北京市海淀區(qū)八一學(xué)校2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題含解析

1、PAGE 北京市海淀區(qū)八一學(xué)校2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題（含解析）一、選擇題(共10小題，每小題4分，共40分).1若集合Ax|1x3，Bx|1x2，則AB（）Ax|1x3Bx|1x1Cx|1x2Dx|2x32下列函數(shù)中，值域?yàn)?，+）的是（）Ay2xBCytanxDycosx3實(shí)數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)如圖所示，則下列式子中正確的是（）Aa+cb+cBacbcCacbcD4已知a32，blog0.42，clog23，則（）AabcBacbCbcaDcab5已知f（x）是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f（x）logx，則f（x）0的解集是（）A（1，0）B（0，1）C（，1

2、）（0，1）D（1，0）（0，1）6某學(xué)習(xí)小組有3名男生和2名女生，現(xiàn)從該小組中先后隨機(jī)抽取兩名同學(xué)進(jìn)行成果展示，則在抽到第1個(gè)同學(xué)是男生的條件下，抽到第2個(gè)同學(xué)也是男生的概率為（）ABCD7“l(fā)nalnb”是“3a3b”的（）A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件8已知曲線：y2xx2+y21yx3x2y21上述四條曲線中，滿足：“若曲線與直線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則他們必相切”的曲線條數(shù)是（）A1B2C3D49已知函數(shù)f（x）給出下列三個(gè)結(jié)論：當(dāng)a2時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（，1）；若函數(shù)f（x）無最小值，則a的取值范圍為（0，+）；若a1且a0，則

3、bR，使得函數(shù)yf（x）b恰有3個(gè)零點(diǎn)x1，x2，x3，且x1x2x31其中，所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A0B1C2D310已知函數(shù)f（x）在定義域（0+）上是單調(diào)函數(shù)，若對于任意x（0，+），都有f（f（x）2，則f（）的值是（）A5B6C7D8二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分.11已知函數(shù)f（x），那么f（f（2） 12（2x+）4的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為 13小明計(jì)劃周六去長沙參加會(huì)議，有飛機(jī)和火車兩種交通工具可供選擇，它們能準(zhǔn)時(shí)到達(dá)的概率分別為0.95、0.8，若當(dāng)天天晴則乘飛機(jī)，否則乘火車，天氣預(yù)報(bào)顯示當(dāng)天天晴的概率為0.8則小明能準(zhǔn)時(shí)到達(dá)的概率為 ；若小明當(dāng)天準(zhǔn)時(shí)到達(dá)，則

4、他是乘火車去的概率為 （結(jié)果保留兩位小數(shù)）14不等式的解集為 15已知集合Aa1，a2，an，nN*且n2，令TAx|xai+aj，aiA，ajA，1ijn，card（TA）表示集合TA中元素的個(gè)數(shù)若A2，4，8，16，則card（TA） ；若ai+1aic（1in1，c為非零常數(shù)），則card（TA） 三、解答題：本大題共4小題，共40分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一球，約定甲先投且先投中者獲勝，一直到有人獲勝或每人都已投球3次時(shí)投籃結(jié)束設(shè)甲每次投籃投中的概率為，乙每次投籃投中的概率為，且各次投籃互不影響（）求甲獲勝的概率；（）求投籃結(jié)束時(shí)甲的

5、投球次數(shù)的分布列和期望17已知函數(shù)f（x）x33x2，g（x）ax24（1）求函數(shù)f（x）的極值；（2）若對任意的x0，+），都有f（x）g（x），求實(shí)數(shù)a的取值范圍18某社區(qū)超市購進(jìn)了A，B，C，D四種新產(chǎn)品，為了解新產(chǎn)品的銷售情況，該超市隨機(jī)調(diào)查了15位顧客（記為ai，i1，2，3，15）購買這四種新產(chǎn)品的情況，記錄如下（單位：件）：顧客產(chǎn)品a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12a13a14a15A11111B11111111C1111111D111111（）若該超市每天的客流量約為300人次，一個(gè)月按30天計(jì)算，試估計(jì)產(chǎn)品A的月銷售量（單位：件）；（）為推廣新產(chǎn)品，超市向

6、購買兩種以上（含兩種）新產(chǎn)品的顧客贈(zèng)送2元電子紅包現(xiàn)有甲、乙、丙三人在該超市購物，記他們獲得的電子紅包的總金額為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（）若某顧客已選中產(chǎn)品B，為提高超市銷售業(yè)績，應(yīng)該向其推薦哪種新產(chǎn)品？（結(jié)果不需要證明）19已知函數(shù)f（x）x2alnxx，其中常數(shù)a0（）若函數(shù)f（x）為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的最大值；（）如果函數(shù)f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合愿要求的.1若集合Ax|1x3，Bx|1x2，則AB（）Ax|1x3Bx|1x1Cx|1x2Dx|2x3解：集合Ax

7、|1x3，Bx|1x2，ABx|1x2故選：C2下列函數(shù)中，值域?yàn)?，+）的是（）Ay2xBCytanxDycosx解：A，y2x的值域?yàn)椋?，+），故A錯(cuò)B，y的定義域?yàn)?，+），值域也是0，+），故B正確 C，ytanx的值域?yàn)椋ǎ?），故C錯(cuò) D，ycosx的值域?yàn)?，+1，故D錯(cuò)故選：B3實(shí)數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)如圖所示，則下列式子中正確的是（）Aa+cb+cBacbcCacbcD解：由數(shù)軸可以看出ab0c對于A，ab，a+cb+c，故A正確；對于B，ab，acbc，故B錯(cuò)誤；對于C，ab，c0，acbc，故C錯(cuò)誤；對于D，ab0c，0，故D錯(cuò)誤故選：A4已知a32，blog0.

8、42，clog23，則（）AabcBacbCbcaDcab解：0321，log0.42log0.410，log23log221，cab故選：D5已知f（x）是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f（x）logx，則f（x）0的解集是（）A（1，0）B（0，1）C（，1）（0，1）D（1，0）（0，1）解：因?yàn)閒（x）是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f（x）logx，當(dāng)x0時(shí)，x0，則f（x）f（x）log（x），所以f（x）log（x），又f（0）0，則由f（x）0可得，或，解可得0 x1或x1故選：C6某學(xué)習(xí)小組有3名男生和2名女生，現(xiàn)從該小組中先后隨機(jī)抽取兩名同學(xué)進(jìn)行成果展示，則在抽到第1個(gè)同學(xué)是男生的條件

9、下，抽到第2個(gè)同學(xué)也是男生的概率為（）ABCD解：某學(xué)習(xí)小組有3名男生和2名女生，現(xiàn)從該小組中先后隨機(jī)抽取兩名同學(xué)進(jìn)行成果展示，設(shè)事件A表示“抽到的第1個(gè)同學(xué)是男生”，事件B表示“抽到的第2個(gè)同學(xué)也是男生”，則P（A），P（AB），則在抽到第1個(gè)同學(xué)是男生的條件下，抽到第2個(gè)同學(xué)也是男生的概率：P（B|A）故選：C7“l(fā)nalnb”是“3a3b”的（）A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件解：“3a3b”“ab”，“l(fā)nalnb”“ab0”，“ab0”是“ab”的充分而不必要條件，故“l(fā)nalnb”是“3a3b”的充分而不必要條件，故選：A8已知曲線：y2xx

10、2+y21yx3x2y21上述四條曲線中，滿足：“若曲線與直線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則他們必相切”的曲線條數(shù)是（）A1B2C3D4解：當(dāng)直線和拋物線y2x對稱軸平行時(shí)，曲線與直線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，但此時(shí)直線不是切線，故錯(cuò)誤，當(dāng)直線和圓x2+y21只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線與圓相切，故正確，當(dāng)直線和x軸平行時(shí)，直線和yx3只有一個(gè)交點(diǎn)，但此時(shí)直線和曲線不相切，故錯(cuò)誤，當(dāng)直線和雙曲線x2y21的漸近線平行時(shí)，直線和雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)，但此時(shí)直線和雙曲線不相切，故錯(cuò)誤，故正確的只有，故選：A9已知函數(shù)f（x）給出下列三個(gè)結(jié)論：當(dāng)a2時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（，1）；若函數(shù)f（x）無最小值，則a的取

11、值范圍為（0，+）；若a1且a0，則bR，使得函數(shù)yf（x）b恰有3個(gè)零點(diǎn)x1，x2，x3，且x1x2x31其中，所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A0B1C2D3解：對于：當(dāng)a2時(shí)，由0e21，f（0）1f（e2）|lne2|2，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（，1）上不單調(diào)遞減，故錯(cuò)誤；對于：若函數(shù)可轉(zhuǎn)換為，畫出函數(shù)的圖象，如圖所示：所以函數(shù)f（x）無最小值，則a的取值范圍為（0，+）故正確對于令yf（x）b0，結(jié)合函數(shù)我的圖象，不妨設(shè)x10 x21x3，則ax1+1lnx2lnx3b，所以，所以，令1，即ba+1，當(dāng)a0時(shí)，ba+11，故yf（x）b0有三個(gè)零點(diǎn)，且x1x2x31，符合題意，當(dāng)0a1時(shí)，0

12、ba+11，故yf（x）b0有三個(gè)零點(diǎn)，且x1x2x31，符合題意，故正確故正確答案為：，故選：C10已知函數(shù)f（x）在定義域（0+）上是單調(diào)函數(shù)，若對于任意x（0，+），都有f（f（x）2，則f（）的值是（）A5B6C7D8解：函數(shù)f（x）在定義域（0，+）上是單調(diào)函數(shù)，且f（f（x）2，f（x）為一個(gè)常數(shù)，令這個(gè)常數(shù)為n，則有f（x）n，f（n）2，由得 f（x）n+，代入，得2，解得n1，因此f（x）1+，所以f（）6故選：B二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分.11已知函數(shù)f（x），那么f（f（2）8解：根據(jù)題意，函數(shù)f（x），則f（2）2，則f（f（2）f（2）22248

13、，故答案為：812（2x+）4的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為24解：由通項(xiàng)公式得：Tr+1C（2x）4r（）r24rCx42r，令r2，得展開式的常數(shù)項(xiàng)為：242C24，故答案為：2413小明計(jì)劃周六去長沙參加會(huì)議，有飛機(jī)和火車兩種交通工具可供選擇，它們能準(zhǔn)時(shí)到達(dá)的概率分別為0.95、0.8，若當(dāng)天天晴則乘飛機(jī)，否則乘火車，天氣預(yù)報(bào)顯示當(dāng)天天晴的概率為0.8則小明能準(zhǔn)時(shí)到達(dá)的概率為0.92；若小明當(dāng)天準(zhǔn)時(shí)到達(dá)，則他是乘火車去的概率為0.17（結(jié)果保留兩位小數(shù)）解：記“小明能準(zhǔn)時(shí)到達(dá)”為事件A，“小明乘坐火車去”為事件B，則小明能準(zhǔn)時(shí)到達(dá)的概率為P（A）0.80.95+0.20.80.92，P（AB）0.

14、20.80.16，若小明當(dāng)天準(zhǔn)時(shí)到達(dá)，則他是乘火車去的概率為：P（B|A）0.17故答案為：0.92，0.1714不等式的解集為（1，+）解：不等式，當(dāng)x1時(shí)，原不等式等價(jià)為x1lnx，由f（x）lnxx+1的導(dǎo)數(shù)為f（x）1，當(dāng)x1時(shí)，f（x）0，f（x）遞減；可得f（x）f（1）0，即有l(wèi)nxx1；當(dāng)0 x1時(shí)，f（x）0，f（x）遞增，可得f（x）f（1），即為lnxx1；這與0 x1時(shí)，原不等式等價(jià)為x1lnx，矛盾，綜上可得，原不等式的解集為（1，+），故答案為：（1，+）15已知集合Aa1，a2，an，nN*且n2，令TAx|xai+aj，aiA，ajA，1ijn，card（TA）

15、表示集合TA中元素的個(gè)數(shù)若A2，4，8，16，則card（TA）6；若ai+1aic（1in1，c為非零常數(shù)），則card（TA）2n3解：若A2，4，8，16，則TA6，10，18，12，20，24，card（TA）6；若ai+1aic（ 1in1，c為非零常數(shù)），說明數(shù)列a1，a2，an，構(gòu)成等差數(shù)列，取特殊的等差數(shù)列進(jìn)行計(jì)算，取A1，2，3，n，則TA3，4，5，2n1，由于（2n1）3+12n3，TA中共2n3個(gè)元素，利用類比推理可得若ai+1aic（ 1in1，c為非零常數(shù)），則card（TA）2n3故答案為：6；2n3三、解答題：本大題共4小題，共40分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過

16、程或演算步驟.16甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一球，約定甲先投且先投中者獲勝，一直到有人獲勝或每人都已投球3次時(shí)投籃結(jié)束設(shè)甲每次投籃投中的概率為，乙每次投籃投中的概率為，且各次投籃互不影響（）求甲獲勝的概率；（）求投籃結(jié)束時(shí)甲的投球次數(shù)的分布列和期望解：（1）設(shè)Ak，Bk分別表示甲、乙在第k次投籃投中，則P（Ak），P（Bk），k（1，2，3）記“甲獲勝”為事件C，由互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率與相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式知：P（C）P（A1）+P（）+P（）+（2）的所有可能為：1，2，3，由獨(dú)立性知：P（1）P（A1）+P（），P（2）P（）+P（）+（）2（）2，P（3）P（）（）

17、2（）2，綜上知，的分布列為：123PE（次）甲獲勝的概率為；甲的投籃次數(shù)的期望為次17已知函數(shù)f（x）x33x2，g（x）ax24（1）求函數(shù)f（x）的極值；（2）若對任意的x0，+），都有f（x）g（x），求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：（1）f（x）3x26x，令f（x）0，得x0或x2，f（x），f（x）隨x變化情況如下表： x （，0） 0 （0，2） 2 （2，+） f（x）+ 0 0+ f（x） 極大值 極小值所以，當(dāng)x0時(shí)，f（x）有極大值0，當(dāng)x2時(shí)，f（x）有極小值4（2）令F（x）f（x）g（x）x3（3+a）x2+4，F(xiàn)（x）3x22（3+a）x，由F（x）0，得：x0或x，當(dāng)0

18、時(shí)，即a3時(shí)F（x）0在（0，+）上恒成立，所以此時(shí)F（0）4為最小值，所以F（x）0恒成立，即f（x）g（x）當(dāng)0，即a3時(shí)， x 0 （0，） （，+） f（x） 0 0+ f（x）極小值所以當(dāng)x時(shí)，F(xiàn)（x）取得最小值，若要滿足f（x）g（x），則F（）0，即3（3+a）2+4（3+a）3+40，解得a0，所以3a0，綜上所述，a的取值范圍是a018某社區(qū)超市購進(jìn)了A，B，C，D四種新產(chǎn)品，為了解新產(chǎn)品的銷售情況，該超市隨機(jī)調(diào)查了15位顧客（記為ai，i1，2，3，15）購買這四種新產(chǎn)品的情況，記錄如下（單位：件）：顧客產(chǎn)品a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12a13a14

19、a15A11111B11111111C1111111D111111（）若該超市每天的客流量約為300人次，一個(gè)月按30天計(jì)算，試估計(jì)產(chǎn)品A的月銷售量（單位：件）；（）為推廣新產(chǎn)品，超市向購買兩種以上（含兩種）新產(chǎn)品的顧客贈(zèng)送2元電子紅包現(xiàn)有甲、乙、丙三人在該超市購物，記他們獲得的電子紅包的總金額為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（）若某顧客已選中產(chǎn)品B，為提高超市銷售業(yè)績，應(yīng)該向其推薦哪種新產(chǎn)品？（結(jié)果不需要證明）解：（I）由題意可得：5303000（件）因此產(chǎn)品A的月銷售量約為3000（件）（II）一位顧客購買兩種以上（含兩種）新產(chǎn)品的概率現(xiàn)有甲、乙、丙三人在該超市購物，記他們獲得的電子紅包的個(gè)數(shù)為，則B（3，）P（k）隨機(jī)變量X2的分布列為： X 0 2 4 6 P EX（III）某顧客已選中產(chǎn)品B，為提高超市銷售業(yè)績，應(yīng)該向其推薦D種新產(chǎn)品19已知函數(shù)f（x）x2alnxx，其中常數(shù)a0（）若函數(shù)f（x）為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的最大值；（）如果函數(shù)f（x）只有一