復變函數(shù)與積分變換課件：2-3 初等函數(shù)

1、2.3 初等函數(shù)一、指數(shù)函數(shù)二、對數(shù)函數(shù)三、冪函數(shù)四、三角函數(shù)五、反三角函數(shù)六、雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù) 復變函數(shù)中的初等函數(shù)是實數(shù)域中初等函數(shù)的推廣，它們兩者是一樣的。2.3 初等函數(shù)的定義方式盡可能保持一致。 本節(jié)主要從下面幾個方面來討論復變函數(shù)中的初等函數(shù)：映射關系等等。定義、定義域、運算法則、連續(xù)性、解析性、單值性以及特別是當自變量取實值時，特別要注意與實初等函數(shù)的區(qū)別。一、指數(shù)函數(shù)對于復數(shù)稱定義為指數(shù)函數(shù) ,記為 或注(1) 指數(shù)函數(shù)是初等函數(shù)中最重要的函數(shù)，其余的初等函數(shù)都通過指數(shù)函數(shù)來定義。(2) 借助歐拉公式，指數(shù)函數(shù)可以這樣來記憶：(3) 但事實上，從定義本身來看， 應理解為僅僅

2、是一種記號或者規(guī)定，僅僅作為代替 的符號使用。 P41定義 2.5 一、指數(shù)函數(shù)性質(1) 是單值函數(shù)。事實上，對于給定的復數(shù)定義中的 均為單值函數(shù)。事實上，在無窮遠點有(2) 除無窮遠點外，處處有定義。當 時，當 時，(3)因為性質事實上，由 有(6) 是以 為周期的周期函數(shù)。事實上，一、指數(shù)函數(shù)(w)(z)yxwyvu(w)一、指數(shù)函數(shù)(7) 映射關系：性質由有由 z 的實部得到 w 的模；由 z 的虛部得到 w 的輻角。xzy二、對數(shù)函數(shù) 對數(shù)函數(shù)定義為指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)。記作即滿足方程的函數(shù)稱為對數(shù)函數(shù)，定義計算令由有由 z 的模得到 w 的實部 ；由 z 的輻角得到 w 的虛部 。 P

3、43定義 2.6 二、對數(shù)函數(shù) 顯然對數(shù)函數(shù)為多值函數(shù)。主值(枝)稱為的主值(枝)，記為故有分支(枝)特別地，當 時, 的主值 就是實對數(shù)函數(shù)。對于任意一個固定的 k，稱 為 的一個分支(枝)。二、對數(shù)函數(shù)性質在原點無定義，故它的定義域為(1)(2)的各分支在除去原點及負實軸的復平面內(nèi)連續(xù)；在除去原點及負實軸的平面內(nèi)連續(xù)。特別地，注意到，函數(shù)在原點及負實軸上不連續(xù)。注意到，函數(shù)在原點無定義；或者指數(shù)函數(shù)由反函數(shù)求導法則可得進一步有(在集合意義下)二、對數(shù)函數(shù)性質(3)的各分支在除去原點及負實軸的復平面內(nèi)解析；在除去原點及負實軸的平面內(nèi)解析。特別地，主值 解(1)(2)主值 解主值 求對數(shù) 以及

4、它的主值。例 可見，在復數(shù)域內(nèi)，負實數(shù)是可以求對數(shù)的。 P43 例2.11 解主值 求對數(shù) 以及它的主值。例在實數(shù)范圍內(nèi)在復數(shù)范圍內(nèi) 可見，當 z 為正實數(shù)時， 與實對數(shù)函數(shù)是一致的。例求下列函數(shù)的導數(shù)。(2)(1)解(1)(2)其中， (如圖)。 其中， (如圖)。 三、冪函數(shù)稱為復變量 z 的冪函數(shù)。 還規(guī)定：當 a 為正實數(shù)，且 時， ( 為復常數(shù)， )定義函數(shù) 規(guī)定為注意上面利用指數(shù)函數(shù)以一種“規(guī)定”的方式定義了冪函數(shù)，但不要將這種“規(guī)定”方式反過來作用于指數(shù)函數(shù)，?即 P45定義 2.7 討論此時， 處處解析，且當 為正整數(shù)時, (單值)(1)此時， 除原點外處處解析，且當 為負整數(shù)

5、時, (2)(單值)當 時, (3)三、冪函數(shù)討論其中，m 與 n 為互質的整數(shù)，且 (5) 當 為無理數(shù)或復數(shù)( )時，當 為有理數(shù)時, (4)( 值)n此時， 除原點與負實軸外處處解析，一般為無窮多值。此時， 除原點與負實軸外處處解析。且三、冪函數(shù)解 可見， 是正實數(shù)，它的主值是例求 的值。求 的值。例解 可見，不要想當然地認為P46 四、三角函數(shù)啟示由歐拉公式有余弦函數(shù)正弦函數(shù)定義 P47定義 2.8 四、三角函數(shù)性質 周期性、可導性、奇偶性、零點等與實函數(shù)一樣； 各種三角公式以及求導公式可以照搬； 有界性(即 )不成立。(略) 例求根據(jù)定義，有解例求根據(jù)定義，有解五、反三角函數(shù)記為如果定義則稱 w 為復變量 z 的反余弦函數(shù)，計算由 同理可得 P49定義 2.9 六、雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)雙曲正切函數(shù)