初中數(shù)學北師大九年級上冊 特殊平行四邊形中考模擬試題命題揭秘對教材習題的改造

1、對一個簡單的習題進行改造，使得一個知識點得以華，是目前中考的核心。近日我們學習了特殊的平行四邊形，今天我們就用平行四邊形中最特殊的圖形正方形為例，共同研究一個簡單題目如何華麗變幻的過程。基礎題型展示【例1】已知如圖四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點，AEF=900,且EF交正方形外角的平分線于點F。求證：AE=EF。分析已知條件，AEF=900（6+AEB=900，3+AEB=900，6=3）外角的平分線，（1=2=450）ECF=1350提出問題1：這是一道比較常見的題目，通過上面的分析，我們應該如何解答，又應該如何添加輔助線？提示：目前證明線段相等利用三角形全等是一條比較好的思路。

2、小組交流，聽取學生的意見。總結：在AB邊上截取AM=EC ，連接ME。出示課件點E是邊BC的中點EC=AM BM=BEBME=450, AME=1350又CF是正方形外角平分線。ECF=1350又AEF=900, AEB+FEC=900,AEB+BAE=900,BAE=FECAMEECFAE=EF提出問題2：這是一道最關鍵條件是？最關鍵思路是？【關鍵點】關鍵條件：外角平分線，AEF=900；關鍵思路：證明AMEECF這樣一道比較常見的題目，我們是可以對他進行改造，改造后我們通過本題的解法進行類比，找出改造后題目的正確思路和解法。下面進行改造展示改造一：變特殊為一般【例2】已知如圖四邊形ABCD

3、是正方形，點E是BC邊上任意一點，AEF=900,且EF交正方形外角的平分線CF于點F。求證：AE=EF.提出問題1：本題的已知條件與上題有什么不同（點E是BC邊上的中點變成了任意一點）？出示幾何畫板驗證AE=EF,改變點E在BC的位置，AE、EF始終相等，那么下面我們就用數(shù)學的語言對AE=EF進行證明。提出問題2：結合上題的解法，大膽的猜想一下本題的輔助線的作法？指定人回答。（在AB邊上截取AM,使AM=EC，連接ME。）簡單口述證明過程。通過此題的改造，我相信同學有了一些感覺，其實我們還可以對這個基礎題型進行改造，比如可以改變題目條件的呈現(xiàn)方式。點PPT，點幾何畫板。改造二：改變條件的呈現(xiàn)

4、方式【例3】已知如圖兩個全等的正方形的其中一邊CD完全重合，點M是BC邊的中點，連接AM,且AMN=900,交CE于N. 求證：CN=NE.提出問題1：和基礎題目進行比較，本題的改造點在哪里？指定人回答【改造點】將“外角平分線”這一條件呈現(xiàn)的方式改為“正方形的對角線”。（正方形有一個重要的性質(zhì)是對角線平分一組內(nèi)角）提出問題2：CN與NN在同一條直線上，要直接證明相等，不太可能，那么常規(guī)的思路是？（找相等的量進行轉化）假設CN=NE，那么CN=1/2CE；這是兩個全等的正方形，全等多邊形的對應線段相等有AC=CE，也就是說CN=1/2AC通過類比我們可以制造與MNC全等的，在AB邊上截取AP=E

5、C ，易證AMPMNC，把CN轉化到PM，這樣可以得到PM=1/2AC，所以CN=1/2AC，和我們的假設不謀而合，所以CN=NE。【關鍵點】證明AMEECF，PM是ABC的中位線，全等多邊形對應線段相等。【解析】取AB邊的中點P，連接ME,AC.ABCDEFMABCDEFMNPMC=AP BM=BPBPM=450, APE=1350又CE是正方形CDEF的對角線。MCE=1350又AMN=900, AMB+NMC=900, AMB+BAM=900,BAM=NMCAMPMNVPM=CN點P,M分別是AB,BC的中點，AC=2PM,CE=2CNCN=NE【改造點】將“外角平分線”這一條件呈現(xiàn)的方

6、式改為“正方形的對角線”。我們還可以進行改造三：改變問題呈現(xiàn)的背景【例4】（2023烏魯木齊）如圖，邊長為5的正方形OABC的頂點O在坐標原點處，點A,C分別在x軸，y軸的正半軸上，點E是OA邊上的點（不與點A重合），EFCE,且與正方形外角平分線AG交于點P，當點E坐標為（3,0）時，試證明：CE=EP.如果將上述條件“點E坐標（3，0）”改為“點E坐標為（t,0)(t0),結論CE=EP是否仍然成立？請說明理由。在y軸上是否存在點M，使得四邊形BMEP是平行四邊形？若存在，用t表示M的坐標；若不存在，請說明理由。提出問題1：通過對上面幾個題進行探討，第1小題會嗎？提出問題2：“點E坐標（3

7、，0）”改為“點E坐標為（t,0)(t0)可以換個說法嗎？（回答：可以說成點E是OA邊上任意一點，） 這個小題會做嗎？有一重要的定理：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可以過點B作EF的平行線，交y軸于點M，如果我們能證明BM=EF，你認為 四邊形BMEP是平行四邊形嗎？改造四：留其靈魂，換其軀殼【例5】（2023無錫）（1）如圖1，在正方形ABCD中，M是BC邊（不含端點B、C）上任意一點，P是BC延長線上一點，N是DCP的平分線上一點若AMN=90，求證：AM=MN下面給出一種證明的思路，你可以按這一思路證明，也可以選擇另外的方法證明證明：在邊AB上截取AE=MC，連ME正方形ABCD

8、中，B=BCD=90，AB=BCNMC=180AMNAMB=180BAMB=MAB=MAE（下面請你完成余下的證明過程）圖1圖1圖2（2）若將（1）中的“正方形ABCD”改為“正三角形ABC”（如圖2），N是ACP的平分線上一點，則當AMN=60時，結論AM=MN是否還成立？請說明理由（3）若將（1）中的“正方形ABCD”改為“正邊形ABCDX”，請你作出猜想：當AMN=時，結論AM=MN仍然成立（直接寫出答案，不需要證明）我們來認真回顧一下前面的題目，四邊形ABCD是正方形時，AMN=90；當三角形ABC是正三角形時，AMN=60；前面兩種情況AMN的度數(shù)都等于這個多邊形一個內(nèi)角的度數(shù)，那么我們是可以猜想當正五邊形ABCDE，AMN=108時，結論AM=MN仍然成立？下面我們就一起來分析一下?！窘馕觥拷猓海?）AE=MC，BE=BM， BEM=EMB=45， AEM=135， CN平分DCP，PCN=45，AEM=MCN=135在AEM和MCN中：AEMMCN，AM=MN（2）仍然成立在邊AB上截取AE=MC，連接MEABC是等邊三角形，AB=BC，B=ACB=60，AC