矢量的運(yùn)算法則課件

1、矢量的運(yùn)算法則1.加法: 矢量加法是矢量的幾何和,服從平行四邊形規(guī)則。a.滿足交換律：b.滿足結(jié)合律：矢量的運(yùn)算法則1.加法: 矢量加法是矢量的幾何和,服從平行四三個(gè)方向的單位矢量用 表示。根據(jù)矢量加法運(yùn)算：所以：在直角坐標(biāo)系下的矢量表示:其中：三個(gè)方向的單位矢量用 表示。根矢量：模的計(jì)算：單位矢量：方向角與方向余弦：在直角坐標(biāo)系中三個(gè)矢量加法運(yùn)算： 矢量：模的計(jì)算：單位矢量：方向角與方向余弦：在直角坐標(biāo)2.減法：換成加法運(yùn)算逆矢量： 和 的模相等，方向相反，互為逆矢量。在直角坐標(biāo)系中兩矢量的減法運(yùn)算： 推論：任意多個(gè)矢量首尾相連組成閉合多邊形，其矢量和必為零。2.減法：換成加法運(yùn)算逆矢量：

2、和 的模相等3.乘法：（1）標(biāo)量與矢量的乘積：方向不變，大小為|k|倍方向相反，大小為|k|倍（2）矢量與矢量乘積分兩種定義a. 標(biāo)量積（點(diǎn)積）：兩矢量的點(diǎn)積含義： 一矢量在另一矢量方向上的投影與另一矢量模的乘積，其結(jié)果是一標(biāo)量。3.乘法：（1）標(biāo)量與矢量的乘積：方向不變，大小為|k|倍方在直角坐標(biāo)系中，已知三個(gè)坐標(biāo)軸是相互正交的，即有兩矢量點(diǎn)積：結(jié)論: 兩矢量點(diǎn)積等于對(duì)應(yīng)分量的乘積之和。推論1：滿足交換律推論2：滿足分配律推論3：當(dāng)兩個(gè)非零矢量點(diǎn)積為零,則這兩個(gè)矢量必正交。在直角坐標(biāo)系中，已知三個(gè)坐標(biāo)軸是相互正交的，即有兩矢量點(diǎn)積：推論1：不服從交換律：推論2：服從分配律：推論3：不服從結(jié)合

3、律：推論4：當(dāng)兩個(gè)非零矢量叉積為零，則這兩個(gè)矢量必平行。b.矢量積（叉積）：含義： 兩矢量叉積，結(jié)果得一新矢量，其大小為這兩個(gè)矢量組成的平行四邊形的面積，方向?yàn)樵撁娴姆ň€方向，且三者符合右手螺旋法則。推論1：不服從交換律：推論2：服從分配律：推論3：不服從結(jié)合在直角坐標(biāo)系中，兩矢量的叉積運(yùn)算如下：兩矢量的叉積又可表示為：xyzo在直角坐標(biāo)系中，兩矢量的叉積運(yùn)算如下：兩矢量的叉積又可表示為（3）三重積：三個(gè)矢量相乘有以下幾種形式：矢量，標(biāo)量與矢量相乘。標(biāo)量，標(biāo)量三重積。矢量，矢量三重積。a. 標(biāo)量三重積法則：在矢量運(yùn)算中,先算叉積,后算點(diǎn)積。定義：含義： 標(biāo)量三重積結(jié)果為三矢量構(gòu)成的平行六面體的

4、體積 。（3）三重積：三個(gè)矢量相乘有以下幾種形式：矢量，標(biāo)量與矢量相注意：先后輪換次序。推論：三個(gè)非零矢量共面的條件。在直角坐標(biāo)系中：b.矢量三重積：注意：先后輪換次序。推論：三個(gè)非零矢量共面的條件。在直角坐標(biāo)例1：求：中的標(biāo)量 a、b、c。解：則：設(shè)例1：求：中的標(biāo)量 a、b、c。解：則：設(shè)例2： 已知求：確定垂直于 、 所在平面的單位矢量。解：已知所得矢量垂直于 、 所在平面。例2： 已知求：確定垂直于 、 所在平面的單位矢量已知A點(diǎn)和B點(diǎn)對(duì)于原點(diǎn)的位置矢量為 和 ，求：通過A點(diǎn)和B點(diǎn)的直線方程。例3： 其中：k 為任意實(shí)數(shù)。xyzCAB解：在通過A點(diǎn)和B點(diǎn)的直線方程上， 任取一點(diǎn)C，對(duì)于

5、原點(diǎn)的位置 矢量為 ，則已知A點(diǎn)和B點(diǎn)對(duì)于原點(diǎn)的位置矢量為 和 ，例3矢量微分元：線元、面元、體元例：其中： 和 稱為微分元。1. 直角坐標(biāo)系在直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)變量為(x,y,z)，如圖，做一微分體元。線元：面元：體元：矢量微分元：線元、面元、體元例：其中： 和 2. 圓柱坐標(biāo)系在圓柱坐標(biāo)系中，坐標(biāo)變量為 ，如圖，做一微分體元。線元：面元：體元：2. 圓柱坐標(biāo)系在圓柱坐標(biāo)系中，坐標(biāo)變量為 3. 球坐標(biāo)系在球坐標(biāo)系中，坐標(biāo)變量為 ，如圖，做一微分體元。線元：面元：體元：3. 球坐標(biāo)系在球坐標(biāo)系中，坐標(biāo)變量為 ，在柱坐標(biāo)系中：在球坐標(biāo)系中：在任意正交曲線坐標(biāo)系中：在不同的坐標(biāo)系中，梯度的計(jì)算公式：在直角坐標(biāo)系中：在柱坐標(biāo)系中：在球坐標(biāo)系中：在任意正交曲線坐標(biāo)系中：在不同的柱坐標(biāo)系中：球坐標(biāo)系中：正交曲線坐標(biāo)系中：直角坐標(biāo)系中：常用坐標(biāo)系中，散度的計(jì)算公式柱坐標(biāo)系中：球坐標(biāo)系中：正交曲線坐標(biāo)系中：直角坐標(biāo)系中：常用為了便于記憶，將旋度的計(jì)算公式寫成下列形式:類似地，可以推導(dǎo)出在廣義正交坐標(biāo)系中旋度的計(jì)算公式：旋度公式：為了便于記憶，將旋度的計(jì)算公式寫成下列形式:類似地，可以推導(dǎo)重要的場(chǎng)論公式1. 兩個(gè)零恒等式 任何標(biāo)量場(chǎng)梯度的旋度恒為零。 任何矢量場(chǎng)的旋度的散度恒為零。 重要的場(chǎng)論公式1. 兩個(gè)零恒等式 任何標(biāo)量場(chǎng)梯度的旋度恒為零在圓柱坐標(biāo)系中：