIF 1 0 中的 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，則“ SKIPIF 1 0 ”成立，故是充分必要條件.故答

37、案為C.【名師點睛】(1)本題主要考查充要條件的判斷和拋物線的幾何性質(zhì)，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)判斷充要條件，首先必須分清誰是條件，誰是結(jié)論，然后利用定義法、轉(zhuǎn)換法和集合法來判斷.3【答案】B【解析】 SKIPIF 1 0 拋物線y24x， SKIPIF 1 0 ，由拋物線定義可知，拋物線上任一點到焦點的距離與到準線的距離是相等的， SKIPIF 1 0 ，即有 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 .故選B.【名師點睛】活用拋物線的定義是解決拋物線問題最基本的方法，拋物線上的點到焦點的距離，叫焦半徑.到焦點的距離常轉(zhuǎn)化為到準線的距離求解.4【答案】A【

38、解析】依題意 設(shè)圓的方程為：（xa）2+（yb）232，拋物線 SKIPIF 1 0 的焦點 SKIPIF 1 0 ，半徑為3的圓過拋物線 SKIPIF 1 0 的頂點O和焦點F，則圓心到點F的距離等于到準線的距離，所以 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 4，因此拋物線的方程為：y28x故選A.【名師點睛】本題考查了圓的標準方程和拋物線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題求解時，設(shè)出圓的標準方程，代入原點和焦點可解得p45【答案】C【解析】拋物線的準線方程為x= SKIPIF 1 0 ，當MQx軸時，|MQ|-|QF|取得最小值，此時|MQ|-|QF|=|2+3|-|2+ SKIPIF 1 0

39、 |= SKIPIF 1 0 .6【答案】D【解析】若 SKIPIF 1 0 ，即點 SKIPIF 1 0 在直線 SKIPIF 1 0 上，解得 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 的周長為 SKIPIF 1 0 ；若 SKIPIF 1 0 ，設(shè) SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 的周長為 SKIPIF 1 0 .故選D.【名師點睛】本題考查拋物線的性質(zhì).由題意可知，滿足要求的點有兩個，所以進行分類討論.本題的關(guān)鍵就是求出 SKIPIF 1 0 的坐標，求出周長，所以只

40、需設(shè)出 SKIPIF 1 0 的坐標，結(jié)合各自的等量關(guān)系，求坐標，得到周長.7【答案】A【解析】設(shè)直線AB的方程為y=x+b，代入 SKIPIF 1 0 得2x2+xb=0，x1+x2= SKIPIF 1 0 ，x1x2= SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 b=1，即AB的方程為y=x+1設(shè)AB的中點為M（x0，y0），則x0= SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 ，代入y0=x0+1，得y0= SKIPIF 1 0 又M（ SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ）在y=x+m上， SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 +mm= SKIPIF 1

41、0 故答案為A.【名師點睛】這是屬于圓錐曲線中的中點弦問題，可以聯(lián)立，由根與系數(shù)的關(guān)系得到中點坐標，代入已知直線.還有解決中點弦問題和對稱問題，可以利用點差法，由兩式作差直接得中點坐標和直線斜率的關(guān)系.8【答案】A【解析】設(shè) SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 得 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，因為 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，因此 SKIPIF 1 0 ，從而 SKIPIF 1 0 ，故選A.【名師點睛】本題考查向量數(shù)量積以及拋物線定義，考查基本分析求解能力，屬中檔題.求解時，設(shè)出 SKIPIF 1 0 坐標

42、，根據(jù)向量數(shù)量積以及拋物線定義化簡條件，即得結(jié)果.9【答案】B【解析】作出圖形如下圖所示，過點 SKIPIF 1 0 作 SKIPIF 1 0 ，垂足為 SKIPIF 1 0 .設(shè) SKIPIF 1 0 ，因為 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，由拋物線定義可知， SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 .四邊形 SKIPIF 1 0 的面積 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ，故拋物線 SKIPIF 1 0 的方程為 SKIPIF 1 0 .故選B.【名師點睛】本題考查拋物線的定義與方程，考查

43、運算求解能力、推理論證能力以及數(shù)形結(jié)合思想.10【答案】B【解析】由題意得拋物線的焦點為 SKIPIF 1 0 ，準線方程為 SKIPIF 1 0 ，如圖，設(shè)準線與y軸交于點 SKIPIF 1 0 ，過點 SKIPIF 1 0 作拋物線準線的垂線，垂足為 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ,直線 SKIPIF 1 0 的傾斜角為 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 又由 SKIPIF 1 0 得 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 設(shè) SKIPI

44、F 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，又點 SKIPIF 1 0 在第一象限， SKIPIF 1 0 ，即點 SKIPIF 1 0 到 SKIPIF 1 0 軸距離為 SKIPIF 1 0 故選B【名師點睛】本題考查拋物線定義的運用和平面幾何圖形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)平面圖形的性質(zhì)得到直線 SKIPIF 1 0 的傾斜角，進而得到參數(shù) SKIPIF 1 0 ，然后再根據(jù)定義進行轉(zhuǎn)化后可得所求距離，屬于中檔題11【答案】4【解析】由橢圓 SKIPIF 1 0 知， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以橢圓 SKIPIF

45、1 0 的右焦點坐標為 SKIPIF 1 0 ，又拋物線 SKIPIF 1 0 的焦點坐標為 SKIPIF 1 0 ，即有 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 .【名師點睛】本題主要考查拋物線和橢圓的性質(zhì)的應(yīng)用，由標準方程求焦點坐標.依據(jù)拋物線的性質(zhì)以及橢圓的性質(zhì)求出焦點坐標，由題意列出方程，即可求出.12【答案】10【解析】由拋物線的定義可得 SKIPIF 1 0 ，依據(jù)題設(shè)可得 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 （舍去負值），故 SKIPIF 1 0 ，應(yīng)填 SKIPIF 1 0 .13【答案】 SKIPIF 1 0 【解析】如圖， SKIPIF 1 0 ，

46、 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，解得： SKIPIF 1 0 ，故答案為 SKIPIF 1 0 【名師點睛】本題考查拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，拋物線與圓的方程的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題畫出圖形，利用勾股定理以及圓的半徑列出方程求解即得p的值.14【答案】2【解析】依題意得焦點F的坐標為(a4,0),設(shè)M在拋物線的準線上的射影為K,連接MK,由拋物線的定義知|MF|=|M

47、K|,因為|FM|MN|=13,所以|KN|KM|=221,又 SKIPIF 1 0 ,kFN=-|KN|KM|=-22,所以 SKIPIF 1 0 =22,解得a=2.15【答案】 SKIPIF 1 0 【解析】如圖所示，設(shè)拋物線的準線為 SKIPIF 1 0 ，作 SKIPIF 1 0 于點 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 于點 SKIPIF 1 0 ，由拋物線的定義可設(shè)： SKIPIF 1 0 ，由勾股定理可知： SKIPIF 1 0 ，由梯形中位線的性質(zhì)可得： SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ，當且僅當 SKIPIF 1 0 時等號成立.即 SKIPI

48、F 1 0 的最小值為 SKIPIF 1 0 .【名師點睛】本題主要考查拋物線的定義及其應(yīng)用，均值不等式求最值的方法等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.由題意結(jié)合拋物線的定義和均值不等式的結(jié)論整理計算即可求得最終結(jié)果.16【解析】（1）因為拋物線的準線方程為x=所以 SKIPIF 1 0 ，得p=2.所以拋物線的方程為 y2（2）設(shè)M(x因為點M(x0,由拋物線定義知 SKIPIF 1 0 ，得x0=2.由 SKIPIF 1 0 在拋物線上,滿足拋物線的方程y2=4x,知 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 的面積為 SKIPIF 1 0 .17【解析】（1）設(shè) SK

49、IPIF 1 0 ,則 SKIPIF 1 0 ,而 SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 .（2）當p=2時,拋物線方程為 SKIPIF 1 0 .若直線MN的斜率不存在,則B(3,0).若直線MN的斜率存在,設(shè)A(3,t)(t0),則由(1)知 SKIPIF 1 0 ，整理得 SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 ,即 SKIPIF 1 0 ,直線 SKIPIF 1 0 ,B點的橫坐標為 SKIPIF 1 0 ,由 SKIPIF 1 0 消去x得 SKIPIF 1 0得0t212, SKIPIF 1 0 (3,3). 綜上,點B的橫坐標的取值范圍

50、為 SKIPIF 1 0 .【名師點睛】本題主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的相關(guān)問題，意在考查學生理解能力、分析判斷能力以及綜合利用所學知識解決問題的能力和較強的運算求解能力，其常規(guī)思路是先把直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消元、化簡，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問題涉及弦中點的問題常常用“點差法”解決，往往會更簡單.在得到三角形的面積的表達式后，能否利用換元的方法，觀察出其中的函數(shù)背景成了完全解決問題的關(guān)鍵.18【解析】（1）由題意得F1（1，0）， SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，p=2，拋物線C2的方程為x2=4y.（2）設(shè)過點O的

51、直線為y=kx，聯(lián)立 SKIPIF 1 0 得（kx）2=4x，求得M（ SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ），聯(lián)立 SKIPIF 1 0 得N（4k，4k2）（k0），從而 SKIPIF 1 0 ，點P到直線MN的距離 SKIPIF 1 0 ，進而 SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 ，令 SKIPIF 1 0 ，則有SPMN=2（t2）（t+1），當t=2時k=1，取得最小值8即當直線為y=x，PMN的面積取得最小值8【名師點睛】本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，考查直線方程和拋物線的方程聯(lián)立，求交點，考查二次函數(shù)的最值的求法，考查運算能力，屬于中檔題求解時，（1）根據(jù)

52、 SKIPIF 1 0 為坐標原點），利用坐標運算即可求出 SKIPIF 1 0 ，寫出拋物線方程；（2）聯(lián)立直線與拋物線方程求出 SKIPIF 1 0 的坐標，寫出弦長，求出點 SKIPIF 1 0 到直線 SKIPIF 1 0 的距離，寫出面積，利用換元法求其最值即可.直通高考直通高考1【答案】D【解析】因為拋物線 SKIPIF 1 0 的焦點 SKIPIF 1 0 是橢圓 SKIPIF 1 0 的一個焦點，所以 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ，故選D【名師點睛】本題主要考查拋物線與橢圓的幾何性質(zhì)，滲透邏輯推理、運算能力素養(yǎng)解答時，利用拋物線與橢圓有共同的焦點即可列出

53、關(guān)于 SKIPIF 1 0 的方程，從而解出 SKIPIF 1 0 ，或者利用檢驗排除的方法，如 SKIPIF 1 0 時，拋物線焦點為（1，0），橢圓焦點為（2，0），排除A，同樣可排除B，C，從而得到選D2【答案】C【解析】方法一：由題知 SKIPIF 1 0 ，與拋物線 SKIPIF 1 0 聯(lián)立得 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，因為 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，因為 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 .所以 SKIPIF 1 0 到直線 SKIPIF 1 0 的距離為 SKIPIF 1 0

54、 .故選C.方法二：設(shè)直線 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 軸相交于點 SKIPIF 1 0 ，與直線 SKIPIF 1 0 相交于點 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，設(shè) SKIPIF 1 0 ，因為 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，解得： SKIPIF 1 0 ，設(shè) SKIPIF 1 0 ，由焦半徑公式得： SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，所以點 SKIPIF 1 0 到直線 SKIPIF 1 0 的距離為 SKIPIF 1 0

55、.故選A.【名師點睛】直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，一般轉(zhuǎn)化為直線方程與圓錐曲線方程組成的方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系或求根公式進行轉(zhuǎn)化，涉及弦長的問題中，應(yīng)熟練地利用根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)而不求法計算弦長；涉及垂直關(guān)系時也往往利用根與系數(shù)的關(guān)系、設(shè)而不求法簡化運算；涉及過焦點的弦的問題，可考慮用圓錐曲線的定義求解；涉及中點弦問題往往利用點差法.方法二中，能充分挖掘條件中的幾何性質(zhì)，能使運算量大大減少，節(jié)省運算時間.3【答案】 SKIPIF 1 0 【解析】拋物線y2=4x中，2p=4，p=2，焦點F（1，0），準線l的方程為x=1，以F為圓心，且與l相切的圓的方程為(x1)2+y2=22，即為 SKI

56、PIF 1 0 .【名師點睛】本題可采用數(shù)形結(jié)合法，只要畫出圖形，即可很容易求出結(jié)果.4【答案】 SKIPIF 1 0 【解析】由題意可得，點 SKIPIF 1 0 在拋物線上，將 SKIPIF 1 0 代入 SKIPIF 1 0 中，解得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，由拋物線方程可得： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 焦點坐標為 SKIPIF 1 0 .【名師點睛】此題考查拋物線的相關(guān)知識，屬于易得分題，關(guān)鍵在于能夠結(jié)合拋物線的對稱性質(zhì)，得到拋物線上點的坐標，再者熟練準確記憶拋物線的焦點坐標公式也是保證本題能夠得分的關(guān)鍵.根據(jù)題干描述畫出相應(yīng)圖形，分析可

57、得拋物線經(jīng)過點 SKIPIF 1 0 ，將點 SKIPIF 1 0 坐標代入可求參數(shù) SKIPIF 1 0 的值，進而可求焦點坐標.5【答案】 SKIPIF 1 0 【解析】由題可設(shè)圓心坐標為 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ，焦點 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ，由于圓 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 軸得正半軸相切，則 SKIPIF 1 0 ，所求圓的圓心為 SKIPIF 1 0 ，半徑為1，所求圓的方程為 SKIPIF 1 0 【名師點睛】本題設(shè)計比較巧妙，考查了圓、拋物線的方程，

58、同時還考查了向量數(shù)量積的坐標表示，本題只有一個難點，就是 SKIPIF 1 0 ，會不會用向量的數(shù)量積表示 SKIPIF 1 0 ，根據(jù)圖象，可設(shè)圓心為 SKIPIF 1 0 ，那么方程就是 SKIPIF 1 0 ，若能用向量的數(shù)量積表示角，即可求得 SKIPIF 1 0 ，問題也就迎刃而解了另外，本題也可通過解三角形求得 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，進而可得圓的方程6【答案】（1）p=2，準線方程為x=1；（2）最小值為 SKIPIF 1 0 ，此時G（2，0）【解析】（1）由題意得 SKIPIF 1 0 ，即p=2.所以，拋物線的準線方程為x=1.（2）設(shè) SKIPIF 1 0 ，重心 SKIPIF 1 0 .令 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 .由于直線AB過F，故直線AB方程為 SKIPIF 1 0 ，代入 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 .又由于 SKIPIF 1 0 及重心G在x軸上，故 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 .所以，直線AC方程為 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 .由于Q在焦點F的右側(cè)，故 SKIPIF 1 0 .從而 SKIPIF 1 0 .令