2023高考福建理科數(shù)學(xué)試題及答案(高清版)

1、2023年普通高等學(xué)校夏季招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)理工農(nóng)醫(yī)類(福建卷)本試卷分第一卷(選擇題)和第二卷(非選擇題)兩局部理科：第二卷第21題為選考題，其他題為必考題，總分值150分第一卷一、選擇題：(理科)本大題共10小題，每題5分，共50分在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的(文科)本大題共12小題，每題5分，共60分在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的1假設(shè)復(fù)數(shù)z滿足zi1i，那么z等于()A1i B1i C1i D1iA34i B54i C32i D52i2等差數(shù)列an中，a1a510，a47，那么數(shù)列an的公差為()A1 B2 C3 D43以下命題中，真

2、命題是()Ax0R，BxR，2xx2Cab0的充要條件是Da1，b1是ab1的充分條件4一個(gè)幾何體的三視圖形狀都相同、大小均相等，那么這個(gè)幾何體不可以是()A球 B三棱錐 C正方體 D圓柱5以下不等式一定成立的是()Alg(x2)lgx(x0)Bsinx2(xk，kZ)Cx212|x|(xR)D(xR)6如下圖，在邊長為1的正方形OABC中任取一點(diǎn)P，那么點(diǎn)P恰好取自陰影局部的概率為()A BC D7設(shè)函數(shù)那么以下結(jié)論錯(cuò)誤的是()AD(x)的值域?yàn)?,1 BD(x)是偶函數(shù)CD(x)不是周期函數(shù)DD(x)不是單調(diào)函數(shù)8雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線y212x的焦點(diǎn)重合，那么該雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距

3、離等于()A BC3 D59假設(shè)函數(shù)y2x圖象上存在點(diǎn)(x，y)滿足約束條件那么實(shí)數(shù)m的最大值為()A B1 C D210函數(shù)f(x)在a，b上有定義，假設(shè)對(duì)任意x1，x2a，b，有，那么稱f(x)在a，b上具有性質(zhì)P設(shè)f(x)在1,3上具有性質(zhì)P，現(xiàn)給出如下命題：f(x)在1,3上的圖象是連續(xù)不斷的；f(x2)在1，上具有性質(zhì)P；假設(shè)f(x)在x2處取得最大值1，那么f(x)1，x1,3；對(duì)任意x1，x2，x3，x41,3，有f(x1)f(x2)f(x3)f(x4)其中真命題的序號(hào)是()A B C D第二卷二、填空題：(理科)本大題共5小題，每題4分，共20分把答案填在答題卡的相應(yīng)位置(文科

4、)本大題共4小題，每題4分，共16分把答案填在答題卡的相應(yīng)位置11(ax)4的展開式中x3的系數(shù)等于8，那么實(shí)數(shù)a_12閱讀右圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出的s值等于_13ABC的三邊長成公比為的等比數(shù)列，那么其最大角的余弦值為_14數(shù)列an的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和為Sn，那么S2023_15對(duì)于實(shí)數(shù)a和b，定義運(yùn)算“*：設(shè)f(x)(2x1)*(x1)，且關(guān)于x的方程f(x)m(mR)恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2，x3，那么x1x2x3的取值范圍是_三、解答題：(理科)本大題共6小題，共80分解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟(文科)本大題共6小題，共74分解容許寫出文字說明、證

5、明過程或演算步驟16受轎車在保修期內(nèi)維修費(fèi)等因素的影響，企業(yè)生產(chǎn)每輛轎車的利潤與該轎車首次出現(xiàn)故障的時(shí)間有關(guān)某轎車制造廠生產(chǎn)甲、乙兩種品牌轎車，保修期均為2年現(xiàn)從該廠已售出的兩種品牌轎車中各隨機(jī)抽取50輛，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：品牌甲乙首次出現(xiàn)故障時(shí)間x(年)0 x11x2x20 x2x2轎車數(shù)量(輛)2345545每輛利潤(萬元)1231.82.9將頻率視為概率，解答以下問題：(1)從該廠生產(chǎn)的甲品牌轎車中隨機(jī)抽取一輛，求其首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率；(2)假設(shè)該廠生產(chǎn)的轎車均能售出，記生產(chǎn)一輛甲品牌轎車的利潤為X1，生產(chǎn)一輛乙品牌轎車的利潤為X2，分別求X1，X2的分布列；(3)該廠預(yù)計(jì)今后

6、這兩種品牌轎車銷量相當(dāng)，由于資金限制，只能生產(chǎn)其中一種品牌的轎車假設(shè)從經(jīng)濟(jì)效益的角度考慮，你認(rèn)為應(yīng)生產(chǎn)哪種品牌的轎車？說明理由17某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù)：sin213cos217sin13cos17；sin215cos215sin15cos15；sin218cos212sin18cos12；sin2(18)cos248sin(18)cos48；sin2(25)cos255sin(25)cos55(1)試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù)；(2)根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論18如圖，在長方體ABCDA1B1C1D

7、1中，AA1AD1，E為CD中點(diǎn)(1)求證：B1EAD1(2)在棱AA1上是否存在一點(diǎn)P，使得DP平面B1AE？假設(shè)存在，求AP的長；假設(shè)不存在，說明理由(3)假設(shè)二面角AB1EA1的大小為30，求AB的長19如圖，橢圓E：(ab0)的左焦點(diǎn)為F1，右焦點(diǎn)為F2，離心率過F1的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且ABF2的周長為8(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)動(dòng)直線l：ykxm與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，且與直線x4相交于點(diǎn)Q試探究：在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)M，使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)M？假設(shè)存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，說明理由20函數(shù)f(x)exax2ex，aR(1)假設(shè)曲線yf(x)在點(diǎn)(

8、1，f(1)處的切線平行于x軸，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)試確定a的取值范圍，使得曲線yf(x)上存在唯一的點(diǎn)P，曲線在該點(diǎn)處的切線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)P21(1)選修42：矩陣與變換設(shè)曲線2x22xyy21在矩陣(a0)對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的曲線為x2y21求實(shí)數(shù)a，b的值；求A2的逆矩陣(2)選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系直線l上兩點(diǎn)M，N的極坐標(biāo)分別為(2,0)，圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù))設(shè)P為線段MN的中點(diǎn)，求直線OP的平面直角坐標(biāo)方程；判斷直線l與圓C的位置關(guān)系(3)選修45：不等式選講函數(shù)f(x)m|x2|，m

9、R，且f(x2)0的解集為1,1求m的值；假設(shè)a，b，cR，且，求證：a2b3c922(文)函數(shù)f(x)axsinx(aR)，且在0，上的最大值為(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)判斷函數(shù)f(x)在(0，)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并加以證明1A由zi1i，得2Ba1a5102a3，a35故da4a37523Da10，b10，由不等式的性質(zhì)得ab1，即a1，b1ab14D圓柱的三視圖中有兩個(gè)矩形和一個(gè)圓，這個(gè)幾何體不可以是圓柱5Cx212|x|x22|x|10，當(dāng)x0時(shí)，x22|x|1x22x1(x1)20成立；當(dāng)x0時(shí)，x22|x|1x22x1(x1)20成立故x212|x|(xR)一定成立6C由圖象

10、知陰影局部的面積是，所求概率為7CD(x)是最小正周期不確定的周期函數(shù)，D(x)不是周期函數(shù)是錯(cuò)誤的8A由雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線y212x的焦點(diǎn)重合，知，c294b2，于是b25，因此該雙曲線的漸近線的方程為，即故該雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為9B由約束條件作出其可行域如下圖：由圖可知當(dāng)直線xm經(jīng)過函數(shù)y2x的圖象與直線xy30的交點(diǎn)P時(shí)取得最大值，即得2x3x，即x1m10D如圖1，圖1在區(qū)間1,3上f(x)具有性質(zhì)P，但是是間斷的，故錯(cuò)可設(shè)f(x)|x2|(如圖2)，當(dāng)x1,3時(shí)易知其具有性質(zhì)P，但是f(x2)|x22|不具有性質(zhì)P(如圖3)故錯(cuò)圖2圖3任取x01,3，那么4x01,3，

11、1f(2)f(x0)f(4x0)又f(x0)1，f(4x0)1，f(x0)f(4x0)1f(x0)f(4x0)1故正確f(x1)f(x2)f(x3)f(x4)，故正確11答案：2解析：Tr1arx4r，當(dāng)4r3，即r1時(shí)，T2ax34ax38x3故a212答案：3解析：(1)k1,14，s2111；(2)k2,24，s2120；(3)k3,34，s2033；(4)k4，直接輸出s313答案：解析：設(shè)ABC的最小邊長為a(m0)，那么其余兩邊長為，2a，故最大角的余弦值是14答案：3018解析：函數(shù)的周期，可用分組求和法：a1a5a2023；a2a6a2023(21)(61)(20231)152

12、0235031005；a3a7a2023；a4a8a2023(41)(81)(20231)5031009；故S202350350310055035031009503(1100511009)301815答案：(，0)解析：由，得作出其圖象如圖，結(jié)合圖象可知m的取值范圍為0m，當(dāng)x0時(shí)，有x2xm，即x2xm0，于是x1x2m當(dāng)x0時(shí)，有2x2xm0，于是故設(shè)h(m)m(1)，h(m)(1)m()，函數(shù)h(m)單調(diào)遞減故x1x2x3的取值范圍為(，0)16解：(1)設(shè)“甲品牌轎車首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)為事件A，那么(2)依題意得，X1的分布列為X1123PX2的分布列為X21.82.9P(3)

13、由(2)得，E(X1)1232.86(萬元)，E(X2)1.82.92.79(萬元)因?yàn)镋(X1)E(X2)，所以應(yīng)生產(chǎn)甲品牌轎車17解：方法一：(1)選擇式，計(jì)算如下：sin215cos215sin15cos151sin30(2)三角恒等式為sin2cos2(30)sincos(30)證明如下：sin2cos2(30)sincos(30)sin2(cos30cossin30sin)2sin(cos30cossin30sin)sin2cos2sincossin2sincossin2sin2cos2方法二：(1)同方法一(2)三角恒等式為sin2cos2(30)sincos(30)證明如下：si

14、n2cos2(30)sincos(30)sin(cos30cossin30sin)cos2(cos60cos2sin60sin2)sincossin2cos2cos2sin2sin2(1cos2)18解：(1)以A為原點(diǎn)，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)設(shè)ABa，那么A(0,0,0)，D(0,1，0)，D1(0,1,1)，E(，1,0)，B1(a,0,1)，故(0,1,1)，(，1，1)，(a,0,1)，(，1,0)011(1)10，B1EAD1(2)假設(shè)在棱AA1上存在一點(diǎn)P(0,0，z0)，使得DP平面B1AE此時(shí)(0，1，z0)又設(shè)平面B1AE的法向量n(x

15、，y，z)n平面B1AE，n，n，得取x1，得平面B1AE的一個(gè)法向量n(1，a)要使DP平面B1AE，只要n，有az00，解得又DP平面B1AE，存在點(diǎn)P，滿足DP平面B1AE，此時(shí)(3)連接A1D，B1C，由長方體ABCDA1B1C1D1及AA1AD1，得AD1A1DB1CA1D，AD1B1C又由()知B1EAD1，且B1CB1EB1，AD1平面DCB1A1是平面A1B1E的一個(gè)法向量，此時(shí)(0,1,1)設(shè)與n所成的角為，那么二面角AB1EA1的大小為30，|cos|cos30，即，解得a2，即AB的長為219解：方法一：(1)因?yàn)閨AB|AF2|BF2|8，即|AF1|F1B|AF2|B

16、F2|8，又|AF1|AF2|BF1|BF2|2a，所以4a8，a2又因?yàn)?，即，所以c1所以故橢圓E的方程是(2)由得(4k23)x28kmx4m2120因?yàn)閯?dòng)直線l與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P(x0，y0)，所以m0且0，即64k2m24(4k23)(4m212)0，化簡得4k2m230(*)此時(shí)，y0kx0m，所以P(，)由得Q(4,4km)假設(shè)平面內(nèi)存在定點(diǎn)M滿足條件，由圖形對(duì)稱性知，點(diǎn)M必在x軸上設(shè)M(x1,0)，那么對(duì)滿足(*)式的m，k恒成立因?yàn)?，)，(4x1,4km)，由，得，整理，得(4x14)x124x130(*)由于(*)式對(duì)滿足(*)式的m，k恒成立，所以解得x11故存

17、在定點(diǎn)M(1,0)，使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)M方法二：(1)同方法一(2)由得(4k23)x28kmx4m2120因?yàn)閯?dòng)直線l與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P(x0，y0)，所以m0且0，即64k2m24(4k23)(4m212)0，化簡得4k2m230(*)此時(shí)，y0kx0m，所以P(，)由得Q(4,4km)假設(shè)平面內(nèi)存在定點(diǎn)M滿足條件，由圖形對(duì)稱性知，點(diǎn)M必在x軸上取k0，此時(shí)P(0，)，Q(4，)，以PQ為直徑的圓為(x2)2(y)24，交x軸于點(diǎn)M1(1,0)，M2(3,0)；取，m2，此時(shí)P(1，)，Q(4,0)，以PQ為直徑的圓為，交x軸于點(diǎn)M3(1,0)，M4(4,0)所以假設(shè)符合

18、條件的點(diǎn)M存在，那么M的坐標(biāo)必為(1,0)以下證明M(1,0)就是滿足條件的點(diǎn)：因?yàn)镸的坐標(biāo)為(1,0)，所以(，)，(3,4km)，從而，故恒有，即存在定點(diǎn)M(1,0)，使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)M20解：(1)由于f(x)ex2axe，曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處切線斜率k2a0，所以a0，即f(x)exex此時(shí)f(x)exe，由f(x)0得x1當(dāng)x(，1)時(shí)，有f(x)0；當(dāng)x(1，)時(shí)，有f(x)0所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(，1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(1，)(2)設(shè)點(diǎn)P(x0，f(x0)，曲線yf(x)在點(diǎn)P處的切線方程為yf(x0)(xx0)f(x0)，令g(x)f(x)f(x

19、0)(xx0)f(x0)，故曲線yf(x)在點(diǎn)P處的切線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)P等價(jià)于函數(shù)g(x)有唯一零點(diǎn)因?yàn)間(x0)0，且g(x)f(x)f(x0)exex02a(xx0)(1)假設(shè)a0，當(dāng)xx0時(shí)，g(x)0，那么xx0時(shí)，g(x)g(x0)0；當(dāng)xx0時(shí)，g(x)0，那么xx0時(shí)，g(x)g(x0)0故g(x)只有唯一零點(diǎn)xx0由P的任意性，a0不合題意(2)假設(shè)a0，令h(x)exex02a(xx0)，那么h(x0)0，h(x)ex2a令h(x)0，得xln(2a)，記xln(2a)，那么當(dāng)x(，x*)時(shí)，h(x)0，從而h(x)在(，x*)內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)x(x*，)時(shí)，h(x)0，從而h(x)在(x*，)內(nèi)單調(diào)遞增假設(shè)x0 x*，由x(，x*)時(shí)，g(x)h(x)h(x*)0；x(x*，)時(shí)，g(x)h(x)h(x*)0，知g(x)在R上單調(diào)遞增所以函數(shù)g(x)在R上有且只有一個(gè)零點(diǎn)xx*假設(shè)x0 x*，由于h(x)在(x*，)內(nèi)單調(diào)遞增，且h(x0)0，那么當(dāng)x(x*，x0)時(shí)有g(shù)(x)h(x)h(x0)0，g(x)g(x0)0；任取x1(x*，x0)有g(shù)(x1)0又當(dāng)x(，x1)時(shí)，易知g(x)exax2ef(x0)xf(x0)x